Chuyên đề Học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề III: Các dạng toán dãy tỉ số

CHUYÊN ĐỀ III
CÁC DẠNG TOÁN DÃY TỈ SỐ
GV: HỒ ĐẠI ĐOÀN
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 2: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:
Bài 3 :
 Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
Bài 4 :
1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tính b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức:
Bài 5 : 
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 6: 
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
Bài 7:
a) Chøng minh r»ng nÕu th× 
(gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).
b) T×m x biÕt: 
Bài 8:
a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: kh«ng lµ sè nguyªn.
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: .
Bµi 9:
b) BiÕt 
Chøng minh r»ng: 
Bµi 10:
 Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
 vµ 
Bài 11 :
a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6
b) T×m x, y, z biÕt: 
 (x, y, z )
Bài 12:
a) T×m x, y, z biÕt:
 	; vµ 
b) Cho . BiÕt f(0), f(1), f(2) ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. 
Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn.
Bài 13:
a) T×m x, y, z biÕt vµ 
b) CMR: nÕu th× (Gi¶ sö c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).
Bài 14:
Cho . Chøng minh r»ng: 
Bài 15:
a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c 17 nÕu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Î Z).
b) BiÕt 
 Chøng minh r»ng: 
Bµi 16:
Chøng minh r»ng: 
NÕu 
Th× 
Bài 17:
 Cho: .
Chøng minh: .
Bài 18:
 T×m A biÕt r»ng:
A = 
Bài 19: Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 20: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:
Bài 21: T×m x,y,z biÕt:
a) vµ ;	b) vµ 
Bài 22: T×m x, y,z biÕt:
a) vµ 
b) vµ 
Bài 23: Cho tØ lÖ thøc:
Chøng minh r»ng:
	a) 	b) 
Bài 24: Cho tØ lÖ thøc:Chøng minh r»ng:
	a)
Bài 25 Cho : hãy tính giá trị của biểu thức 
Bµi 26: T×m hai sè x vµ y biÕt:
	a) vµ 5x – 2y = 87;	b) vµ 2x – y = 34;
Bµi 27: 
T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30.
Bµi 28: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
	a) vµ 5x + y – 2z = 28;	b) ; vµ 2x + 3y – z = 186;
c) 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32;	d) vµ x + y + z = 49;
e) vµ 2x + 3y – z = 50;
Bµi 29: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
	a) vµ xyz = 810;	b) vµ x2 + y2 + z2 = 14.
Bµi 30: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
	a) ;
	b) ;	c) 
Bµi 31: Cho tØ lÖ thøc: ; Chøng minh r»ng:
	a) ;	b) .
Bµi 32: Cho tØ lÖ thøc: . Chøng minh r»ng: .
Bµi 33: Cho d·y tØ sè : . Chøng minh r»ng: .
Bµi 34: Cho 4 sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4.
Chøng minh r»ng: .
Bµi 35*: Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh r»ng: .
Bµi 36: Cho ba tØ sè b»ng nhau: . T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè ®ã ?
Bµi 37: Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ kh¸c 0 sao cho:
 T×m gi¸ b»ng sè cña biÓu thøc: 
Bài 38: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng:
	a) ;	b) ;
Bài 39: Tìm hai số x và y biết:
	a) và 5x – 2y = 87;	b) và 2x – y = 34;
Bài 40: 
Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 41: Tìm các số x; y; z biết rằng:
	a) và 5x + y – 2z = 28;	b) ; và 2x + 3y – z = 186;
c) 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32;	d) và x + y + z = 49;
e) và 2x + 3y – z = 50;
Bài 42: Tìm các số x; y; z biết rằng:
	a) và xyz = 810;	b) và x2 + y2 + z2 = 14.
Bài 43: Tìm các số x; y; z biết rằng:
	a) ;
	b) ;	c) 
Bài 44: 
Cho ba tỉ số bằng nhau: . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 45: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng: .
Bài 46: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng:
	a) ;	b) .
Bài 47: Cho dãy tỉ số : . Chứng minh rằng: .
Bài 48: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng :
	a) ; 	 b) .
Bài 49: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: .
Bài 50: Cho . CMR: ; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.
Bài 51: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 
	CMR: Ta có đẳng thức: 
Bài 52: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4.
Chứng minh rằng: .
Bài 53: Cho dãy tỉ số : ; CMR: .
Bài 54: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
Bài 55*: Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: .
Bài 56: Tìm các số x, y, z biết :
x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
x + y = x : y = 3.(x – y)
Bài 57: Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai
lần tổng của a và b ?
Bài 58: Cho 2002 số tự nhiên, trong đó cứ 4 số bất kỳ trong chúng đều lập nên một tỉ lệ thức.
CMR: trong các số đó luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau.
Bài 59: Có 130 học sinh thuộc ba lớp 7A, 7B, 7C của một trường cùng tham gia trồng cây. 
	Mỗi học sinh của 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng được 2 cây, 3 cây, 4 cây. 
Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây biết rằng số cây trồng được của
ba lớp bằng nhau ?
 Bài 60:
(0,5đ) Cho tỉ lệ thức tính giá trị của 
(0,5đ) Cho tỉ lệ thức chứng minh rằng 
 Bài 61:
 Tìm x, y, z biết:
 và x2 + y2 + z2 = 14
Bài 62:
(1đ) Tìm x biết 
(1đ) Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32