Chuyên đề “Hình học phẳng Oxy”

ối với N thì nó thuộc đường thẳng AC ta vẫn chưa khống chế 
được vị trí. 
Chuyên đề “Hình học phẳng Oxy” - Minh Triết CTK11 -Chuyên Quang Trung 
https://www.facebook.com/langminhtrietvip Page 10 of 17 
 Viết phương trình CD đi qua C và N 𝐶𝑁 :𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 
Gọi 𝐷 (𝑑 ;𝑑 + 6) Ta có :𝐷𝐶 = 𝐴𝐵 = 2 𝐶𝐷 = (𝑑 + 1;𝑑 + 1)==>2 𝑑 + 1 2 = 2 
có d=0 hoặc d=-2 Với D=(0 ;6) hoặc D=(-2 ;4) 
Tới tình huống này ta không biết « phải làm sao » nhận cả hai điểm D hay chỉ một điểm D thì công cụ để chứng 
minh khác phía sẽ giúp ta ta thấy rõ rãng D phải khác phía mới M so với AC 
Vậy chỉ có D(0 ;6) thỏa mãn yêu cầu 
 Sau khi tìm D ta sẽ tìm B gọi 𝐵(𝑎 ; 4 − 𝑎) do B thuộc CM 
 BC = 3 2 𝐵𝐶 = (−1 − 𝑎; 5 − 4 + 𝑎) Vậy 𝑎 + 1 2 + 𝑎 − 1 2 = 18 
Vậy 𝒂 = 𝟐 𝒉𝒐ặ𝒄 𝒂 = −𝟒 Tiếp tục loại điểm không phù hợp lập luận tương tự thì B và D phải khác phía so với 
AC Vậy B(2;2) 
 Tới đây tương đối dễ dàng thiên đường dường dường như ở phía trước ta sẽ dụng dụng đẳng thức Vecto 
có lẻ sẽ là cách ngắn họn nhất. 
𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 tìm ra được điểm A(𝟑;𝟑) 
𝐾ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 :A(𝟑;𝟑), B(2;2), C(-1;5) và D(0 ;6) 
 Nhận xét bài toán :bài toán nhìn chung tương đối đơn giản về các ý làm bài khá rõ ràng ,chỉ khó là ở chỗ nhận 
biết để tính các cạnh tìm điểm nào phù hợp để tìm trước để bài toán trở nên dễ dàng .Bước loại điểm không phù 
hợp nhiều dễ gây nhầm lẫn.Điểm M là một cố định duy nhất trong bài . 
3.5( Sở GD&ĐT Bắc Ninh – 2014) Cho hình chữ nhật ABCD có AD: 2x + y −1 = 0 , điểm I(-3;2) thuộc BD 
saocho 𝑰𝑩 = −𝟐𝑰𝑫 Tìm tất cả các đỉnh của hình chữ nhật biết xD > 0 và AD = 2AB . 
Tương tự như hướng trên ta sẽ tìm được điểm D đầu tiên và dựa vào kĩ 
thuật góc.Tư tưởng khá đơn giản không nhiều lắt léo trong tính toán. 
Giải: 
 Vậy áp dụng công thức 1 + tan2 𝛼 =
1
cos 2 𝛼
tan𝐴𝐷𝐵 =
𝐴𝐵
𝐴𝐷
=
1
2
 vậy 𝑐𝑜𝑠𝐴𝐷𝐵 =
2
 5
 Gọi 𝑛 = 𝑎; 𝑏 là véc tơ pháp tuyến của BD với (𝑎2 + 𝑏2 > 0) 
|2𝑎 + 𝑏|
 𝑎2 + 𝑏2 5
=
2
 5
Ta có giải phương đồng bậc 2 ta thu được 𝑏 = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 4𝑎 = 3𝑏 
Với b=0 chọn a=1 ta có phương trình BD 𝑥 + 3 = 0 
Với 4a=3b Chọn a=3 và b=4 ta có 3(𝑥 + 3) + 4(𝑦 − 2) = 0 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 
Tìm được D chỉ có D thuộc phương trình 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 phù hợp với D(1 ;-1) 
 Sử dụng đẳng thức Véc tơ đề bài gọi 𝐵(𝑥 ;𝑦) 𝑰𝑩 = −𝟐𝑰𝑫 
Tìm được B(-11 ;8) 
 Gọi A thuộc 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 𝐴(𝑎; 1 − 2𝑎) Ta sử dụng 𝐷𝐴 .𝐴𝐵 = 0 
Ta thu được A(-5 ;11) nhận hoặc 𝐴(1 ;−1) loại vì trùng D 
 Tới đây sử dụng đẳng thức Véc tơ 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 tìm ra được điểm C(-5;-4) 
Kết luận A(-5 ;11), B(-11 ;8), C(-5;-4), D(1 ;-1) 
3.6 (Chuyên Quốc Học Huế) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình 
thoi ABCD có AC = 2BD. Biết đường thẳng AC có phương trình 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 =
 𝟎; đỉnh 𝑨(𝟑;𝟓) và điểm B thuộc đường thẳng 𝒅 ∶ 𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 0 . Tìm tất các 
đỉnh B, C, D của hình thoi ABCD.Biết hoành độ điểm B nhỏ hơn 3 
Chuyên đề “Hình học phẳng Oxy” - Minh Triết CTK11 -Chuyên Quang Trung 
https://www.facebook.com/langminhtrietvip Page 11 of 17 
 Đây là một bài toán mà làm cho “kĩ thuật góc “ trở nên hiệu qủa nhất. Ta sẽ đi vào và làm rõ cách giải tư duy 
khi cho tỉ số cạnh như thế 
 Khi cho tỉ số như vậy chắc chắn ta sẽ tìm được cos ABI và đã có phương trình Vậy ta có VTCP của 
đường thẳng AC .Ta viết được phương trình AB đi qua A tạo với IB một góc cos ABI.Khi tìm được B .Ta viết 
phương trình BI sau đó tìm I thì các điểm còn lại rất dễ. 
Giải: 
Ta có 𝑛 𝐵𝐼 = (1; 2) Do BI vuông góc với AC 
Ta gọi 𝐴𝐶 = 2𝑥;𝐴𝐼 = 𝑎;𝐵𝐼 =
𝑥
2
 Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AIB ta có 𝐴𝐵 =
 5
2
𝑥 vậy 𝑐𝑜𝑠𝐴𝐵𝐼 =
1
 5
 Gọi 𝑛 = 𝑎; 𝑏 là véc tơ pháp tuyến của AB với (𝑎2 + 𝑏2 > 0) 
Áp dụng công thức góc ta có : 
|𝟏𝒂+𝟐𝒃|
 𝒂𝟐+𝒃𝟐 𝟓
=
𝟏
 𝟓
Vậy b=0 hoặc 4a=-3b 
 Với b=o và a=1 ta có phương trình :x=3 Vậy B(3;-2) loại 
 Với 4a=3b chọn a=-3 và b=4 ta có phương trình :-3x+4y-11=0 vậy B(-1 ;2) 
 Viết phương trình BI đi qua B và vuông góc với AC 1(x+1)+2(y-2)=0 
x+2y-3=0 vậy I(1 ;1) 
 Dựa vào I do I là trung điểm AC vậy C(-1;-3) 
 Dựa vào I do I là trung điểm BD vậy D(3;0) 
 Vậy : B(-1 ;2) , C(-1;-3),D(3;0) 
Bài tập đề nghị: 
3.7(GSTT.VN – 2013) Cho hình thoi ABCD biết AB : x + 3y +1 = 0;BD : x - y + 5 = 0. đường thẳng AD đi 
qua điểm M(1;2). Tìm tọa các đỉnh của hình thoi . 
 Đáp số : B(4;1) ,D(0;5) 
3.8(Lương Tài 2 – Bắc Ninh) Cho ABCD là hình thoi với AC = 2BD, tâm I(2 ; 1). Điểm 𝑀(0; 1
3
)thuộc 
đường thẳng AB, điểm N(0 ; 7) thuộc đườngng thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương. 
 Đáp số : B(1;-1) 
3.9(Sở GD&ĐT Bắc Ninh – 2014) Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
củaa AD, BC. Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của MK. Tìm taọa độ các đỉnh của 
hình chữ nhật biết K(5;-1), AC : 2x + y − 3 = 0 và yA>0 
 Đáp số : A(1;1),B(3;1),C(3;3),D(1;3) 
Phần 4: Các bài toán sử dụng tích chất hình học trong bài toán hình học phẳng 
 Các bài toán sử dụng tính chất hình học trong bài toán thường là các bài dễ tính nhưng khó nghĩ. 
4.1 (Sở GD&ĐT Vinh Phúc – 2014 Lần 2) Cho tam giác ABC có đỉnh C (5;1), M là trung điểm của BC, 
điểm B thuộc đường thẳng d : x + y + 6 = 0. Điểm N(0;1) là trung điểm của AM, điểm D(-1;-7) không nằm 
Chuyên đề “Hình học phẳng Oxy” - Minh Triết CTK11 -Chuyên Quang Trung 
https://www.facebook.com/langminhtrietvip Page 12 of 17 
trên đường thẳng AM và khác phía với A so với đường thẳng BC, đồng thời khoảng cách từ A và D tới 
đường thẳng BC bằng nhau. Xác định tọa độ các điểm A, B. 
*Nhìn thấy I là trung điểm của AD do A và D khác phía với nhau so 
với BC .Vậy G chính là trọng tâm của ADM.Ta sẽ dùng tính chất 
này để giải bài . 
Giải: 
 Gọi  ;G a b là giao điểm của DN và MI suy ra G là trọng 
tâm của tam giác ADM 
 
1
1 3 33
8 3 1 5
3
a
a
ND NG
b
b

  
         

  1 5
;
3 3
G
 
   
 
 Phương trình đường thẳng BC đi qua G và C : 2 3 0x y   
Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:  2 3 0 36 0 3x y xx y y          3; 3B   . 
    1; 1 1;3M A    . Vậy,    1;3 , 3; 3A B   
4.2 (Khối A 2013) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + 5 = 0 và A(−4;8). Gọi 
M là điểm đối xứng với của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các 
điểm B, C biết rằng N (5;−4) . 
*Đây là một nhận điều mà nhận thấy quan trọng của bài toán này 
đó chính là ANC là góc vuông.Bài cho 3 điểm đó nên gợi nhớ ta 
thử nối ba điểm đó ta nhận thấy điều trên .Khi nhận thấy điều đó 
hãy khẳng định nó và tìm cách kiểm chứng bằng kiến thức . 
 Giải: 
 Chứng minh năm điểm A,B,C,D ,M cùng thuộc một 
thuộc một đường tròn có đường kính là AC và BD. 
-Do tứ giác ABCD là nội tiếp đường tròn (ABCD là hình chữ 
nhật vậy AC và BD là đường kính) 
-Tương tự ABND là tứ giác nội tiếp do tổng hai góc đối nhau 
là 180o 
Vậy năm điểm trên cùng thuộc một đường tròn đường kính AC 
và BD 
==>Góc ANC là góc vuông(Góc chắn nữa đường tròn –đường 
kính) 
 Gọi C(a;-2a-5) ==>𝐴𝑁 = (5 −−4;−4 − 8) 
==>𝑁𝐶 = 𝑎 − 5;−2𝑎 − 5 + 4 
Sử dụng : 𝐴𝑁 . 𝑁𝐶 = 0 vậy a=1 Vậy C(1;-7) 
 Chứng minh AC và BN giao nhau tại trung điểm NC viết phương trình AC đi qua A và C 
Viết phương trình NC đi qua N vuông góc AC.Giao lại tìm được trung điểm NC từ đó ta có điểm B(-4;-7) 
I
G
D
N
M
CB
A
Chuyên đề “Hình học phẳng Oxy” - Minh Triết CTK11 -Chuyên Quang Trung 
https://www.facebook.com/langminhtrietvip Page 13 of 17 
4.3 (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh) Cho tam giác ABC có đỉnh A(0 ; 4), trọng tâm G(
4
3
;
2
3
) và trực tâm trùng 
với gốc tọa độ. Tìm tọa độ B,C biết hoành độ điểm B nhỏ hơn hoành độ điểm C 
-Tóm tắt 
+Dựa vào điểm G 𝐴𝐺 = 2𝐺𝑀 
+Tìm được điểm M 
+Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp ABC ta có 
𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀 
+Viết phương trình đường tròn tâm O và đường thẳng BC Giao lại ta 
được tọa độ điểm B và C 
 Giải 
-Gọi M là trung điểm BC ta có: 𝐴𝐺 = 2𝐺𝑀 Gọi M (x;y) 
 ta có M(2;-1) 
-Chứng minh lấy J đối xứng A qua O thuộc đường tròn. 
Vậy tứ giác BHCJ là hình hành M là trung diểm của hai đường chéo . 
Ta có OM là đường trung bình. 
-Dựa vào 
𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀 ta tìm được O có tọa độ (2;1) 
-Viết phương trình đường tròn O : 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 13 
-Phương trình BC đi qua M(2;-1) và vuông góc OM: y=-1 
 Vậy BC giao với đường tròn tại B và C Vậy B(-1;-1) và C(5:-1) 
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________