Chuyên đề Hình học phẳng

 p91) Cho tam giác ABC và điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Các đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối diện tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng 
Bài 30. (IMO 1991) (40 – p92) Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba góc nhỏ hơn hoặc bằng 300.
Bài 31. (IMO 2000) (40 – p108) Cho 2 đường tròn cắt nhau tại M và N; C và A là 2 điểm trên đường tròn thứ nhất và B, D là 2 điểm trên đường tròn thứ 2 sao cho AB là tiếp tuyến của cả hai đường tròn. Điểm M nằm giữa C và D, trên đường thẳng CD, và AB // CD. Các dây cung NA và CM, NB và MD cắt nhau tại P, Q tương ứng. Hai tia CA và DB gặp nhau tại E. Chứng minh rằng PE = QE.
Dạng 2. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – song song
2.1 Phương pháp
2.2 Một số ví dụ
Bài 1. Gọi P là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác lồi ABCD trong đó AB = AC = BD. Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại và nội tiếp của ta
Bài 2. Cho O là tâm đường tròn w ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Đường tròn w1 với tâm K đi qua các điểm A, O, C mà cắt các cạnh bên AB và BC tại M và N. Đặt L là điểm đối xứng với K qua đường thẳng MN. Chứng minh rằng .
Bài 3. (Đề thi Olympic Đài Loan) Cho tam giác nhọn ABC, AC > BC và M là trung điểm AB. Các đường cao AP và BQ gặp nhau ở H, đường thẳng AB và BQ cắt nhau ở R. Chứng minh rằng .
Bài 4. (Đề thi Olympic IrLand) Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống BC, CA, AD. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thoả mãn .
Bài 5. (IMO 1985) Cho tam giác ABC. Một đường tròn tâm O đi qua các điểm A và C và lại cắt đoạn AB và BC theo thứ tự tại 2 điểm phân biệt K và N. Giả sử các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt B và M. Chứng minh rằng góc OMB vuông.
Bài 6. (IMO 1993) Cho D là điểm nằm trong tam giác nhọn ABC sao cho 
Tính tỉ số 
Chứng minh rằng hai tiếp tuyến tại điểm C của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD vuông góc với nhau.
2.3 Bài tập áp dụng
Bài 5. (China – 1990) ABCD là tứ giác lồi có AB không song song với CD. Một đường tròn qua A và B tiếp xúc với CD tại X; một đường tròn qua C và D tiếp xúc với AB tại Y. Hai đường tròn này cắt nhau tịa U, V. Chứng minh rằng UV cắt XY tại trung điểm của XY khi và chỉ khi BC song song DA.
Bài 6. (Hồng Kông – 1999) Gọi I và O lần lượt là tâm của các vòng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Giả sử tam giác ABC không đều (do đó I khác O). Chứng minh rằng 
Bài 7. (IMO – Hồng Kong – 1997) Từ một điểm P nằm ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB và cho C, D là các điểm trên đường tròn sao cho M là trung điểm của CD. Giả sử các tiếp tuyến của đường tròn tại C, D cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng 
Bài 8. Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, P là điểm nằm trên cạnh AM sao cho PM = BM, H là chân đường vuông góc hạ từ P xuống BC. Đường thẳng qua H vuông góc với PB gặp đoạn AB tại Q. Đường thẳng qua H vuông góc với PC gặp đoạn AC tại R. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QHR tiếp xúc với cạnh BC tại H.
Bài 9. Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta vẽ hai tia Ax, Ay đi qua miền trong của hình vuông đó. Giả sử các điểm M, K là hình chiếu của các điểm B, D lên Ax; L, N tương ứng là hình chiếu của B và D lên Ay. Chứng minh rằng các đoạn thẳng KL, MN vuông góc với nhau và bằng nhau.
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng IE vuông góc với CD.
Bài 11. Cho tứ giác lồi ABCD thoả điều kiện . Gọi M, N lần lượt là 2 điểm nằm trên BC và CD sao cho . Chứng tỏ rằng nếu MN và BD cắt nhau tại I thì IA vuông góc với AC. 
Dạng 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng – 3 đường thẳng đồng quy
3.1 Phương pháp
- Áp dụng định lý Cê – va, Menelaus, Pascal, 
- Áp dụng định lý về phương tích – trục đẳng phương.
3.2 Một số ví dụ
3.2.1 Ứng dụng các đinh lý hh phẳng (Cê – va, Menelaus, Pascal, )
Bài 1. (Đề thi Olympic ChiLê – 2000) Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q. Gọi E và F là giao điểm của tiếp tuyến từ Q với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Chứng minh rằng P, E, F thẳng hàng.
Bài 2. (Đề thi HSG QG 2011) Cho đường tròn (O), đường kính AB. P là một điểm trên tiếp tuyến của (O) tại B (P khác B). Đường thẳng AP cắt (O) lần thứ hai tại C. D là điểm đối xứng của C qua O. Đường thẳng DP cắt (O) lần thứ hai tại E.
Chứng minh rằng AE, BC, PO đồng quy tại M
Tìm vị trí của P để diện tích tam giác AMB lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R là bán kính của (O).
Bài 3. (IMO – Hong kong – 1998) Cho tam giác ABC. Các tam giác ABX, BCY và CAZ cân và đồng dạng nhau, chúng ở ngoài tam giác ABC và thoả mãn . Chứng minh rằng các đường thẳng AY, BZ, CX đồng quy.
3.2.2 Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương
Bài 1. Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác này, vẽ các tam giác cân BCD, CAE, ABF có các cạnh đáy tương ứng là BC, CA, AB. Chứng minh rằng ba đường thẳng vuông góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE đồng quy.
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường thẳng. Gọi E, F là các giao điểm của 2 đường tròn: đường tròn (O1) đường kính AC, đường tròn (O2) đường kính BD. Lấy điểm P là điểm bất kỳ trên đường thẳng EF. CP cắt (O1) tại M và BP cắt (O2) tại N. Chứng minh AM, DN, EF đồng quy.
Bài 3. Cho tam giác ABC có trực tâm H và D, E là các điểm tuỳ ý trên các cạnh AB, AC. Giả sử các đường tròn đường kính BE và CD cắt nhau tại hai điểm F, G. Chứng minh F, G, H thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC không cân có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, D, E, F là chân các đường phân giác trong góc A, B, C. Gọi K là trực tâm của tam giác DEF. Chứng minh rằng đường thẳng OK là trục đẳng phương chung của các đường tròn Apollonius của tam giác ABC.
3.2.3 Dạng khác
Bài 1. Cho tam giác ABC. Các tam giác ABX, BCY, CAZ cân và đồng dạng nhau, chúng nằm ở ngoài tam giác ABC và thoả mãn XA = XB, YB = YC, ZC = ZA. Chứng minh rằng các đường thẳng AY, BZ, CX đồng quy.
Bài 2. Cho tam giác ABC không vuông, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Trên tia OA1 láyA2 sao cho tam giác OAA1 đồng dạng với tam giác OA2A. Trên các tia OB1, OC1 tương tự cho các điểm B2, C2. Chứng tỏ rằng các đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy tại 1 điểm.
Bài 3. Cho A, B, C, D là 4 điểm phân biệt trên 1 đường thẳng và được sắp theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X và Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại C và M, đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại B và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, DN và XY đồng quy.
Dạng 4. Tìm quỹ tích điểm
4.1 Phương pháp
4.2 Một số ví dụ
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD mà ABD là tam giác nhọn và . Trên các cạnh của hình bình hành, lấy các điểm K thuộc AB, L thuộc BC, M thuộc CD, N thuộc DA sao cho KLMN là tứ giác nội tiếp có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ANK và CLM. Tìm quỹ tích các giao điểm của đường chéo của tứ giác KLMN.
Bài 2. (Đài Loan – 1997) Gọi AB là đoạn thẳng cho trước. Tìm tất cả các điểm C trong mặt phẳng (chứa AB) sao cho trong tam giác ABC, đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B có độ dài bằng nhau.
Bài 3. (IMO 1965) Cho tam giác OAB có góc O nhọn, M là điểm tuỳ ý trên cạnh AB, P và Q lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống OA và OB tương ứng. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác OPQ. Quỹ tích H sẽ là gì nếu M di động trong miền trong của tam giác OAB.
Bài 4. Cho đường tròn (C) có tâ I, bán kính R và điểm O cố định sao cho OI = 2R. Gọi (C1) và (C2) là hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với (C) và trực giao với nhau, M là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2). Tìm tập hợp điểm M.
Bài 5. Cho điểm A cố định ở miền trong của hình tròn tâm O bán kính R. Gọi EF là dây cung thay đổi luôn đi qua A của đường tròn (O). Tìm tập hợp các giao điểm M của hai tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ E và F.
Bài 6. Gọi B, C là hai điểm cố định nằm trên một vòng tròn cho trước, A là điểm chuyển động trên đường tròn đó. Điểm I trên đoạn AB sao cho . Tìm tập hợp các điểm M, hình chiếu của điểm I lên đường thẳng AC.
Dạng 5. Chứng minh tứ giác nội tiếp
5.1 Phương pháp
5.2 Một số ví dụ
Bài 1. (Đề thi Olympic Hàn Quốc) Cho tứ giác lồi ABCD là tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q, R, S lần lượt là các giao điểm của hai đường phân giác ngoài các góc và , và , và , và tương ứng. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S cùng nằm trên 1 đường tròn.
Bài 2. Gọi AA1, CC1 là các đường cao của tam giác nhọn ABC. Đường phân giác của góc nhọn giữa hai đường thẳng AA1, CC1 cắt các cạnh AB và BC tại P, Q tương ứng. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh AC, đường phân giác của góc cắt đoạn HM tại R. Chứng minh rằng tứ giác PBQR nội tiếp một đường tròn.
Bài 3. (VMO 2001) Cho tam giác ABC không cân có góc ABC và góc ACB nhọn. D di chuyển trên cạnh BC sao cho AD không vuông góc với BC. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt đường thẳng AB, AC tại E và F. Gọi M, N, P là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDE và CDF. Chứng minh rằng A, M, N, P cùng thuộc 1 đường tròn khi và chỉ khi d đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
Bước 1. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 4. (VĐ 12 – p9) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn khi và chỉ khi các đường thẳng, mỗi đường đi qua trung điểm mỗi cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy.
Dạng 6. Đường thẳng – đường tròn qua điểm cố định
6.1 Phương pháp
Bài toán: Cho điều kiện X. Xét đường thẳng d thay đổi thoả mãn điều kiện X. Chứng minh rằng d đi qua một điểm cố định.
Điều kiện X rất đa dạng. Ta có một số phương pháp tìm điểm cố định mà d đi qua như sau:
+ Đoán nhận điểm cố định bằng một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội – ngoại tiếp có tính chất cố định, trung điểm của đoạn thẳng cố định, .
+ Xét một số vị trí đặc