Chuyên đề Hình học lớp 12 Nâng cao - Thể tích khối chóp - THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu

Vậy 
 2) Ta dựng AH ,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AH 
 Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).
 Vậy AH = 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình chóp . Đs: V = 
Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC . Đs: 
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp. Đs: 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD(ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.
Tính thể tích ABCD. 	Đs: V = 8 cm3
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). 	Đs: d = 
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc , biết và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: 
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp. Đs: 
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a3
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và SA (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: 
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs: 
Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: 
Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a
 Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải: 1) Gọi H là trung điểm của AB. đều mà
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
Ta có tam giác SAB đều nên SA =
suy ra 
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) , mà (ABC) (BCD) AH .
 Ta có AHHDAH = AD.tan60o =
& HD = AD.cot60o =
BC = 2HD = suy ra
 V = 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. 
Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
Tính thể tích khối chóp SABC.
Lời giải:
 a) Kẻ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC). 
 Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC SIAB, SJBC, theo giả thiết 
 Ta có: nên BH là đường phân giác của ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.
b) HI = HJ = SH =VSABC=
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: 
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC. Đs: 
Bài 3: Cho hình chóp SABC có ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: 
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: 
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs: 
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
 2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs: 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: 
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD . 	 Đs: 
Dạng 3 : Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. 
Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.
Tính thể tích chóp đều SABC .
Lời giải: Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên AO = 
.Vậy 
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 
	1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
	2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
 Dựng SO (ABCD)
 Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = ODABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
 Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên vuông tại S 
 Vậy 
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. 
Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của 
 ,, 
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH. 
 Vậy 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 	60o . Tính thể tích hình chóp. Đs: 
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.
	1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . Đs: SH = 
	2) Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: 
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: 
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o . Tính thể tích hình chóp. Đs: 
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. 	Đs: 
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và . 
	1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. 	Đs: 
	2) Tính thể tích hình chóp. 	Đs: 
Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. 	Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp.Đs: 
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.
Tính thề tích hình chóp. 	Đs: 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng S.ABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng . 
Đs: AB = 3a 
Dạng 4 : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, ,
 SA vuông góc với đáy ABC , 
	1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
	2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng () qua AG và song song 
 với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:
a)Ta có: và 
 + 
Vậy: 
b) Gọi I là trung điểm BC.
 G là trọng tâm, ta có : 
 // BC MN// BC 
 Vậy: 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Chứng minh 
Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Lời giải:
a)Tính : 
b)Tacó: 
 Ta có: 
c) Tính :Ta có: 
 Mà , chia cho 
 Tương tự: 
 Từ(*) .Vậy
Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Lời giải:
 Kẻ MN // CD (N thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng(ABM).
 + Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = . 
Suy ra VABMN.ABCD = Do đó : 
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. 
Hảy xác định mp(AEMF)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Lời giải:
a) Gọi .Ta có (AEMF) //BD EF // BD
b) với 
 + có : 
Vậy : 
c) Phân chia chóp tứ giác ta có
= VSAMF + VSAME =2VSAMF
 = 2VSACD = 2 VSABC
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD Ta có : 
 có trọng tâm I, EF // BD nên:
 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
SA đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. 
Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
 Chứng minh 
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Lời giải:
a) Ta có: 
b) Ta có & Suy ra:nên AB'SC .Tương tự AD'SC
 Vậy SC (AB'D')
c) Tính 
+Tính : Ta có: 
 vuông cân nên 
Ta có: 
Từ
+ 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. Đs: 
Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2 m3
Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho . Tính thể tích tứ diên AB'C'D . Đs: 
Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung