Chuyên đề Hình học không gian - Vấn đề 1: Quan hệ song song và vuông góc

t là trung điểm của SA 
và SB. 
a) Chứng minh: MN // CD. 
b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác 
SABI là hình gì? 
Câu 27. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD. 
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. 
b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. 
Câu 28. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về 
cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM. a) Chứng minh 
đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định I khi M, N di động. 
 b) E thuộc đoạn AM và EM = 
1
3
P
a
b
PHẠM NGỌC THUYẾT CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 01649836618 
6 
EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. CMR AQ song song với Bx, Cy và 
(QMN) chứa 1 đường thẳng cố định khi M, N di động. 
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, 
SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. 
a) Chứng minh: PQ // SA. 
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC. 
c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) và của Qy với (SCD). 
DẠNG TOÁN 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phương pháp: 
 Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. 
 Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến. 
Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy. 
BÀI TẬP CƠ BẢN 
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, 
BC và G là trọng tâm của ∆SAB. 
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). 
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD 
để thiết diện là hình bình hành. 
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, 
SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM). 
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm 
các tam giác SAD, SBC. 
a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD). 
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 
 HD: b) 
2
5
(𝑎 + 𝑏) 
Câu 33. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh 
BD với KB = 2KD. 
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. 
b) Tính diện tích thiết diện đó. 
HD: b) 
5𝑎2√51
288
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác đều. Ngoài ra 
𝑆𝐴�̂� = 900 Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC. 
a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB. 
b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện. 
PHẠM NGỌC THUYẾT CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 01649836618 
7 
 HD: b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích 
𝑎2√14
8
§ 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 
I/KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Định nghĩa 
 d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ 
2. Tính chất 
 Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d ′ nằm trong (P) thì 
d song song với (P). 
 Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao 
tuyến song song với d. 
 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song 
song với đường thẳng đó. 
 Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b. 
II. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 
DẠNG TOÁN 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 
Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d ′ nào đó nằm trong 
(P). 
BÀI TẬP CƠ BẢN 
Câu 35. Cho hai hình bình hành ABCD va ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. 
a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO′ song song với các mặt phẳng (ADF) và 
(BCE). 
b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = 
1
3
AE, BN =
1
3
BD. Chứng minh MN // (CDFE). 
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh 
AB, CD. 
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD). 
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP). 
c) Gọi 𝐺1, 𝐺2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh 𝐺1𝐺2// (SBC). 
Câu 37. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ∆ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng 
minh MG // (ACD). HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD). 
Câu 38. Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O′ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD. Chứng minh 
rằng: 
a) Điều kiện cần và đủ để OO′ // (BCD) là 
𝐵𝐶
𝐵𝐷
=
𝐴𝐵+𝐴𝐶
𝐴𝐵+𝐴𝐷
PHẠM NGỌC THUYẾT CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 01649836618 
8 
b) Điều kiện cần và đủ để OO′ song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD) 
 là BC = BD và AC = AD. 
 HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác. 
Câu 39. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn 
MN. 
a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG với mp(BCD). 
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′. Chứng minh B, M′, A′ thẳng hàng và 
BM′ = M′A′ = A′N. 
c) Chứng minh GA = 3GA′. 
DẠNG TOÁN 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng song song 
với một hoặc hai đường thẳng cho trước. 
BÀI TẬP CƠ BẢN 
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA. 
a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC). 
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). 
c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. 
 HD: c) MN // BC 
Câu 41. Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, 
�̂� = 600, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi M là 1 
điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt 
x = BM (0 < x < a). 
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. 
b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. 
 HD: b) SMNPQ=
𝑥(4𝑎−3𝑥)
4
. 𝑆𝑀𝑁𝑃𝑄 𝑙ớ𝑛 𝑛ℎấ𝑡 𝑘ℎ𝑖 𝑥 =
2𝑎
3
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với 
SC. 
a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC). 
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). 
Câu 43. Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) đi 
qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD. 
a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD). 
b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P). 
PHẠM NGỌC THUYẾT CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 01649836618 
9 
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C′ là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động 
trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C′M và song song với BC. 
a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. 
b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành. 
c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA. 
HD:a. Đường thẳng qua C ′ và song song với BC. 
 b. Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA. 
 c. Hai nửa đường thẳng 
§ 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Định nghĩa 
 (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ 
2. Tính chất 
 Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song 
song với (Q). 
 Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P). 
 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. 
 Cho một điểm A ∉ (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một mp(Q) 
đi qua A và song song với (P). 
 Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến 
của chúng song song với nhau. 
 Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. 
 Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương 
ứng tỉ lệ. 
 Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d ′ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A ′ , B ′ , C ′ 
sao cho:
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐴
𝐶′𝐴′
II. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 
DẠNG TOÁN 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song 
Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng 
trong mặt phẳng kia. 
BÀI TẬP CƠ BẢN 
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. 
a) Chứng minh0 (OMN) // (SBC). 
 b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC). 
Câu 46. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: 
𝐼𝐴
𝐼𝐷
=
𝐽𝐵
𝐽𝐶
PHẠM NGỌC THUYẾT CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 01649836618 
10 
 a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. 
 b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. 
 HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD. 
 b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k. 
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và 
CD. a) CMR: (OMN) // (SBC). 
 b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB). 
 c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi A