Chuyên đề: Hình học không gian 11

Đại cương hình học không gian.
I- Bài tập về giao tuyến: 
Trong mặt phẳng (à) cho 2 đường thẳng a và b: aầb=O. Gọi c là một đường thẳng cắt (à) tại I ạO.
1/. Xác định giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi điểm O và đường thẳng c với (à).
2/. Gọi M là điểm di động trên đường thẳng c (M ạI). Xác định giao tuyến của (M,a) và (M,b). CMR khi M di động trên c thì giao tuyến đó nằm trên một mặt phẳng cố định.
Trong mặt phẳng (à) cho góc éOxy và A không nằm trêb (à). M,N là 2 điểm di động trên 0x, 0y.
1/. Giả sử OM = ON . CMR trung tuyến AP của tam giác AMN luôn nằm trên một mặt phẳng cố định.
2/. Gọi d là một đường thẳng cố định đi qua A và cắt (à) tại một điểm I không nằm trên 0x, 0y nhưng luôn cắt MN tại một điểm.
a/. CMR: M luôn đi qua một điểm cố định.
b/. Gọi B là một điểm cố định trên d (B ạA, B không truộc (à)). AM ầBN=Q. CMR: Q thuộc đồng thời 2 mặt phẳng cố định. Từ đó CMR: Q thuộc đường thẳng cố định.
Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên BD: KD<KB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
Cho tứ diện ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. a/. Tìm giao tuyến của (IBC) và (JAD).
b/. MẻAB, N ẻAC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN).
Cho tứ diệk ABCD. M là một điểm nằm trong tam giác ABD. N là một điểm nằm trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng :a/. (AMN) và (BCD).b/. (DMN) và (ABC).
Cho tứ diện ABCD, O là ,ột điểm nằm bên trong tam giác BCD. M là một điểm trên AO.
a/. Tìm giao tuyến của (MCD) với (ABC) và (ABD).
b/. I,J là 2 điểm nằm trên BC và BD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJM) với (ACD).
Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm của SB, SD. P là một điểm trên SC (SP>PC). Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt phẳng (SAC), (SAB), (ABCD).
Cho tứ diện ABCD. O là một điểm bên trong tam giác BCD, M là một điểm trên AB. a/. Dựng đường thẳng qua M cắt AO, CD
b/. N là một điểm trên BC và ON không song song với BD. Dựng đường thẳng qua N cắt AO và DM.
II- Bài tập tìm giao điểm
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên BD và không trùng với trung điểm của BD.
Xác định giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).
Cho tứ diện ABCD . M,N là trung điểm trên AC và AD. O là một điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giáo điểm của MN với (ABO); AO với (BMN).
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang. Cạnh AB//CD; AB>CD. I,J,K lần lượt là 3 điểm trên SA, AB, BC.
a/. Tìm giao đỉêm của IK với (SBD).b/. Tìm giao điểm của (IJK) với SD, SC.
Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC.
a/. Tìm giáo điểm I của AM với (SBD). Chứng minh rằng:IA=2IM
b/. Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh rằng F là trung điểm SD.
c/. Gọi N là điểm tuỳ ý trên AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD).
Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác SAD.
a/. Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh rằng: I ẻCD: IC=2ID.
b/. Tìm giao điểm J của (OMG) với AD. Tính tỷ số: JA/JD.c/. Tìm giao điểm K của SA với (OMG). Tính tỷ số: KA/KS.
Cho 2 điểm I,J lần lượt là 2 điểm bên trong tam giác ABC và ABD của tứ diện ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm của IJ và (ABM).
Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy M,N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là một điểm nằm bên trong tam giác BCD.a/. Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).b/. Giao điểm của BC, BD với (OMN).
Cho hình chóp SABCD M thuộc SC.Tìm giao điểm của AM với (SBD).Gọi N ẻBC. Tìm giao điểm của SD với (AMN).
III- Bài tập về đồng quy - thẳng hàng
Cho hình chóp SABCD. I,J là 2 điểm cố định trên SA và SC với SI>IA; SJ<JC. Một mặt phẳng quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N.
a/. Chứng minh rằng IJ, MN, SO đồng quy (O là giao điểm của AC với BD). Từ đó suy ra cách dựng N khi biết M.
b/. AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. Chứng minh rằng S, E, F thẳng hàng.
Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phặng (P) cắt AB, SB tại B1,B'. Qua B dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tai C1, C'. BB' và CC' cắt nhau tại O'. BB1 và CC1 cắt nhau tại O1. Giả sử O'O1 kéo dài cắt SA tại I.
a/. Chứng minh rằng AO1, SO', BC đồng quy.
b/. CMR: I, B1, B' và I, C1, C' thẳng hàng.
Bài tập về vuông góc
Các kiến thức cơ bản:
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng:
1/ 
2/ 
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
ĐN: 
ĐL1: 
ĐL2: 
ĐL3: 
ĐL4: 
ĐL5: 
ĐL6: 
ĐL7: 
ĐL8: 
ĐL9: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có hình chiếu vuông góc trên (P) là d’. a là đường thẳng trong (P): 
Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng:
ĐL1: 
ĐL2: (P)^(Q), (P)ầ(Q)=a, bẻ(P),b^ aÛ b^(Q)
ĐL3: 
Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA^(ABC). Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
a/ CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b/ CMR AH^(SBC) từ đó suy ra AH^SC.
c/ CMR SC^(AHK)
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA^(ABCD), SA=b. Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a/ CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b/ CMR BD^(SAC)
c/ CMR AH^(SBC)ịAH^SC
d/ CMR A, H, I, K đồng phẳng
e/ CMR HK//BD
g/ Tính diện tích tứ giác AHIK theo a và b.
Trong mặt phẳng (a) cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d ^(a) tại A lấy điểm S bất kỳ. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác SBC.
a/ CMR: SC^(BOH); SB^(COH).
b/ CMR: OH^(SBC).
c/ Gọi S' là giao điểm của OH với d. CMR: SA. S'A không đổi.
d/ Xác định vị trí của A trên d để SS' ngắn nhất.
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O. SA=SC; SB=SD.
a/ CMR: SO^(ABCD)
b/ Gọi I, J là trung điểm của BA và BC. CMR: IJ^(SBD)
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và DBC là hai tam giác đều. Cạnh BC có trung điểm I.
a/ CMR: BC^(AID).
b/ Vẽ đường cao AH của tam giác AID. CMR: AH^(BCD).
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là trực tâm của tam giác ABC.
1/ CMR: (BOH)^AC, OH^(ABC)
2/ CMR: 
3/ CMR: Tam giác ABC là tam giác nhọn.
Cho tứ diện đều ABCD. G là trọng tâm tam giác BCD, H là trung điểm AG. CMR: HB, HC, HD đôi một vuông góc với nhau.
Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA^(ABCD), SA=. Trên AC lấy điểm I sao cho AI=x . Một mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với AC.
1/ Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
2/ Tính diện tích của thiết diện đó.
3/. Xác định x để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là nửa lục giác đều đáy lớn AD=2a.
SA^(ABCD), SA=2a. Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SD cắt SB, SC, SC tại B', C', D'.
1/ CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2/ CMR: AC'^SC; AB'^SB.
3/ CMR: tứ giác AB'C'D' nội tiếp hình tròn.
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều, (SCD) là tam giác vuông cân đỉnh S. I, J lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD.
a/ Tính các cạnh của tam giác SIJ. CMR: SI ^(SCD); SJ^(SAB)
b/ H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH^AC
c/ Gọi M là một điểm trên CD sao cho BM^SA: Tính AM theo a
Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a/ CMR: SH^(ABCD)
b/ AC^SK; CK^SD
Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=. Mặt bên (SBC) vuông tại B, mặt bên (SDC) vuông tại D có AD=.
a/. CMR: SA^(ABCD). Tính SA theo a.
b/. Đường thẳng a đi qua A vuông góc với AC cắt CB và CD tại T và J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Xác định giao điểm K, L của SB, SD với (HIJ).
c/ Tính diện tích tứ giác AKHL
Gọi I là một điểm bất kỳ trong đườngg tròn tâm O bán kính R. CD là một dây cung của đường tròn đi qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại I lấy điểm S: SO=R. Gọi E là điểm đối xứng tâm O của D trên đường tròn. CMR:
1/ Tam giác SDE vuông tại S.
2/ SD^CE.
3/ Tam giác SCD vuông.
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác MAB vuông tại M. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy hai điểm C và D nằm ở hai phía của A. Gọi C' là hình chiếu vuông góc của C trên MD. H là giáo điểm của AM với CC'.
1/ CMR: CC'^(MBD)
2/ Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của tam giác BCD.
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O bán kính R. Dựng AS=2R: AS^(P). T là một điểm di động trên tiếp tuyến của (O) tại A. Đặt . Đường thẳng BT gặp đường tròn tại M. Gọi N là hình chiếu của A trên SM.
1/ CMR tứ diện SAMB có các mặt là các tam giác vuông.
2/ CMR khi T di động thì đường thẳng TN luôn đi qua một điểm cố định.
3/ Tìm để tam giác AHN cân
Cho hình chóp SABCD có SA^(ABCD), SA=2a. Tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A và D: AB=BC=a, AD=2a. M là một điểm trên AB: AM=x, 0<x<a. (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB.
1/ CMR tam giác CSD vuông.
2/ Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
3/ Tính diện tích thiết diện. (2a.(a-x))
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đều cạnh a, SA^(ABC), SA=2a. (P) là một mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp và tính diện tích thiết diện
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a. SA^(ABC), SA=. M là một điểm tuỳ ý trên AB: AM=x, (0<x<a). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB.
a/ Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
b/ Tính diện tích thiết diện. Tìm x để thiết diện lớn nhất.