Chuyên đề Hình học 10 - Vectơ - Trần Sĩ Tùng



. Tính AB AC,



 



 theo a vaø b


. 
Vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
www.MATHVN.com Trang 4 
 VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ 
 Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông 
thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a=





, trong đó O và a đã được 
xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: 
 – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. 
 – Hình bình hành. 
 – Trung điểm của đoạn thẳng. 
 – Trọng tâm tam giác,  
Baøi 1. Cho ∆ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0− + =



 


 


 
. 
Baøi 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng 
AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI. 
 a) Chứng minh: BN BA MB− =



 

 



. 
 b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA NI ND NM BN NC;+ = − =



 

 


 


 


 



. 
Baøi 3. Cho hình bình hành ABCD. 
 a) Chứng minh rằng: AB AC AD AC2+ + =



 


 


 



. 
 b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM AB AC AD3 = + +



 


 


 



. 
Baøi 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. 
 a) Chứng minh: MN AB DC1 ( )
2
= +




 


 



. 
 b) Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD 0+ + + =



 


 


 


 
. 
Baøi 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung 
điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA SB SC SD SO4+ + + =


 

 

 


 



. 
Baøi 6. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: 
 a) IB IC2 3 0+ =


 

 
 b) JA JC JB CA2 + − =


 

 

 


 c) KA KB KC BC2+ + =



 


 


 



 d) LA LB LC3 2 0− + =


 

 


 
. 
Baøi 7. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: 
 a) IA IB BC2 3 3− =


 

 



 b) JA JB JC2 0+ + =


 

 

 
 c) KA KB KC BC+ − =



 


 


 



 d) LA LC AB AC2 2− = −


 


 


 



. 
Baøi 8. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau: 
 a) IA IB IC BC+ − =


 

 



 b) FA FB FC AB AC+ + = +


 


 


 


 



 c) KA KB KC3 0+ + =



 


 




 d) LA LB LC3 2 0− + =




 

 




. 
Baøi 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng 
thức sau: 
 a) IA IB IC ID4+ + =


 

 

 


 b) FA FB FC FD2 2 3+ = −


 


 


 



 c) KA KB KC KD4 3 2 0+ + + =



 


 


 




. 
Baøi 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. 
 a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB= +




 


 



, ME MA BC= +



 


 



, 
MF MB CA= +



 


 


. Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
 b) So sánh 2 véc tơ MA MB MC vaø MD ME MF+ + + +



 


 


 



 


 



. 
Baøi 11. Cho tứ giác ABCD. 
 a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD 0+ + + =



 


 


 




 (G đgl trọng tâm của 
tứ giác ABCD). 
 b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có: ( )OG OA OB OC OD1
4
= + + +



 


 


 


 



. 
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ 
Trang 5 
 Baøi 12. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của các tam 
giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh: 
 a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′. 
 b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A′B′C′D′. 
Baøi 13. Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao 
cho các vectơ v đều bằng k MI.




 với mọi điểm M: 
 a) v MA MB MC2= + +



 


 




 b) v MA MB MC2= − −



 


 




 c) v MA MB MC MD= + + +



 


 


 





 d) v MA MB MC MD2 2 3= + + +



 


 


 





. 
Baøi 14. 
 a) 
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau 
 • Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng 
thức AB kAC=



 



, với k ≠ 0. 
 • Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức 
OM ON=



 



, với O là một điểm nào đó hoặc MN 0=






. 
Baøi 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA OB OC2 3 0+ − =



 


 


 
. Chứng tỏ rằng A, B, C 
thẳng hàng. 
Baøi 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: 
BH BC BK BD
1 1
,
5 6
= =



 


 


 



. Chứng minh: A, K, H thẳng hàng. 
 HD: BH AH AB BK AK AB;= − = −



 


 


 


 


 



. 
Baøi 3. Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB IC2=


 


, JC JA
1
2
= −


 


, 
KA KB= −



 



. 
 a) Tính IJ IK theo AB vaø AC,


 

 


 



. (HD: IJ AB AC4
3
= −


 


 



) 
 b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB). 
Baøi 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P 
sao cho MB MC3=



 



, NA CN3=



 



, PA PB 0+ =


 




. 
 a) Tính PM PN,



 



 theo AB AC,



 



. 
 b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng. 
Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho 
AD = 1
2
AF, AB = 1
2
AE. Chứng minh: 
 a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng. 
 b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành. 
Baøi 6. Cho ∆ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA IC3 0+ =


 



, JA JB JC2 3 0+ + =


 

 



. 
Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng. 
Baøi 7. Cho ∆ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: MA MB3 4 0+ =



 




, NB NC3 0− =



 




. 
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ∆ABC. 
Vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
www.MATHVN.com Trang 6 
 Baøi 8. Cho ∆ABC. Lấy các điểm M N, P: MB MC NA NC PA PB2 2 0− = + = + =



 


 


 


 

 




 a) Tính PM PN theo AB vaø AC,



 


 


 



. b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 
Baøi 9. Cho ∆ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. 
Chứng minh các tam giác RIP và JQS có cùng trọng tâm. 
Baøi 10. Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua 
C, C′ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có 
chung trọng tâm. 
Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi: A B A C2 3 0′ ′+ =



 




, B C B A2 3 0′ ′+ =



 




, 
C A C B2 3 0′ ′+ =



 




. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm. 
Baøi 12. Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho: 
AA BB CC
AB BC AC
′ ′ ′
= = 
 Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm. 
Baøi 13. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A′, B′, C′ lần lượt là điểm đối xứng của 
M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB. 
 a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui tại một điểm N. 
 b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của ∆ABC. 
Baøi 14. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: MA MB3 4 0+ =



 




, 
CN BC
1
2
=



 



. Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ∆ABC. 
Baøi 15. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho 
BD DE EC= =



 


 



. 
 a) Chứng minh AB AC AD AE+ = +



 


 


 



. 
 b) Tính AS AB AD AC AE theo AI= + + +


 


 


 


 


 


. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng. 
Baøi 16. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM BC AB2= −



 


 



, 
CN xAC BC= −



 


 



. 
 a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng. 
 b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính IM
IN
. 
Baøi 17. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0+ + ≠ . 
 a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC 0+ + =



 


 




. 
 b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP aMA bMB cMC= + +



 


 


 



. Chứng minh ba điểm 
G, M, P thẳng hàng. 
Baøi 18. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN MA MB MC2 3= + −




 


 


 



. 
 a) Tìm điểm I thoả mãn IA IB IC2 3 0+ − =


 

 



. 
 b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
Baøi 19. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN MA MB MC2= − +




 


 


 



. 
 a) Tìm điểm I sao cho IA IB IC2 0− + =


 

 



. 
 b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
 c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố 
định. 
Baøi 20. 
 a) 
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ 
Trang 7 
 VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ 
 Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để 
đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn: 
 – Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của 
đoạn thẳng đó. 
 – Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là 
điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi. 
 – 
Baøi 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 
 a) MA MB MA MB+ = −



 


 


 



 b) MA MB MA MB2 2+ = +



 


 


 



. 
 HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực của AB. 
Baøi 2. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 
 a) MA MB MC MB MC3
2
+ + = +



 


 


 


 



 b) MA BC MA MB+ = −



 


 


 



 c) MA MB MB MC2 4+ = −



 


 


 



 d) MA MB MC MA MB MC4 2+ + = − −



 


 


 


 


 



. 
 HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABC). 
 b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA. 
Baøi 3. Cho ∆ABC. 
 a) Xác định điểm I sao cho: IA IB IC3 2 0− + =


 

 



. 
 b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức: 
 MN MA MB MC2 2= − +




 


 


 



 luôn đi qua một điểm cố định. 
 c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: HA HB HC HA HB3 2− + = −



 


 


 


 



. 
 d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: KA KB KC KB KC2 3+ + = +



 


 


 


 



Baøi 4. Cho ∆ABC. 
 a) Xác