Chuyên đề Hình chóp - Góc và khoảng cách

bài toán có liên quan đến hình chóp là tìm góc và khoảng cách.
	Ta đến với những bài toán sau:
Bài 1: Cho chéo nhau, có là đường vuông góc chung của và . Gọi là mặt phẳng chứa A và vuông góc với(D¢), còn (Q) // (P) cắt (D) và (D¢) lần lượt tại M và . Gọi . Đặt . Tìm mối quan hệ của a,b,g.
Giải :
* Vì và 
* là hình chữ nhật
Đặt MN = x. Ta có
* Dễ dàng thấy được . Trong mặt phẳng , ta có:
 Mà 
 MA = 
Bài 2: Cho tứ diện vuông S.ABC. M là một điểm bất thuộc DABC, I là trung điểm AB. Giả sử CA = 2SB, CB = 2SA. Kẻ SE ^ CA, SF ^ CB. CMR:
a. SC ^ EF
b. 
Giải :
* Ta có 
* 
 Þ SE = SF
 Từ đây ta dễ dàng suy ra: EF // AB mà nên EF ^ SC
* Ta có : 
 Mặt khác: AB = .SA (do DSAB vuông cân)
 = AC
 ÞEF = 
 Lại có: 
 CS = = = 
 Do đó: EF = = Þ (1)
* tan SCI = 
 tan SCA = 
 Þ (2)
* Từ (1),(2) suy ra: (đpcm)
Bài 3: Trong cho ABCD là hình vuông cạnh a. Lấy M,N Î CB và CD. Đặt 
CM = x, CN = y. Trên At ^lấy S. Tìm x,y để:
a. 
b. 
Giải :
a. 
 Để thì ta có:
b. Giả sử 
 Dựng . Ta có :
 Mặt khác: 
 Do đó: 
 Þ MN ^ AM
 Vậy để thì ta phải có: 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có và SA = a. ABCD là hình thang vuông tại A, D. AB = 2a, AD = CD = a
 a. Tính góc và 
 b. Tính góc 
Giải :
* Xét mp 
 + Gọi 
 Þ AHCD là hình vuông, DCHB là tam giác vuông cân.
 hay CA ^ CB
* Từ giả thuyết ta dễ dàng có được: SB = a, BC = AC = a, SD = a
 Þ SC = 2a
 Þ SC ^ CB
Do đó: .
 + Gọi 
 mà 
 Þ AI^SB Þ SB ^
 AK ^ SB
 Þ KI ^ SB 
 Dễ thấy: AI = a
 AK = 
 Þ DAKI vuông tại I
 Þ sin AKI = 
 Þ = 
* Trong mp dựng đường thẳng qua C vuông góc với SC và cắt SD tại E.
 + SE.SD = SC2 Þ SE = = 
 + 
 Þ BE2 = SE2 + SB2 – 2.SE.SB.cos ESB
 = a2 + 6a2 – 2.
 Þ cos ECB = = 
Bài 5: Cho DSAB đều và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng 
vuông góc với nhau. Gọi M là trung điểm của AD
a. Tìm 
b. Gọi là mặt phẳng qua BC và một điểm P bất kì trên SD. Xác định giá trịj lớn nhất có thể có của góc nhị diện giữa và , biết thiết diện giữa và hình chóp là hình thang
Giải :
Gọi O là trung điểm của AB 
Mà 
 mà BC ^ AB
a. Gọi E là trung điểm của BC 
Þ AE = MC = SE = 
AM = EC = 
Þ AMCE là hình bình hành
Þ MC // AE
Þ cos (MC,SA) = = 
Þ sin (MC,SA) = . Dễ thấy SO = 
Ta có: = SO. = SO.DC.MA = = 
Mặt khác: = SA.MC.sin (MC,SA).d(SA,MC)
Û = 
Û d(SA,MC) = 
b.
+ Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình thang.
Dựng PQ // AD (Q Î SA) 
Þ PQ // BC
Dễ thấy PQBC là thiết diện của (P) với hình chóp 
+ Trong mặt phẳng (SAB) dựng QQ¢ // SO 
Þ QQ¢ ^ (ABCD)
Dựng PP¢ ^ (ABCD) (P¢ Î (ABCD))
Þ (P¢Q¢BC) = ch (PQBC)/(ABCD)
+ Ta có: (OAD) = ch (SAD)/(ABCD)
Þ P¢ Î OD, Q¢ Î OA
+ Đặt SP = x (0 £ x £ SD = 
Þ 
Þ 
Þ OP¢ = 
Þ 
Þ P¢Q¢ ^ AB Þ P¢Q¢ = 
Þ SP’Q’BC = .Q¢B.(P¢Q¢ + BC) = = 
+ 
Þ PQ = 
+ 
Þ QQ¢ = 
Do QQ¢ ^ Q¢B
Þ QB = 
= 
= 
Þ = 
Þ cos ((P),(ABCD)) = 
Đặt f(x) = "x Î [o;a]
Xét f¢(x) = > 0 "x Î [o;a]
Vậy max f(x) = 2 min f(x) = 1
Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC đều có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy và là góc giữa hai mặt bên.
Tìm mối quan hệ giữa và .
Giải:
+ Gọi I là trung điểm của BC . 
+ Dựng BJ SA ().
Ta dễ dàng suy ra: 
Suy ra: 
+ (BJC) SA 
( Do BJ = JC mà I trung điểm BC nên )
+ Gọi H = ch H là tâm của 
++ 
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, đường
 cao SH = h. Cho mặt phẳng (P) qua BD và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
 Tính tỉ lện thể tích hai khối đa diện được chia bởi với là góc giữa hai mặt
 bên và mặt đáy
Giải:
+ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
+ Dựng DESC.
Ta có: 
+ Gọi là phần còn lại.
Xét : 
Ta có: 
Ÿ
Ÿ(BDE)SC 
Suy ra: 
Bài 8: Cho (P) có chứa hình chữ nhật ABCD với AB = a, BC = b. Trên đường
 thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại trung điểm O của AB lấy điểm S
 sao cho SO = ab. Trên BC lấy BM = x, trên CD lấy DN = y 
Tìm mối quan hệ giữa x, y, a, b sao cho:
2) P là trung điểm của SM, Q là trung điểm của ON. Tìm điều kiện để 
PQ = d(SM, ON)
Giải:
1) a. Giả sử ta có : . Dựng NM’SM (M’ SM).
	Ta có : 
	Mặt khác: SO
	Do đó: MM’ 
Vậy để thì ta phải có 
	(1)
Ta có BM = xCM = b – x
DN = yDN = a – y
Vậy theo (1) ta có :
Vậy điều kiện để (SOM) và (SMN) vuông góc là :
b) lập luận như trên ta có điều kiện để (SON)(SMN) là ONMN
Khi đó : 
2) PQ = d(SM, ON) (1)
Ta có :
Từ (1) ta có : 
Vậy điều kiện để PQ là khoảng cách giữa ON và SM là :
Bài 9 :Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường cao SA = . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại C’, B’, D’. 
Tính góc giữa C’D’ và AD
Giải :
+Gọi 
 Dựng DKSC 
 Ÿ 
 Mà ta cónên suy ra: đồng dạng với 	(1)
 Ÿ AC’SC
 Từ (1) : C’E = 
 Ÿ cos SCA = 
+ cos ADK
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a có 
. Gọi O là giao điểm của AC và BD , biết SO (ABCD) 
và SO = .
a. Xác định và tính khoảng cách giữa SB, AD. 
b. Tính góc giữa (SBC) và (SAD).
Giải :
a. Qua O dựng đường thẳng d AD và cắt AD, BC lần lượt tại I,J.
	+ Dựng IH SJ ()
 Ÿ 
 Ÿ AD // BC 
	Vậy IH = d(AD,SB)
 Dễ thấy OI = OJ =. Dựng F là hình chiếu của O trên SJ , ta dễ dàng suy ra được : OF = 
 Suy ra : IH = 2.OF = 
b. Qua S dựng đường thẳng d // AD // BC, d = 
 Ta dễ dàng có được:
	Ÿ IJ = 2.OI = 
	Ÿ 
 đều 
 Vậy góc giữa (SAD) và (SBC) là 
Nhận xét : Ở bài toán này, để tính độ dài khoảng cách giữa hai đoạn AD và SB 
ta còn có thể làm như sau :
+ đều cạnh a
	 SO
	 Suy ra : = (1)
+ Mặt khác :
	= 
 Trong đó:
	Ÿ SB = 
	Ÿ SC = 
	Ÿ AD // BC 
	 Suy ra: = (2)
	+ Từ (1) và (2) ta suy ra được : d(AD,SB) = 
	Bài toán không khó, nó chỉ xoay quanh những phạm vi kiến thức cơ bản và chỉ đòi hỏi mức độ nắm vững kiến thức của chúng ta và sự linh hoạt trong việc biến đổi biểu thức 
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại A. AB = a, BC = 2a.
Dựng SH vuông góc với (ABC) tại H sao cho . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, SA. Gọi là mặt phẳng qua BJ và vuông góc 
với mặt phẳng (SHI).
Tính góc giữa và (ABC).
Giải:
+ Dễ thấy CA = a và 
Gọi K là trung điểm của AH
Suy ra : AK (1)
+ Gọi N là trung điểm của SI. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ICS và
ba điểm B, N, M ta có :
 Gọi T là giao điểm của MJ và AC. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ACS và ba điểm T, M, J ta có :
 Do đó: A là trung điểm của TC. 
 Suy ra :BTC cân tại T . (2)
 Từ (1) và (2) ta có : (3)
+ Mặt khác , ta thấy H là hình chiếu của S trên (ABC) , do đó AH là hình 
chiếu của SA trên (ABC) . 
 Mà J, K lần lượt là trung điểm cùa SA và AH.
 Nên K là hình chiếu của J trên (ABC) (4)
+ Từ (3) và (4) ta được : (JBK) TB
 Ta dễ dàng tính được : 
 cos JBK = 
Bài 12 : Cho hình chóp C. ABB’A’ với đáy ABB’A’ là hình chữ nhật . Biết
 AA’ và BB’ cùng vuông góc với (ABC), dựng đường vuông góc chung của 
A’B và B’C.
Giải :
Trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ đường thẳng qua B’, song song với A’B và cắt
 AB tại D.
Từ B kẻ BKCD ().
Từ B kẻ BHB’K ().
Từ H kẻ đường thẳng song song với A’B và cắt CB’ tại J.
Từ J kẻ đường thẳng song song với BH và cắt A’B tại I
Ta có :
Mà DB’ // A’B nên BH A’B
Mặt khác IJ // BH nên 
Vậy IJ là đường vuông góc chung mà ta cần dựng.
Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa hình lục giác đều cạnh 
a, đường cao SA = a. Dựng đường vuông góc chung của BD, SC ; xác định 
chân đường vuông góc trên các cạnh SC và BD.Tính độ dài đoạn vuông góc 
chung đó.
Giải :
Qua C kẻ đường thẳng song song với BD và cắt AB và AD lần lượt tại K và E.
Kẻ BHSK . Từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt SC tại J, từ 
J kẻ đường thẳng song song với BH và cắt BD tại I.
+ Do ABCD là nửa hình lục giác đều cạnh a nên BDAB
+ 
+
Vậy IJ là đường vuông góc chung của SC và BD.
Dễ thấy : 
Lại có tứ giác SABH nội tiếp. Do đó KH.KS = KB.KA
Vậy 
Suy ra : (do HJ // KC). Điểm J được xác định trên CS
Ta lại có: 
Vì BI = HJ nên . Điểm I được xác định trên BD 
+Ta có:
( BH // IJ , HJ // BI HJIB là hình bình hành )
	BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mp(SAB)mp(ABCD), 
tam giác SAB đều. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a/ (SAB) và (SAD);
b/ (SAD) và (SBC);
c/ (SHC) và (SDI), với H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Bài tập 2/ Cho tứ diện ABCD, hai mp(SAB) và (SBC) vuông góc với nhau, SA 
vuông góc mp(ABC). Cho. Xác định để 
mp(SCA) và mp(SCB) tạo với nhau góc 600.
Bài tập 3/ Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD cạnh a, . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại giao điểm O của hai đường chéo hình thoi, 
lấy điểm S sao cho SO = a. Chứng minh rằng mp(SAB) vuông góc với 
mp(SAD).
Bài tập 4/ Trong mp(P) cho hình thang cân ABCD có AB=2a, CD=a, BC=AD=a. 
Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại trung điểm M của AB, lấy S: SM=a.
a/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
b/ Tính góc giữa SM với mp(SCD).
Bài tập 5/ Cho ABC là tam giác vuông ở C, AC = a, BC = b. Trên đường thẳng 
vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = h. Gọi M, N lần lượt là 
trung điểm của các cạnh AC và SB. Tìm giá nhỏ nhất của MN khi h thay đổi.
Bài tập 6/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, góc BAC bằng 1200, AC = b,
 BC = a, cạnh SA vuông góc với đáy, góc giữa mp(SBC) và mặt phẳng đáy là 
600. Tính:
a/ Đường cao của hình chóp. 
b/ Khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài tập 7/ Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại C, AC = x, AB = 
2a, đường cao SA = h (h cho trước và nhỏ hơn 2a). Gọi I và J lần lượt là trung 
điểm AC và SB. Xác định x theo a để IJ là đường vuông góc chung của AC và 
SB. Khi đó hãy tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài tập 8/ Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng At vuông góc với 
mp(ABC) lấy điểm S sao cho AS = b. 
a/ Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a, b.
b/ Hz là đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với 
(SBC). Chứng minh rằng khi S di