Chuyên đề Hàm số đơn điệu trên tập con của R - Nguyễn Phú Khánh

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
20 
Dạng 4 : Hàm số đơn điệu trên tập con của
 . 
Phương pháp: 
 * Hàm số ( , )y f x m= tăng x I∀ ∈ ' 0 min ' 0
x I
y x I y
∈
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ . 
 * Hàm số ( , )y f x m= giảm ' 0 max ' 0
x I
x I y x I y
∈
∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ . 
Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau 
1. 
4mx
y
x m
+
=
+
 luôn nghịch biến khoảng ( );1−∞ . 
2. ( )3 23 1 4y x x m x m= + + + + nghịch biến trên khoảng ( )1;1− . 
Giải : 
1. 4mxy
x m
+
=
+
 luôn nghịch biến khoảng ( );1−∞ . 
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( );1−∞ . 
* Ta có ( )
2
2
4
' ,
m
y x m
x m
−
= ≠ −
+
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( );1−∞ khi và chỉ khi ( )( )
' 0, ;1
;1
y x
m
 < ∀ ∈ −∞

− ∉ −∞
( )
2 4 0 2 2 2 2
2 1
1 1;1
m m m
m
m mm
  
− < − < < − < <  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −  
− ≥ ≤ −
− ∉ −∞    
Vậy : với 2 1m− < ≤ − thì thoả yêu cầu bài toán . 
2. ( )3 23 1 4y x x m x m= + + + + nghịch biến trên khoảng ( )1;1− . 
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( )1;1− . 
* Ta có : 2' 3 6 1y x x m= + + + 
Cách 1 : 
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( )1;1− khi và chỉ khi 
( )' 0, 1;1y x≤ ∀ ∈ − hay. 
Xét hàm số ( ) ( ) ( )23 6 1 , 1;1g x x x x= − + + ∀ ∈ − 
( ) ( ) ( )' 6 6 0, 1;1g x x x g x⇒ = − − < ∀ ∈ − ⇒ nghịch biến trên khoảng ( )1;1− 
và ( ) ( )
1 1
lim 2, lim 10
x x
g x g x
+ −→− →
= − = − 
* Bảng biến thiên. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
21 
x 1− 1 
( )'g x − 
( )g x 
 2− 
 10− 
Vậy 10m ≤ − thoả yêu cầu bài toán . 
Cách 2 : 
( )'' 6 6f x x= + 
Nghiệm của phương trình ( )'' 0f x = là 1 1x = − < . Do đó, hàm số đã 
cho nghịch biến trên khoảng ( )1;1− khi và chỉ khi ( )
1
lim 10
x
m g x
−→
≤ = − . 
Vậy 10m ≤ − thoả yêu cầu bài toán . 
Bài tập tự luyện: 
Tìm m để các hàm số sau: 
1. 1mxy
x m
−
=
−
 luôn nghịch biến khoảng ( )2;+∞ . 
2. ( )
2
2 3
x m
y
m x m
−
=
+ −
 luôn nghịch biến khoảng ( )1;2 . 
3. 
2 2x m
y
x m
−
=
−
 luôn nghịch biến khoảng ( );0−∞ . 
4. 
( ) 21
3
m x m
y
x m
− +
=
+
 luôn nghịch biến khoảng ( )0;1 . 
Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau 
1. 3 22 2 1y x x mx= − + − đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ . 
2. 3 2 3 2y mx x x m= − + + − đồng biến trên khoảng ( )3;0− . 
3. ( ) ( )3 21 2 1 1
3
y mx m x m x m= + − + − + đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ . 
Giải : 
1. 3 22 2 1y x x mx= − + − đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ . 
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( )1;+∞ . 
* Ta có : 2' 6 4y x x m= − + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
22 
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ khi và chỉ khi 
( )' 0, 1;y x≥ ∀ ∈ +∞ ( ) 26 4 , 1g x x x m x⇔ = − ≥ − > 
Xét hàm số ( ) 26 4g x x x= − liên tục trên khoảng ( )1;+∞ , ta có 
( ) ( )' 12 4 0, 1g x x x g x= − > ∀ > ⇔ đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ 
và ( ) ( ) ( )2
1 1
lim lim 6 4 2, lim
xx x
g x x x g x
+ + →+∞→ →
= − = = +∞ 
* Bảng biến thiên. 
x 1− +∞ 
( )'g x + 
( )g x 
 +∞ 
 2− 
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2 2m m≥ − ⇔ ≥ − 
2. 3 2 3 2y mx x x m= − + + − đồng biến trên khoảng ( )3;0− . 
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( )3;0− . 
* Ta có : 2' 3 2 3y mx x= − + 
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )3;0− khi và chỉ khi ' 0,y ≥ 
( )3;0x∀ ∈ − . 
Hay ( ) ( )2 22 33 2 3 0, 3;0 , 3;03
x
mx x x m x
x
−
− + ≥ ∀ ∈ − ⇔ ≥ ∀ ∈ − 
Xét hàm số ( ) 22 33
x
g x
x
−
= liên tục trên khoảng ( )3;0− , ta có 
( ) ( ) ( )2 46 18' 0, 3;09
x x
g x x g x
x
− +
= < ∀ ∈ − ⇒ nghịch biến trên khoảng ( )3;0− 
và ( ) ( )
3 0
4
lim , lim
27x x
g x g x
+ −→− →
= − = −∞ 
* Bảng biến thiên. 
x 3− 0 
( )'g x − 
( )g x 
 4
27
− 
 −∞ 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
23 
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 4
27
m ≥ − 
3. ( ) ( )3 21 2 1 1
3
y mx m x m x m= + − + − + đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ . 
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( )2;+∞ . 
* Ta có : ( )2' 4 1 1y mx m x m= + − + − 
Hàm số đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ khi và chỉ khi 
( ) ( ) ( )2' 0, 2; 4 1 1 0, 2;y x mx m x m x≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ + − + − ≥ ∀ ∈ +∞ 
( ) ( ) ( )2 2 4 14 1 4 1, 2; , 2;4 1xx x m x x m xx x+⇔ + + ≥ + ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞+ + 
Xét hàm số ( ) ( )2 4 1 , 2;4 1
x
g x x
x x
+
= ∈ +∞
+ +
( ) ( )( ) ( ) ( )22
2 2 1
' 0, 2;
4 1
x x
g x x g x
x x
− +
⇒ = < ∀ ∈ +∞ ⇒
+ +
nghịch biến trên khoảng 
( )2;+∞ và ( ) ( )
2
9
lim , lim 0
13 xx
g x g x
+ →+∞→
= = 
Bảng biến thiên. 
x 2 +∞ 
( )'g x − 
( )g x 
 9
13
 0 
Vậy 9
13
m ≥ thoả yêu cầu bài toán . 
Bài tập tự luyện: 
Tìm m để các hàm số sau: 
1. 
( )2 1 1
2
mx m x
y
x m
+ + −
=
−
 đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ . 
2. ( ) ( ) ( )3 2 22 7 7 2 1 2 3y x mx m m x m m= − − − + + − − đồng biến trên 
khoảng ( )2;+∞ . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
24 
3. 3 21 ( 1) 3( 2) 1
3
y mx m x m x= − − + − + đồng biến trên khoảng (2; )+∞ . 
Ví dụ 3 : Tìm m để các hàm số sau : 
1. 
2 6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
 nghịch biến trên nửa khoảng )2; +∞ . 
2. 3 2 2( 1) (2 3 2) (2 1)y x m x m m x m m= − + − − + + − đồng biến trên nửa 
khoảng )1; +∞ . 
Giải : 
1. 
2 6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
 nghịch biến trên nửa khoảng )2; +∞ . 
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng )2; +∞ 
* Ta có 2 2' 3 2( 1) (2 3 2)y x m x m m= − + − − + 
Hàm đồng biến trên nửa khoảng )2; +∞ . )' 0, 2;y x ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ 
)2 2( ) 3 2( 1) (2 3 2) 0, 2;f x x m x m m x ⇔ = − + − − + ≥ ∀ ∈ +∞ 
Vì tam thức ( )f x có 2' 7 7 7 0 m m m∆ = − + > ∀ ∈ 
 nên ( )f x có hai nghiệm 
1 2
1 ' 1 '
;
3 3
m m
x x
+ − ∆ + + ∆
= = . 
Vì 
1 2
x x< nên 1
2
( )
x x
f x
x x
 ≤
⇔  ≥
. 
Do đó ) 2( ) 0 2; 2 ' 5f x x x m≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ ⇔ ∆ ≤ − 
2 2
5 5 3
2
2' (5 ) 2 6 0
m m
m
m m m
 ≤ ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ ∆ ≤ − + − ≤  
. 
2. 3 2 2( 1) (2 3 2) (2 1)y x m x m m x m m= − + − − + + − đồng biến trên nửa 
khoảng )1; +∞ . 
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng )1; +∞ 
* Ta có 
2
2
4 14
'
( 2)
mx mx
y
x
+ +
=
+
Hàm nghịch biến trên nửa khoảng [1; )+∞ 2( ) 4 14 0f x mx mx⇔ = + + ≤ , 
) ( )1; *x ∀ ∈ +∞ . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
25 
Cách 1: Dùng tam thức bậc hai 
• Nếu 0m = khi đó ( )* không thỏa mãn. 
• Nếu 0m ≠ . Khi đó ( )f x có 24 14m m∆ = − 
Bảng xét dấu ∆ 
m −∞ 0 7
2
 +∞ 
'∆ + 0 − 0 + 
• Nếu 70
2
m ∀ ∈ 
 , nếu ( )f x có hai nghiệm 
1 2
,x x thì 
( ) 0f x ≤ 
1 2
( ; )x x x⇔ ∈ nên ( )* không thỏa mãn. 
• Nếu 0m < hoặc 7
2
m > . Khi đó ( ) 0f x = có hai nghiệm 
2 2
1 2
2 4 14 2 4 14
;
m m m m m m
x x
m m
− + − − − −
= 
Vì 0m < hoặc 7
2
m > 1
1 2
2
( ) 0
x x
x x f x
x x
 ≤
⇒ < ⇒ ≤ ⇔  ≥
 Do đó ) 22( ) 0 1; 1 3 4 14f x x x m m m≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ − 
2
0 14
55 14 0
m
m
m m
 <
⇔ ⇔ ≤ −
+ ≥
. 
Cách 2: )
2 1
14
(*) ( ) 1; min ( )
4 x
m g x x m g x
x x ≥
−
⇔ ≤ = ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤
+
Ta có
1
14 14
min ( ) (1)
5 5x
g x g m
≥
= = − ⇒ ≤ − . 
Bài tập tự luyện : 
Tìm m để các hàm số sau : 
1. 
( )2 2 2x m x
y
x m
+ − −
=
+
 đồng biến trên nửa khoảng ( ;1−∞  . 
2. ( ) ( )3 21 1 1 1
3
y x m x m x= + − − − + nghịch biến trên nửa khoảng ( ; 2−∞ −  . 
Ví dụ 4 : Tìm tất cả các tham số m để hàm số 3 23y x x mx m= + + + nghịch 
biến trên đoạn có độ dài bằng 1?. 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
26 
* Ta có : 2' 3 6y x x m= + + có ' 9 3m∆ = − 
i Nếu 3m ≥ thì ' 0,y x≥ ∀ ∈ 
 , khi đó hàm số luôn đồng biến trên 
 , do đó 
3m ≥ không thoả yêu cầu bài toán . 
i Nếu 3m < , khi đó ' 0y = có hai nghiệm phân biệt ( )1 2 1 2,x x x x< và hàm số 
nghịch biến trong đoạn
1 2
;x x   với độ dài 2 1l x x= − 
Theo Vi-ét, ta có :
1 2 1 2
2,
3
m
x x x x+ = − = 
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 1l⇔ = 
( ) ( )2 22 1 1 2 1 2 4 91 4 1 4 13 4x x x x x x m m⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = . 
Bài tập tương tự : 
1. Tìm tất cả các tham số m để hàm số 3 2 23 1y x m x x m= − + + − nghịch 
biến trên đoạn có độ dài bằng 1?. 
2. Tìm tất cả các tham số m để hàm số 3 2 2 3 5y x m x mx m= − + + + + đồng 
biến trên đoạn có độ dài bằng 3 ?. 
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số cosy x m x= + đồng biến trên 
 . 
Giải: 
* Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
* Ta có ' 1 siny m x= − . 
Cách 1: Hàm đồng biến trên 
 
' 0, 1 sin 0, sin 1, (1)y x m x x m x x⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ − ≥ ∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈
 
 
 
 * 0m = thì (1) luôn đúng 
 * 0m > thì 1 1(1) sin 1 0 1x x m
m m
⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ⇔ < ≤
 . 
 * 0m < thì 1 1(1) sin 1 1 0x x R m
m m
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ < . 
Vậy 1 1m− ≤ ≤ là những giá trị cần tìm. 
Cách 2: Hàm đồng biến trên ' 0 y x⇔ ≥ ∀ ∈
 
 
1 0
min ' min{1 ;1 } 0 1 1
1 0
m
y m m m
m

− ≥
⇔ = − + ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ + ≥
. 
Bài tập tự luyện: 
1. Tìm m để hàm số ( )1 cosy x m m x= − + nghịch biến trên 
 . 
2. Tìm m để hàm số .sin cosy x x m x= + đồng biến trên 
 . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 
27