Chuyên đề Hàm số - Đạo hàm - Nguyễn Trường Sơn

f x0 0
′∃ ∈ =
′
⇒ =
⎧⎪⎨⎪⎩ 
I
(T)
(C)
f"<0
f">0
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
x a; b :gt mở rộng f x3 0 0i :
f x đổi dấu khi x đi qua x0
 giá trị mở rộng f x0
4i : f x không đổi dấu khi x băng qua x hoặc0
f x đổi dấu khi x đi qua x0
I x , f x : là0 0
′′∃ ∈ = ∞
′′
′ = ∞
′
′′
⇒
⎡ ⎧⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎩⎢ ⎧⎢ ⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎢ ⎩⎣
( ) ( ) điểm uốn của C : y f x=
III. TIỆM CẬN: 
Tiệm cận đứng x = x0 Tiệm cận ngang y = y0 Tiệm cận xiên y = ax+b 
∞=
→
ylim
0xx
 0x
yylim =∞→ 
( )[ ]
( )[ ]⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
∞=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
=
∞→
∞→
∞→
∞→
0baxylim
lim
baxylimb
x
ylima
x
x
x
x
Chú ý: ( ) ( ) xiêncậntiệmlàbaxy thì 0xlim với xbaxy
x
+==εε++= ∞→ 
 - 
15
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ 
 Trích từ 
 1. Hàm phân thức 
( )
( )xQ
xPy = : 
TCĐ: x = x0 TCN TCX TC cong là Parabola 
Tìm nghiệm x0 của Q(x) = 
0 Bậc P(x)≤Bậc Q(x) Bậc P(x) > Bậc Q(x) 1 bậc Bậc P(x) > Bậc Q(x) 2 bậc 
 2. Hàm hữu tỷ: 
( )
( )
 - 
16
'bx'a
'a
'bP
'a
'abb'ax
'a
a
xQ
xP
'bx'a
cbxaxy 2
2
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+−+==+
++= 
TCX:
'a
'abb'ax
'a
ay0
'bx'a
'a
'bP
lim 2x
−+=⇒=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
∞→ 
 3. Hàm vô tỷ (hàm căn thức): y = f(x) 
• Nếu 
( ) ( ) ( )b2f x ax bx c a x x . Với lim x 0
x2a
= + + = + + ε ε =→∞
b
Nhánh trái : y - a x
b 2a
TCX : y a x
2a b
Nhánh phải : y a x
2a
= +
⇒ = + =
= +
⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
• Nếu ( ) ( )x
2
pxbaxqpxxbaxxf 2 ε++++=++++= 
p
Nhánh trái : y ax b- x
p 2
TCX : y ax b x
2 p
Nhánh phải : y ax b x
2
= + +
⇒ = + + + =
= + + +
⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
 4. Đặc biệt: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim f x
xC y f x g x x mà T y g x là tiệm cận cong.
lim f x g x lim x 0
x x
= ∞→∞= = + ε ⇒ =
− = ε =→∞ →∞
⎧⎪⎨ ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
CHỦ ĐỀÀ 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ 
I. HÀM BẬC HAI: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2 ≠++== 
• Tam thức bậc hai có dạng: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2 ≠++== 
Gọi 
2a
b- xđặt 0, khi;ac4b 1,2
2 Δ±=≥Δ−=Δ , ta có f(x1) = f(x2) = 0 thì x1, x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai (cũng là 
hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2+bx+c = 0). 
• Tính chất của các nghiệm số x1; x2 (quy ước x1 < x2) 
thuận) Viete lý (Định 
a
cxxP
a
bxxS
21
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−=+=
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ 
 Trích từ 
) ( )
a
x-x :đề Mệnh 21
Δ=⇒ 
) Hệ quả (Định lý Viete đảo): Nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P; thì hai số đó là nghiệm của phương trình: ( ) ⇒
( ) ( )04P-S :Với0PSxxxf 22 ≥=+−= 
) Nếu 21 x0x0a
cP <<⇔<= (hai nghiệm trái dấu) 
Ta có hai trường hợp nhỏ: 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−=
>⇒<−=
21
21
xx0
a
bS
xx0
a
bS
) Nếu 0xx
0
a
bS
0
a
cP
21 <<⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−=
>=
 (hai nghiệm đều âm) 
) Nếu 21 xx0
0
a
bS
0
a
cP
<<⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−=
>=
 (hai nghiệm đều dương) 
• Tính chất đồ thị ( ) ( ) cbxaxxfy:P 2 ++== 
là một Parabola (đứng) có đỉnh ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−
a4
;
a2
bS 
) Để ý 
a2
bxS −= ; là nghiệm kép của tam thức bậc hai, thì a2
bx:d −= là trục đối xứng của (P). 
• Dấu tam thức bậc hai: 
Viết tam thức dưới dạng: ( ) ( )0aac4abx4xa4xaf4 22 ≠++= 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 4ac-b với ;*bax2xaf4
bac4bax2xaf4
22
22
=ΔΔ−+=⇔
−++=⇔
Từ (*) ta có định lý thuận về dấu tam thức bậc hai như sau: 
 Tam thức bậc hai luôn có dấu của hệ số a; với mọi giá trị của x và chỉ loại trừ hai trường hợp: 
) Nếu 0
a2
baf0 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⇒=Δ 
) Nếu ( ) ( )21 x;xx;0xaf0 ∈∀<⇒<Δ 
0>Δ 
• Tồn tại (x1;x2) mà trong đó f(x) trái 
dấu a 
• [ ] { }0;x;x 21 φ≠ ( )
x x1 2
| |Cùng Trái Cùng
2f x ax bx c dấu 0 dấu 0 dấu
a a| | a
−∞ +
= + +
∞
0=Δ 
• Không tồn tại (x1;x2) mà trong đó f(x) 
trái dấu a 
• [ ] { }0x;x 21 =
⇒ Sự trái dấu bị suy biến ( )
b
x x x1 2 2a
|Cùng Cùng
2f x ax bx c dấu 0 dấu
a a|
−∞ = = −
= + +
+∞
 - 
17
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ 
 Trích từ 
0<Δ 
• Không tồn tại (x1;x2) mà trong đó f(x) 
trái dấu a 
• [ ] φ=21 x;x 
⇒ Sự trái dấu bị biến mất 
( )
x
Cùng
2f x ax bx c dấu
a
−∞ +
= + +
∞
• Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai: 
Dấu a 
Dấu Δ 
a>0 a<0 
Δ > 0 
y
(P)
S
x1 x20 x
a2
b−
a4
Δ−
y
(P)
S
x1 x2
0 x
a2
b−
a4
Δ−
Δ < 0 
y
(P)
S
0 x
a2
b−
a4
Δ−
y
(P)
S
0 x
a2
b−
a4
Δ−
Δ = 0 
y
(P)
S
0 x
a2
b−
a4
Δ−
y
(P)
S0
x
a2
b−
a4
Δ−
max 
min 
( )
a2
bx khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=Δ−=
∈
 ( )
a2
bx khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=Δ−=
∈
) Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: 
Nếu tồn tại số thực ( ) 0af thỏa <αα , thì tam thức B2 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và 21 xx <α< . 
) Hệ quả: 
Nếu tồn tại hai số thì tam thức B( ) ( ) 0ffcho sao và <βαβα 2 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và có một nghiệm nằm trong 
khoảng . ( ) ( β<αβα với ; )
Chẳng hạn: 2121 xx hayxx <β<<αβ<<α< 
• Từ định lý đảo ở trên ta có sự so sánh một số thực α với hai nghiệm x1, x2 của tam thức ( ) ( )0acbxaxxf 2 ≠++= 
như sau: 
) TH1: ( ) 21 xx0xaf 0). 
) TH2: Δ < 0: việc so sánh không đặt ra. 
 - 
18
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ 
 Trích từ 
) TH3: ( ) ( )
0
af 0 x x xem hình 11 2
S
0
2
Δ >
α > ⇔ α < <
− α >
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x1 x2α 
x // //
(hình 1) 
2
xx
2
S 21+=
) TH4: ( ) ( )2 hìnhxem 
0
2
S
xx0af
0
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<α−
αα
>Δ
x 1 x2 α
x // //
(hình 2) 
2
xx
2
S 21 +=
• Tam thức có ít nhất ba thực nghiệm ( ) cbxaxxf 2 ++= 0cba ===⇔ 
• Hai tiếp tuyến phát xuất từ một điểm bất kỳ M đến trên đường chuẩn (d) đến Parabola đều vuông góc với nhau và đồng thời 
đoạn nối các tiếp điểm T1T2 luôn luôn đi qua tiêu điểm F của (P). 
(P)
(d)
M
T1
(t )1(t )2
T2
II. HÀM BẬC BA: ( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23 ≠+++== Học sinh xem phần này trong Sgk 
( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23 ≠+++== 
• MXĐ: ( )+∞∞−= ;D
• Các đạo hàm: 2b6axy và cbx2ax3y 2 +=′′++=′
• Tâm đối xứng là điểm uốn: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
a3
bf;
a3
bI 
• Xét . Ta được bảng tổng kết. ac3b2'y −=Δ′=Δ′
0
0a
<Δ′
>
 ∞+
∞−
+′
∞+∞−
y
y
x
y
I
(C)
0
x
a3
b−
 - 
19
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ 
 Trích từ 
0
0a
<Δ′
<
∞−
∞+
−′
∞+∞−
y
y
x
y
I
(C)
0
x
a3
b−
0
0a
=Δ′
>
∞+
∞−
++
∞+∞−
y
'y
a3
bx
y
I
(C)
0
x
a3
b−
0
0a
=Δ′
<
∞−
∞+
−−
∞+∞−
y
'y
a3
bx
y
I
(C)
0
x
a3
b−
)xx
nghiệm 2 có 0y(
0
0a
21 <
=′
<Δ′
>
 ∞+
∞−
+−+
∞+∞−
CT
CĐ
y
00'y
xxx 21
y
I
(C)
0
x
a3
b−
)xx
nghiệm 2 có 0y(
0
0a
21 <
=′
<Δ′
<
∞−
∞+
−+−
∞+∞−
CĐ
CT
y
00'y
xxx 21
y
I
(C)
0
x
a3
b−
Chú ý: Xem thêm phần 7 CHỦ ĐỀà 3 
1. Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) ở trên có điểm cực tiểu và điểm cực đại (hàm số có cực trị) là: 
 ( ) ( ) 0ac3b có cbx2ax3xgx'f'y 2g2 >−=Δ′++===
2. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị. Ba điểm A, I, B thẳng hàng. 
• Gọi (x0;y0) là tọa độ các điểm cực trị ở trên nó thỏa: 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧ =++=
+++==
0cbx2x3xg
dcxbxaxxfy
0
2
00
0
2
0
3
000
• Thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp f(x0) : f(x0), ta có: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y f x Ax B g x x y x vì g x 0= = + + α +β ⇔ = α +β = 
• Vậy, ( ) β+α= xy:d là đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của (C). Điểm uốn của (C) là ( )dI∈ hay A, I, B 
thẳng hàng. 
 - 
20
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ 
 Trích từ 
• Do đó tọa độ các điểm cực trị và điểm uốn là: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
β+α−=
−=
⎩⎨
⎧
β+α=
=
⎩⎨
⎧
β+α=
=
a3
by
a3
bx
I;
xy
xx
B;
xy
xx
A
1
1
CTA
CTA
CĐA
CĐAI
3. Quỹ tích của cực trị, điểm uốn hàm bậc ba 
Từ các tọa độ A, B, I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó. 
) Khử tham số m. 
) Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với mọi giá trị tham số mDm∈∀ . 
) Quỹ tích của A, B hay I là ( ) β+α= xy:d 
4. Định tham số để hàm bậc ba cắt trục hoành trong các trường hợp 
TH1: (C) tiếp xúc Ox thì hệ sau có nghiệm: ⎪⎩
⎪⎨⎧ =++
=+++⇔⎩⎨
⎧
=′
=
0cbx2ax3
0dcxbxax
0y
0y
2
23
TH2: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt: ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧ <β+αβ+α=
>−=Δ′⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
TH3: (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt: ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧ =β+αβ+α=
>−=Δ′⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
TH4: Luôn cắt Ox tại ít nhất một điểm hay phương trình: ( )0a0dcxbxax 23 ≠=+++ : không thể vô nghiệm. 
TH5: (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất: 
( )( )⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨⎧ >β+αβ+α=
>−=Δ′
≤−=Δ′
⇔
0xxyy
0ac3b
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
2
g
TH6: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm dương: ( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
>
<
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
 hoặc
0x
00f
0yy
0a
CT
CTCĐ
CĐ
CTCĐ
y
(C)
0 x
x1 x2
fCT
fCĐ
f(0) xCĐ
x3
y
(C)
0 x
x1 x2
fCT
fCĐ
f(0)
xCT x3
TH7: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm âm: ( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
<
<
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
 hoặc
0x
00f
0yy
0a
CĐ
CTCĐ
CT
CTCĐ
y
(C) 0
x
x1 x2
fCT
fCĐ
f(0)
xCĐ
x3
y
(C) 0
x
x1 x2
fCT
fCĐ
f(0)
xCĐ
x3
 - 
21
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ 
 Trích từ 
TH8: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có đúng 2 nghiệm dương: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
>Δ
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
 hoặc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCĐ
g
CT
CTCĐ
g
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCĐ
xCT
yCĐ
yCĐ
yCT
x3
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCĐ
xCT
yCĐ
yCĐ
yCT
x3
TH9: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d