Chuyên đề giới hạn - Phần 2: Tính liên tục của hàm số & Phần 3: Đạo hàm của hàm số

PHẦN 2. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ.
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Chú ý. + 
 + 
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) b) c) 
d) e) f) 
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a) b) 
c) d) .
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI ĐIỂM .
Chú ý. + Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm .
 + Nếu thì 
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) , tại 
b) , tại 
Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) , tại 
b) , tại 
Bài 5. Tìm a để hàm số sau liên tục tại :
a) , tại .
b) ,tại . 
III. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TOÀN BỘ .
Bài 6. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn bộ :
a) b) 
Bài 7. Tìm a để hàm số sau liên tục trên :
Dạng 3. Ứng dụng của tính liên tục để xét nghiệm của pt .
Chú ý. Pt có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b) nếu:
 + f(x) liên tục trên đoạn [a,b].
 + f(a).f(b) < 0. 
Bài 8. Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
Bài 9. Chứng minh phương trình có nghiệm. 
BTVN.
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 
 a) b) c) 
 d) e) f) 
 g) h) i) 
 k) l) m) 
 n) p) q) 
 r) s) t) 
 u) v) 
 z) w) .
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) , tại 
b) , tại .
c) , tại .
Bài 3. Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên toàn bộ :
a) b) 
Bài 4. Chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
PHẦN 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ.
I. Đạo hàm của hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm số chứa căn.
Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số : . Từ đó, nêu công thức tính đạo hàm của hàm số .
Bài 2. Cho hàm số . Tính 
Bài 3. Xét tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số
 tại x = 0.
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a) c) 
b) d) 
Bài 5. Giải các bất phương trình sau: 
a) với 
b) với .
Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) b) 
c) d) .
Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) b) 
c) d) 
BTVN.
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số:
a) 	 	b) 
c) d) 	 	e) 
f) g) g) . 
Bài 2. Cho hàm số . Hãy giải các bất phương trình sau:
a) b) 
 Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 a) b) ;	c) ;
 d) e) ; g) 
 h) ; i) k) 
II. Đạo hàm của hàm số lượng giác.
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 	 	b) ; 
c) 	d) 
Bài 2. Giải phương trình với hàm số:
a) b) 
 Bài 3. Cho hàm số . Tính .
Vi phân. Đạo hàm cấp hai.
Bài 4. Tìm vi phân của các hàm số sau: 
a) 	 	; 	b) 
c) .
Bài 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) b) 
Bài 6. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: 
a) 	; 	
b) .
Bài 7. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) b) c) .
d) 	e) f) .
BTVN.
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 b) ; c) 	;	d) 	;
 e) f) ; g) 	
 h) ; i) 	;	 k) 	;
 l) ;	 m) ; n) 	
 o) ; p) ;	q) .
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau : 
a) nếu ;
b) nếu ;
c) nếu ;
d) nếu ;
Bài 3. Tìm đạo hàm cấp của các hàm số sau :
a) ;	b) ;	c) ;	
d) ;	e) ;
IV. Ứng dụng của đạo hàm.
Dạng 1. Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Chú ý. + Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm của đồ thị hàm số là .
 + Phương trình tiếp tuyến tại điểm M() là: 
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a) tại điểm có hoành độ 
b) biết tung độ tiếp điểm là 
Bài 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
Song song với đường thẳng d: 
Có hệ số góc lớn nhất.
Bài 3. Cho hàm số (C). 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1,-3).
Dạng 2. Dùng đạo hàm tính giới hạn dạng vô định .
Chú ý. + + 
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a) b) 
c) d) .
Dạng 3. Dùng đạo hàm chứng minh đẳng thức tổ hợp.
Chú ý. + Công thức nhị thức Niu-tơn: (*) 
 + Có thể đạo hàm hai lần liên tiếp. 
 + Có khi ta nhân x, x vào vế trái của (*) rồi mới lấy đạo hàm. 
Bài 5. Chứng minh:
a) 
b) 
c) 
Bài 6. Chứng minh: 
Bài 7. Chứng minh: 
BTVN.
Bài 1. Cho hàm số Tìm để :
a) b) 
c) d) .
Bài 2. Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết:
Tiếp tuyến có hệ số góc k = 2.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
Tiếp tuyến đi qua điểm A(1,1).
 Bài 3. Tìm số tự nhiên n sao cho:
 a) 
 b)