Chuyên đề Giải tích trong không gian - Lê Minh Đạt




 t
33
2
21
:1 ,  
13
23
2
:2 





uz
uy
ux
d
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng
() và cắt cả hai đường thẳng:  
01
02
:




zyx
zyx
  R
tz
ty
tx
d 






 t
2
1
2
:1   03
022
:2 



y
zx
d
Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0)
và cắt cả hai đường thẳng:  
2
1
1
1
1
:1
 zyxd  
121
1
:2
zyxd 
Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0)
và cắt cả hai đường thẳng:
 




012-2z5x
08-2y-3x
:d1    t
2
23
31
:2 R
tz
ty
tx
d 






Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (P) :x+y+z-
2=0 và cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2):
  R
tz
ty
tx
d 






 t
2
1
2
:1   03
022
:2 



y
zx
d
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ và cắt cả 2
đường thẳng (d1) và (d2):
  R
tz
ty
tx
d 






t
33
2
12
:1  
0313
23
2
:2 





uz
uy
ux
d
Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ
trực chuẩn 0xyz ,cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương
trình :
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
19
(P):x+y+z-3=0 và  
032
03
:




zy
zx
d Lập phương trình hình chiếu
vuông góc của đường thẳng (d) lên (Q).
Bài 2: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của giao tuyến (d) của
hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0.
Bài3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz
cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
 
2
1
3
4
4
: 
 zyxd và (P): x-y+3z+8=0.
Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) .
Bài4: Trong không gian 0xyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q)
có phương trình :
 




02z-x
03-z2y-3x
:d    R
ttz
tty
ttx
Q 






21
21
21
21
t,t
5
24
34
:
Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên (Q) .
Bài5: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phương trình :
 




03-z-2yx
01zy-2x
:d (Q): x-y+z+10=0
Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên
(P) .
Bài6: (ĐH Càn Thơ 1998) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc
0xyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
 
3
1
2
2
1
1
:
 zyxd và (P): x+y+z+1=0.
Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên
(P) .
Bài7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz
cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
 
3
1
2
2
1
1
:
 zyxd và (P): x+y+z+1=0.
1) Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d)
lên (Oxy) .
2) CMR khi m thay đổi đường thẳng (d1) luôn tiếp xúc với một đường
tròn cố định trong mặt phẳng 0xy.
Bài8: (ĐHQG-98): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz
cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình :
(P):x+y-z+1=0
 




02yx
01z-2y
:d1   02
0123
:2 



zx
zy
d
1) Hãy viết phương trình hình chiếu vuông góc (1), (2) của (d1),
(d2) lên (P) .Tìm toạ độ giao điểm I của (d1), (d2).
2) Víêt phương trình mặt phẳng  1P chứa (d1) và vuông góc với (P).
BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM
A. LÝ THUYẾT CHUNG
1. Nếu điểm M(x;y;z) thuộc đường (C ): y=f(x;y;z) thì tọa độ của
điểm phải thỏa mãn phương trình của đường .
2. Khoảng cách :
- Nắm vững công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng , đến
một mặt phẳng
3. Thuộc các dấu hiệu nhận dạng tam giác : cân , vuông , đều .
Các tính chất của đường trung tuyến , phân giác trong của góc
tam giác , tính chất trọng tâm , trực tâm của tam giác
4. Nhớ các tính chất của đường tròn : Đường kính đi qua điểm
giữa của một dây cung , tiếp tuyến kẻ từ một điểm nằm ngoài
đường tròn tới đường tròn , dấu hiệu nhận biết về vị trí tương
đối của hai đường tròn . Đặc biệt nhớ tính chất vị tự của đường
tròn trong hình học lớp 11.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. ( KA-2002)
Câu IV-2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
20
1 2
1
2 4 0
: ; : 2
2 2z 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y
z t
               
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 và song song với đường
thẳng 2 .
b/ Cho điểm M(2;1;4) . Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 sao
cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất ?
Ví dụ 2..(ĐHKA-2005)
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®­êng th¼ng d:
1 3 3
1 2 1
x y z   
 vµ mÆt ph¼ng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a.T×m to¹ ®é ®iÓm I thuéc d sao cho kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn mÆt
ph¼ng (P) b»ng 2
b.T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®­êng th¼ng d vµ mÆt ph¼ng (P).
ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng  n»m trong mÆt
ph¼ng (P), biÕt  ®i qua A vµ vu«ng gãc víi d.
Vi dụ 3.(ĐHKD-2005) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho
hai ®­êng th¼ng:
d1:
1 2 1
3 1 2
x y z    vµ d2 la giao tuyến của 2 mặt phẳng
( ) : 2 0 ; ( ) : 3 12 0x y z x y       
a.Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 song song víi nhau. ViÕt ph­¬ng
tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa c¶ hai ®­êng th¼ng d1 vµ d2
b.MÆt ph¼ng to¹ ®é Oxz c¾t hai ®­êng th¼ng d1, d2 lÇn l­ît t¹i
c¸c ®iÓm A, B. TÝnh diÖn tÝch OAB (O lµ gèc to¹ ®é)
Vi dụ 4. ( ĐHKB-2006)
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®iÓm A(0; 1; 2) vµ hai
®­êng th¼ng :
d1:
1 1
2 1 1
x y z    d2:
1
1 2
2
x t
y t
z t
      
a.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A, ®ång thêi song song
víi d1 vµ d2.
b.T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm M  d1, N  d2 sao cho ba ®iÓm A, M, N
th¼ng hµng
Ví dụ 5.(ĐHKA-2009)
Trong gian hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x-2y+2z-1=0 và hai
đường thẳng có phương trình :
1 2
1 9 1 3 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z           . Xác định tọa độ điểm
M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau .
Ví dụ 6. (ĐHKB-2009).
A. Theo chương trình chuẩn .
* Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh
A(1;2;1),B(-2;1;3),
C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao
cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) .
B. Theo chương trình nâng cao .
Trong không gian tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-5=0 và hai
điểm A(-3;0;1)
B(1;-1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P) , viết
phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là
nhỏ nhất ?
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
21
Ví dụ 7. (ĐHKD-2009).
A. Theo chương trình chuẩn .
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
A(2;1;0),B(1;2;2),C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x+y+z-20=0 .
Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD
song song với (P)
B. Theo chương trình nâng cao .
- Trong không gian tọa độ Oxyz ,cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y zd     và mặt phẳng (P): x+2y-3z+4=0 .
Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong mp(P) sao cho d’ cắt và
vuông góc với d
Ví dụ 8. ( ĐHKA-2008).
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng
1
:
1 1 2
x y zd   .
a/Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường
thẳng d
b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân
tại đỉnh O
Chú ý: Trong bài toán tìm điểm đã trình bày ở trên , ta cần chú ý đến
dạng bài toán sau :
BÀI TOÁN : Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A,B và mặt
phẳng (P)
a/ Nếu A,B nằm về một phía của (P) thì ta gặp cau hỏi : Tìm điểm M
trên (P) sao cho MA MB đạt GTNN hoặc chu vi tam giác MAB có
chu vi nhỏ nhất
b/ Nếu A,B nằm về hai phía của (P) thì thì ta gặp câu hỏi : Tìm M trên
(P) sao cho MA MB đạt GTLN ?
CÁCH GIẢI
1. Để MA+MB đạt GTNN .
 Bước 1. Kiểm tra vị trí tương đối của A,B đối với (P) ( Bằng
cách thay tọa độ của A,B vào phương trình của mặt phẳng (P),
nếu hai giá trị cùng dấu thì A,B nằm về một phía của (P) ).
 Bước 2: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (P)
 Bước 3: Lập phương trình đường thẳng (A’B)
 Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm của (A’B) với (P) : Đó chính là
điểm M cần tìm .
 Bước 5: Chứng minh M là điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài
toán .
2. Để MA MB đạt GTLN
 Bước 1: Kiểm tra vị trí tương đối của A,B đối với (P) ( Cách
làm như trên ).
 Bước 2: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (P)
 Bước 3: Lập phương trình đường thẳng (A’B)
 Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm của (A’B) với (P) : Đó chính là
điểm M cần tìm .
 Bước 5: Chứng minh M là điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài
toán .
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. ( ĐHQG-KB-2000)
Cho mặt phẳng (P) : x+y+z-1=0 và hai điểm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2)
1/ Chứng minh rằng đường thẳng (AB) cắt mặt phẳng (P) tại điểm I .
Tìm tọa độ của I
2/ Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho MA MB đạt GTLN ?
GIẢI
1/ Chứng minh rằng đường thẳng (AB) cắt mặt phẳng (P) tại điểm I .
Tìm tọa độ của I
- Ta có :       / /. 1 3 1 5 1 2 1 3 0A P B PP P          , suy ra A,B nằm
về hai phía của (P).
- Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua (P).
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
22
 Lập đường thẳng  qua A(1;-3;0) và vuông góc với
(P)
1
: 3
x t
y t
z t
      
 Tìm tọa độ H là giao của  với (P) , thì tọa độ của H là nghiệm
của hệ :
 
1
3
3 3 1 2; 2;1
1 0
x t
y t
t t H
z t
x y z
                
 Tọa độ A’ :  
'
'
'
2x 2.2 1 3
2x 2.2 3 1 ' 3; 1;2
2x 2.1 0 2
A H A
A H A
A H A
x x
y y A
z z
                   
- Lập đường thẳng d=(A’B) , qua A(1;-3;0) có
   ' 2;0; 4 / / 1;0; 2A B u     .
 Do đó đường thẳng (A’B) :
3
1
2 2
x t
y
z t
      
- Tìm tọa độ điểm M là giao của (A’B) với (P) , t