Chuyên đề Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph­¬ng ph¸p sư dơng täa ®é §Ị c¸c trong kh«ng gian ta lµm nh­ sau:
* B­íc 1: ThiÕt lËp hƯ täa ®é thÝch hỵp, tõ ®ã suy ra täa ®é c¸c ®iĨm cÇn thiÕt.
* B­íc 2: ChuyĨn h¼n bµi to¸n sang h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian. B»ng c¸ch:
+ ThiÕt lËp biĨu thøc cho gi¸ trÞ cÇn x¸c ®Þnh.
+ ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®iỊu kiƯn ®Ĩ suy ra kÕt qu¶ cÇn 
chøng minh.
+ ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®èi t­ỵng cÇn t×m cùc trÞ.
+ ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®èi t­ỵng cÇn t×m quü tÝch 
	v.v…
III. LuyƯn tËp.
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Ịu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cđa DABC. I lµ trung ®iĨm cđa SO.
MỈt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m tØ lƯ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM vµ tø diƯn SABC.
2. H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ I xuèng c¹nh SB. CMR: IH ®i qua träng t©m G cđa DSAC. 
Lêi gi¶i:
Chän hƯ trơc Oxyz sao cho O lµ gèc täa ®é 
	AỴOx, S ỴOz, BC//Oy
Täa ®é c¸c ®iĨm:;;;;
Ta cĩ: ;;
Þ Phư¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (IBC) lµ: 
Hay: mà ta lại cĩ: 
Phư¬ng tr×nh ®ưêng th¼ng SA: .
+ Täa ®é ®iĨm M lµ nghiƯm cđa hƯ: Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã:
;
Þ M n»m trªn ®o¹n SA vµ .
2. Do G lµ träng t©m cđa DASC 
Þ SG ®i qua trung ®iĨm N cđa AC
Þ GI Ì (SNB) Þ GI vµ SB ®ång ph¼ng (1)
Ta l¹i cã täa ®é G 
Tõ (1) vµ (2) 
z
x
y
I
O
H
A
C
S
G
N
z
x
y
I
O
B
A
C
S
M
Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trơ ABCD A1B1C1 cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a. AA1 = 2a vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC). Gäi D lµ trung ®iĨm cđa BB1; M di ®éng trªn c¹nh AA1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa diƯn tÝch DMC1D.
Lêi gi¶i:
+ Chän hƯ trơc täa ®é Oxyz sao cho A º O; B Ỵ Oy; A1 Ỵ Oz. Khi ®ã.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)
vµ D(0;a;a)
Do M di ®éng trªn AA1, täa ®é M (0;0;t)víi t Ỵ [0;2a]
Ta cã : 
Ta cĩ: 
z
x
C
C1
M
A
A1
B1
B
D
Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cđa tïy thuéc vµo gi¸ trÞ hµm sè
XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2
f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t Ỵ[0;2a])
f'(t) = 8t – 12a
Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cđakhi t =0 hay Mº A
Chú ý
+ Hình chĩp tam giác đều cĩ đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng khơng nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy.
+ Tứ diện đều là hình chĩp tam giác đều cĩ cạnh bên bằng đáy.
+ Hình hộp cĩ đáy là hình bình hành nhưng khơng nhất thiết phải là hình chữ nhật.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC
Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD cĩ cạnh AD vuơng gĩc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2. Cho vuơng tại A cĩ đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuơng gĩc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tính cosin của gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thể tích hình chĩp A.BCFE.
Bài 3. Cho hình chĩp O.ABC cĩ các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuơng gĩc với nhau từng đơi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA, OB, OC đơi một vuơng gĩc. Gọi lần lượt là gĩc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC).
1. Chứng minh H là trực tâm của .
2. Chứng minh 
3. Chứng minh 
4. Chứng minh 
Bài 5. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c vuơng gĩc với nhau từng đơi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
1. Tính gĩc giữa (OMN) và (OAB).
2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm .
3. Chứng minh rằng gĩc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuơng khi và chỉ khi 
Bài 6. Cho hình chĩp S.ABC cĩ vuơng cân tại A, SA vuơng gĩc với đáy. Biết AB = 2, .
1. Tính độ dài SA.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
3. Tính gĩc phẳng nhị diện [A, SB, C].
Bài 7. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c vuơng gĩc với nhau từng đơi một.
1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chĩp.
2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp.
Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng gĩc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuơng gĩc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính diện tích theo a.
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính gĩc phẳng nhị diện [A, SC, B].
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC cĩ vuơng cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuơng gĩc với đáy. Vẽ AH vuơng gĩc với SB tại H, AK vuơng gĩc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuơng gĩc với CS.
2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI.
3. Tính sin của gĩc giữa SB và (AHK).
4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chĩp S.ABC cĩ vuơng tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuơng gĩc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.
1. Tính cosin gĩc giữa hai đường thẳng AC và SD.
2. Tính khoảng cách giữa BC và SD.
3. Tính cosin gĩc phẳng nhị diện [B, SD, C].
Bài 12. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuơng gĩc với đáy và .
1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 13. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng đi qua AB và vuơng gĩc với SC.
1. Tìm điều kiện của h theo a để cắt cạnh SC tại K.
2. Tính diện tích .
3. Tính h theo a để chia hình chĩp thành hai phần cĩ thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đĩ tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.
2. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC
Bài 14. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh a, SA = a và vuơng gĩc với đáy. Gọi E là trung điểm CD.
1. Tính diện tích SBE.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).
3. (SBE) chia hình chĩp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đĩ. 
Bài 15. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh a. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và .
1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
3. Tính gĩc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Bài 16. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và cm. Mp đi qua A và vuơng gĩc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1. Chứng minh AH vuơng gĩc với SB, AK vuơng gĩc với SD.
2. Chứng minh BD song song với .
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của .
4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH.
Bài 17. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.
1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN).
2. Tính khoảng cách giữa SB và CN.
3. Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
4. Tìm điều kiện của a và b để . Trong trường hợp đĩ tính thể tích hình chĩp S.BCNM.
Bài 18. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a. đều và vuơng gĩc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD.
1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD).
2. Mặt phẳng qua H và vuơng gĩc với SC tại I. Chứng tỏ cắt các cạnh SB, SD.
3. Tính gĩc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Bài 19. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi tâm O. SO vuơng gĩc với đáy và , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng qua A vuơng gĩc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại .
1. Chứng minh đều.
2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD.
Bài 20. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m .
1. Tìm vị trí điểm M để diện tích lớn nhất, nhỏ nhất.
2. Cho , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính gĩc phẳng nhị diện [A, SK, B].
3. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
2. Tính khoảng cách giữa IK và AD.
3. Tính diện tích tứ giác IKNM.
Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính gĩc phẳng nhị diện [B, A’C, D].
Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện cĩ diện tích nhỏ nhất.
Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
1. Chứng minh A’C vuơng gĩc với (AB’D’).
2. Tính gĩc giữa (DA’C) và (ABB’A’).
3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k 
 a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).
 b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đĩ MN là đoạn vuơng gĩc chung của AD’ và DB.
Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’.
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD).
2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
3. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp .
4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuơng ADD’A’. 
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2. Tính bán kính r của đường trịn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D.
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.
Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy hình thoi cạnh a, Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 
1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 
2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuơng.
Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác vuơng tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng qua B và vuơng gĩc với B’C.
1. Tìm điều kiện của a, b, c để cắt cạnh CC’ tại I (I khơng trùng với C và C’).
2. Cho cắt CC’ tại I.
 a. Xác định và tính diện tích của thiết diện.
 b. Tính gĩc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy.
Bài tập :
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA= và vuông góc với đáy 
	 1)