Chuyên đề Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm - Trương Trọng Nhân

 hàm số 
2 6 4(s inx cos ) 2 1 2(s inx cos ) 4 sin cosY y x x x x= = + + +  + + +  
Đặt s inx cosX x= + với điều kiện 22 2 sin cos 1X x x X ≤ ⇒ = − 
Vậy 
2
2
2
6 4 2 1 2 2( 1)
1 3 1 3
4 8 4 khi [ 2, ] [ , 2]
2 2
1 3 1 3
4 8 khi [ , ]
2 2
Y X X X
X X
X X
= + +  + + −
 − − − + + + ∈ − ∪= 
 − − − +− + ∈
Miền xác định [ 2, 2]D = − 
Đạo hàm 
1 3 1 3
8 8 khi [ 2, ] [ , 2]
2 2
1 3 1 3
8 khi [ , ]
2 2
X X
Y
X X
 − − − + + ∈ − ∪′ = 
 − − − +− ∈
Bảng biến thiên, đặt 
1 2
1 3 1 3
,
2 2
x x
− − − +
= = 
X −∞ 2− 1x 0 1
4
2
x 2 +∞ 
Y ′ + 0 − 
Y 
1 7
8
1
y 
2
y 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 
21 3 1 3min min{Y( ), ( )}=( 3 1) min 3 1
2 2
Y Y y
− − − +
= − ⇒ = − 
Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 20 
2max ax{ ( 2), (0), ( 2)}=4( 2 1) min 2( 2 1)Y m Y Y Y y= − + ⇒ = + 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số xác định bởi 
2 2
2 4
sin cos 1
1 1
x x
y
x x
= + +
+ +
Giải 
Tập xác định D =  
Đặt 
2
2
1
x
t
x
= ⋅
+
 Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 
2 2
2 2
2 2
1 2 2 1 1
1
.
1
.
x x
x x x t t
x x
 
+ ≥ =   ⇒ ≥ = =  ⇒  ≤
+ +
Và hàm số đã cho trở thành 
2cos2 sin 1 2 sin sin 2 (1)y t t t t= + + = − + + 
Lại đặt sinu t= , với 1 1 sin1 sin1t u− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
2(1) 2 2 (2)y u u⇔ =− + + 
Bài toán trở thành bài toán tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số (2) trên 
[ sin1, sin1]− 
Để ý rằng: 
 sin1 sin 1 ; 4 1
2
y u
pi
′< = = − + 
Ta có bảng biến thiên 
u −∞ sin1− 
1
4
 sin1 +∞ 
y ′ + 0 − 
y 
1 7
8
1
y 
2
y 
Với 
2 2
1 2
2 sin 1 sin1 2; 2 sin 1 sin1 2y y=− − + =− + + 
Từ đó ta được: 
[ sin1,sin1]
17
max
8u
y
∈ −
= tại 1
4
u = 
[ sin1,sin1]
min 2sin1 sin1 2
u
y
∈ −
= − − + tại sin1u = − 
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số xác định bởi 
6 6sin os sin x cosy x c x x= + + 
Giải 
Ta có 
6 6sin os sin x cosy x c x x= + + 
Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 21 
231 sin2 sin 2
2 4
a
y x x⇔ = + − 
Đặt sin2t x= khi đó 1t ≤ và 
231
2 4
a
y t t= + − 
° Nếu 3a <− . Ta được bảng biến thiên 
t −∞ 
3
a
 -1 1 +∞ 
y ′ + 0 − − − 
y 
1
4 2
a
−
 1
4 2
a
+
Ta được 
[ 1,1]
[ 1,1]
1
max khi 1 sin2 1 ,
4 2 4
1
min khi 1 sin2 1 ,
4 2 4
t
t
a
y t x x k k
a
y t x x k k
pi
pi
pi
pi
∈ −
∈ −
= − = − ⇔ =− ⇔ =− + ∈
= + = ⇔ = ⇔ = + ∈


° Nếu 3 3a− ≤ ≤ . Ta được bảng biến thiên 
t −∞ -1 
3
a
 1 +∞ 
y ′ + 
 − 0 − − 
y 
2
1
12
a
+ 
( 1)y − (1)y 
Ta được 
 ( )
2
[ 1,1]
max 1 ;
3 12
. .
t
a a
y y
∈ −
= = + 
{ }
[ 1,1]
min min ( 1), (1)
1
,khi 3 01 1 4 2min ,
14 2 4 2
,khi 0 3
4 2
. .
t
y y y
a
aa a
a
a
∈ −
= { − }
 − − ≤ <= − + = 
 + ≤ ≤
Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 22 
° Nếu 3a > . Ta được bảng biến thiên 
t −∞ -1 1 
3
a
 +∞ 
y ′ + + + 0 − 
y 
(1)y 
( 1)y − 
Ta được 
[ 1,1]
[ 1,1]
1
max khi 1 sin2 1 ,
4 2 4
1
min khi 1 sin2 1 ,
4 2 4
t
t
a
y t x x k k
a
y t x x k k
pi
pi
pi
pi
∈ −
∈ −
= + = ⇔ = ⇔ = + ∈
= − =− ⇔ =− ⇔ =− + ∈


Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 20 20sin cosy x x= + . 
 (Đại học Luật-1999) 
Giải 
Ta có sin( ) cos ;cos( ) sin
2 2
x x x x
pi pi
+ = + =− 
Nên hàm số 20 20sin cosy x x= + là hàm tuần hoàn có chu kỳ 
2
pi
Do đó ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
[0, ]
2
pi
. 
Ta có 
19 19 18 1820 sin cos 20cos sin 20 sin cos (sin cos )y x x x x x x x x′ = − = − 
0
sin 0
0 cos 0
2
sin cos
4
x
x
y x x
x x
x
pi
pi

 = =  ′ = ⇔ = ⇔ =  =  =

9
1
(0) 1; ( ) 1; ( )
2 4 2
f f f
pi pi
= = = 
Vậy 
min
1
512
y = khi 
4 2
x k k
pi pi
= + ∈  
max
1y = khi 
2
x k
pi
= k ∈  
Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 23 
III. Sau đây là giá trị lớn nhất và bé nhất của một số hàm số thường gặp 
1. Hàm số bậc 2 
Bài 1. Tùy theo m tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số xác định 
bởi 4 4sin cos sin cosy x x m x x= + + 
Giải 
Ta có: 
4 4sin cos sin cosy x x m x x= + + 
2 21 2 sin cos sin cosy x x m x x⇔ = − + 
211 sin 2 sin cos
2
y x m x x⇔ = − + 
Đặt sin2t x= . Điều kiện 1 1t− ≤ ≤ 
Khi đó 
21 1, [ 1,1]
2 2
m
y t t t= − + + ∈ − 
Hoành độ đỉnh 
2
m
t = 
Ta phân biệt nhiều trường hợp: 1; 1 1; 1
2 2 2
m m m
≤− − ≤ ≤ ≤ 
 ° 1 2
2
m
m≤− ⇔ ≤− 
t −∞ 
2
m
 -1 1 +∞ 
y ′ + − − − 
y 
1
2
m−
1
2
m+
Ta được 
[ 1,1]
[ 1,1]
1
max khi 1 sin2 1 ,
2 4
1
min khi 1 sin2 1 ,
2 4
t
t
m
y t x x k k
m
y t x x k k
pi
pi
pi
pi
∈ −
∈ −
−
= =− ⇔ =− ⇔ =− + ∈
+
= = ⇔ = ⇔ = + ∈


Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 24 
 ° 1 1 2 2
2
m
m− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
t −∞ -1 
2
m
 1 +∞ 
y ′ + − 0 − − 
y 
2
1
8
m
+ 
1
2
m−
1
2
m+
Ta được 
2
[ 1,1] [ 1,1]
[ 1,1]
1
max 1 ; min , 2 0
8 2
1
min , 0 2
2
t t
t
m m
y y khi m
m
y khi m
∈ − ∈ −
∈ −
+
= + = − ≤ ≤
−
= ≤ ≤
° 1 2
2
m
m≤ ⇔ ≤ 
t −∞ -1 1 
2
m
 +∞ 
y ′ + 0 
y 
1
2
m+
1
2
m−
Ta được 
[ 1,1]
[ 1,1]
1
max khi 1 sin2 1 ,
2 4
1
min khi 1 sin2 1 ,
2 4
t
t
m
y t x x k k
m
y t x x k k
pi
pi
pi
pi
∈ −
∈ −
+
= = ⇔ = ⇔ = + ∈
−
= =− ⇔ =− ⇔ =− + ∈


Tóm lại, ta được: 
[ 1,1]
2
[ 1,1]
[ 1,1]
1
max , khi 2
2
max 1 , khi 2
8
1
min , khi
2
t
t
t
m
y m
m
y m
m
y m
∈ −
∈ −
∈ −
 +  =  ≥ = +  ≤
 −  = ∀
Bài 2. Cho hàm số 23 6 2 1y x x a= − + −  với x−2 ≤ ≤ 3 . Định a để giá trị 
lớn nhất của hàm số có giá trị nhỏ nhất. 
Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 25 
Giải 
Vì hoành độ đỉnh của parabol 23 6 2 1y x x a= − + − là 
0
1 [ 2,3]x = ∈ − 
Nên ta có: 
[ 2,3] [ 2,3]
max max { (2) ; (1) ; (3) }
x x
y f f f
∈ − ∈ −
=       
Đặt 
[-2,3]
max max{ 2 23 ; 2 4 ; 2 8 }
x
M y a a a
∈
= =  +   −   +  
 ° Nếu 0a > thì 2 8 2 23a a + ≤ +  
 ° Nếu 0a < và a ≥ 5 khá lớn thì 2 8 2 4a a + ≤ −  
Vậy max{ 2 23 ; 2 4 }M a a=  +   −  
Ta có 2 23M a≥ +  
 2 4 4 2M a M a≥ − ⇒ ≥ −  
 2 2 23 4 2 2 23 4 2M a a a a⇒ ≥  + + − ≥ + + −  
27
2
2
M⇒ ≥ 
Dấu " "= xảy ra 192 23 4 2
4
a a a⇔ + = − ⇔ = − 
Vậy 27min( )
2
M = khi 19
4
a = − 
2. Hàm số bậc 3 
Cho hàm số 34y x mx= + . Định m để 1y x ≤ ∀ ≤ 1 
Giải 
• ĐK cần: 
Giả sử đã có 1y x ≤ ∀ ≤ 1 
34 1, 1x mx x⇔ + ≤ ∀ ≤ 
(1) 1 4 1
1 1 1
1 1
2 2 2
y m
y m
 ≤ ⇔ + ≤  ⇒    ≤ ⇔ + ≤     
1 4 1
1 1
1 1
2 2
m
m
− ≤ + ≤⇔ 
− ≤ + ≤
5 3
3 1
m
m
− ≤ ≤−⇔ 
− ≤ ≤
 3m⇔ =− 
• ĐK đủ: 
Với 33 4 3m y x x= − ⇒ = − 
Vì 1 1x− ≤ ≤ . Đặt cosx t= 
Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 26 
34 cos 3 cos cos 3
cos 3 1
y t t t
y t
⇒ = − =
⇒ = ≤
Vậy chỉ có 3m = − là giá trị cần tìm 
3. Hàm số trùng phương 
Biện luận theo b , giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 4 2 26y x bx b= − + 
trên [ 2,1]− . 
Giải 
2 1 0 4x t= ⇒ ≤ ≤ 
2 26
2 6
y t bt b
y t b
= − +
′ = −
Nếu 0b ≤ : hàm số đồng biến nên 
2
[0,4]
2
[0,4]
min (0)
max (4) 24 16
t
t
y y b
y y b b
∈
∈
 = =

 = = − +
Nếu 0 : 0 3b y t b′> = ⇔ = 
° 
4
0
3
b< ≤ 
x 0 3b 4 
y ′ − 0 + 
y 
2b 2 24 16b b− + 
28b− 
° 
4
3
b ≥ 
x 0 4 3b 
y ′ − 0
y 
2b 
2 24 16b b− + 
Vậy nếu : 40
3
b≤ ≤ 
2
[0,4]
2 2
[0,4]
min 8
max max{ ; 24 16}
t
t
y b
y b b b
∈
∈
=−
= − +
• Nếu 224 16 0
3
b b− + ≤ ⇔ ≥ thì 2
[0,4]
max
t
y b
∈
= 
Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 27 
• Nếu 224 16 0
3
b b− + > ⇔ < thì 2
[0,4]
max 24 16
t
y b b
∈
= − + 
Tóm lại: 
• Nếu 0b ≤ 
2
[0,4]
2
[0,4]
min
max 24 16
t
t
y b
y b b
∈
∈
 =

 = − +
• Nếu 20
3
b< < 
2
[0,4]
2
[0,4]
min 8
max 24 16
t
t
y b
y b b
∈
∈
 = −

 = − +
• Nếu 2 4
3 3
b≤ ≤ 
2
[0,4]
2
[0,4]
min 8
max
t
t
y b
y b
∈
∈
 = −

 =
• Nếu 4
3
b > 
2
[0,4]
2
[0,4]
min 24 16
max
t
t
y b b
y b
∈
∈
 = − +

 =
4. Hàm số hữu tỉ 
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
4 2
4 2
3cos 4 sin
3 sin 2cos
x x
y
x x
+
=
+
 (Đại học Sư phạm Hà Nội-Khối A-2001) 
Giải 
Đặt 2sin [0,1]x t= ∈ ta được 
2 2
3(1 ) 4 1
1
3 2(1 ) 3 2 2
t t
y
t t t t
− +
= = +
+ − − +
2 2
6 2
(3 2 2)
t
y
t t
−
′ = −
− +
1
0 [0,1]
3
y t′ = ⇔ = ∈ 
Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 28 
Ta có bảng biến thiên sau 
t 0 
1
3
 1 
y ′ + 0 − 
y 
8
5
3
2
4
3
Vậy 
8
max
5
y = 
4
min
3
y = 
Cách khác: ta có thể tìm max,min của biểu thức 23 2 2t t− + rồi suy ra 
max ,miny y . 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 
22cos cos 1
cos 1
x x
A
x
+ +
=
 +
(Đại học Kỹ thuật Hà Nội-1998) 
Giải 
Đặt cosx t = với điều kiện 0 1t≤ ≤ . Khi đó 
22 1
( )
1
t t
A f t
t
+ +
= =
+
Miền xác định: [0,1]D = 
Đạo hàm: 
2
2
2
2 4
( )
( 1)
0
( ) 0 2 4 0
2
t t
f t
t
t
f t t t
t
+
′ =
+
 =′ = ⇔ + = ⇔  = −
Bảng biến thiên 
t −∞ 2− 1− 0 1 +∞ 
f ′ 
f 
 2 
1 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 
Vấn đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 29 
 min (0) 1y f= = khi 0 cos ,
2
t x x k k
pi
pi= ⇔ = 0 ⇔ = + ∈  
 max (1) 2y f= = khi 1 cos ,t x x k kpi= ⇔ = 1 ⇔ = ∈  
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số được xác định bởi 3 1
3
x
y
x
−
=
−
trên [0,2] . 
Giải 
Ta có: 
 [0,2]D = 
2
8
( 3)
y
x
−
′ =
−
Bảng biến thiên sau 
x −∞ 0 2 3 +∞ 
y ′ − − − 
y 
1
3
 5− 
Vậy 
[0,2] [0,2]
1
min ( ) 5 2; max ( ) 0
3x x
f x