Chuyên đề Đổi biến để chứng minh bất đẳng thức

Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức
VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR: 
Ta đặt nên BĐT 
 (đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: . CMR: 
Đặt với từ giả thiết 
Và BĐT cần CM CM BĐT 
mặt khác ta có BĐT sau: 
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
VD3: Cho x, y, z >0 thoả . CMR 
 Từ giả thiết ta có thể đặt: với a,b,c >0
Nên BĐT CM 
 (đúng)
Dấu “=” xảy ra 
VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR 
 Ta đặt với nên BĐT CM BĐT 
mặt khác ta có 
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
CMR: 
Do nên ta có thể đặt với 
Nên BĐT có thể viết lại 
 (đã CM ở VD4)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
 CMR : 
Ta đặt với và do nên 
Nên BĐT 
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có: 
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
 VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: . 
 CMR: 
Từ 
Ta đặt với 
 Nên BĐT cần CM CM BĐT 
Mặt khác ta có: 
Nên 
 Vậy BĐT luôn đúng
Dấu “=” xảy ra 
Sau đây là một số bài tập để luyện tập:
Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác: 
 1, 
 2, 
Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn . CMR:
 1, 
 2, 
Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt 
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn . 
 CMR: 
Bài 4: Cho thoả mãn . CMR: 
 Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:
 1, với S là diện tich tam giác
 2, 
Gợi ý: Đặt 
TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN
 “Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Bài viết này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.
 Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:
 (1)
 Đẳng thức xảy ra khi x =y.
 Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất. 
 Cách 1. Với hai số dương x và y ta có: 
 2(x + y)2
 Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
 Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có
 Từ đó: (
 Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
 Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có
 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
 Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:
 (2)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
 * Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:
 (3)
 * Kết hợp (2) và (3) ta có
 Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:
 (4)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
 Chú ý: Nếu thêm giả thiết thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005.
 Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:
 (5)
 Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:
 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5)
 Đẳng thức xảy ra khi:
 Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau:
 Giải: Đặt thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
 Hệ thức trở thành: 
 Ta có:
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
 Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của 
 Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và
 Theo bất đẳng thức (1) ta có: 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
 Vậy: đạt được khi 
 Bài toán 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Với x, y, z, t là các số dương.
 Giải : Ta có:
 Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
 Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự:
 Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
 Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì:
 Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng: