Chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng - Đại số và giải tích 11

Chuyờn đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tớch 11 
Chủ đề: ĐẠO HÀM CẤP CAO 
I- Lí THUYẾT: 
 
 /
( )
( ) ; .
: ;
 Cho hàm số: (1)
Giả sử hàm số có đạo hàm tại mọi Khi đó tương ứng:
y f x
y f x x a b
f a b R

 

/
/
( )
( ),
( ).
( )
cho ta một hàm số mới. Vì hàm số này xây dựng từ hàm số hoàn toàn xác định 
bởi hàm số đó nên được gọi là đạo hàm của hàm số 
 Tương tự, nếu hàm số: (2
x f x
y f x
y f x
y f x




   
// //
; ;
( ) ( ).
)
có đạo hàm tại mọi điểm thì ta lập được đạo hàm của (2) theo cách trên
gọi là đạo hàm cấp hai của và kí hiệu là: 
x c d a b
y f x y f x
 
 
* TỔNG QUÁT: 
 
 
( -1) ( 1)
( )
( )
( ) ;
: ;
( )
 Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thì tương ứng:
cho ta đạo hàm của 
n n
n
n
y f x x c d
f c d R
x f x
 


( -1) ( 1) ( ), ( ) gọi là đạo hàm cấp của hàm số và kí hiệu là:n ny f x n y f x 
 ( ) ( ) ( ) n ny f x 
Như vậy: 
/( ) ( 1) ( ) 4 n ny f x n      
II- THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH ĐẠO HÀM CẤP n CỦA HÀM SỐ: 
* Bước 1: // ///, , ,/Tính y ... và tiến hành dự đoán đạo hàm cấp n dựa trên logic.y y 
* Bước 2: Chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học. 
III- MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ VÍ DỤ CẦN LƯU í: 
Bài tập 1: Chứng minh rằng: 
   ( ) ( )sin
2 2
 a) sin b) cos cos 
n nn nax a ax n ax a ax np p
               
Giải: Ta cú: 
 
 
 
/
( )
( 1) 1
sin 1
2
sin
2
1 sin ( 1)
2
cos sin (*) Đúng với 
Giả sử (*) đúng đến , tức là: sin
Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với , tức là: sin
k k
k k
ax a ax a ax n
n k ax a ax k
n k ax a ax k
p
p
p 
      
      
     

   
/ //( 1) ( )sin sin .
2 2 2
Ta có: sin cos
k k k kax ax a ax k a ax k ax kp p p
                                             
Chuyờn đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tớch 11 
1 1 1 ( 1)
2 2 2 2
 cos sin sink k ka ax k a ax k a ax kp p p p  
                             
Chứng minh tương tự, ta được:  ( )
2
cos cos
n nax a ax n p
     
Vớ dụ ỏp dụng: ( ) , sin5 .cos2Tính biết ny y x x 
Giải: Ta cú: 
 
( )
1sin 5 .cos 2 sin 7 sin 3
2
1 7 sin 7 3 sin 3
2 2 2
n n n
y x x x x
y x n x np p
  
                    
Vớ dụ ỏp dụng: 2 (25)sin .Cho Tính y x x y 
Giải: (0)áp dụng công thức Lai-bơ-nit (Leibnitz). Quy ước: u u 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) / 1 / ( 1) ( )
0
. . ... . . 
nn k n k k n n n n n n
n n n n
k
uv C u v u v C u v C u v C u v   

      
 
         
( )2
(25) (25) (24) (23)(25) 2 2 2 2 / 2 //
2
0 3
25.24sin . sin . sin . 25 sin .( ) sin .( )
2
sin 25. 50 sin 24. 600sin 23.
2 2 2
và chú ý rằng: 
Ta được:
S
k
x k
y x x x x x x x x x x
x x x x xp p p
  
       
                           
 (25) 2 600 cos 50 sinuy ra: y x x x x  
Vớ dụ ỏp dụng: 2 (2 )(1 )cos .Cho Tính ny x x y  
Giải: Ta có: 
     (2 ) (2 1) (2 2)(2 ) 2 1 2 / 2 2 //2 2
2
2
cos (1 ) cos (1 ) cos (1 )
2 (2 1)(1 )cos( ) 4 cos (2 1) 2. cos (2 2)
2 2 2
( 1) (1 )cos 24 cos ( )
2
n n nn
n n
n
y x x C x x C x x
n nx x n nx x n x n
x x nx x n
p pp
p p
      
                    
       
1 2
2 2
(2 ) 2 2
( 1) (4 2 )cos
( 1) (4 2 1 )cos ( 1) 4 sin
( 1) (4 2 1 )cos 4 sin
Vậy: 
n
n n
n n
n n x
n n x x nx x
y n n x x nx x
  
      
        
Vớ dụ ỏp dụng:   (10)0 .Cho Tính y x x y  
Giải: Ta có: 
Chuyờn đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tớch 11 
 
/
//
//
2
/// 2
3 2
(4) 3
4 3
(10) 9
10 9
(10)
10 9
1 ;
2
1 1 1 1 1( 1) ;
2 2 2
1 1.3( 1) ;
2
1 3.5( 1) ;
2
...
1 1.3.5.7.9.11.13.15.17( 1) ;
2
1 17!!
2
Vậy: 
y
x
x
y
xx x x
y
x x
y
x x
y
x x
y
x

                  
 
 
 
  17!! 1.3.5.7.9.11.13.15.17 0 ; ở đây x
x
 
Vớ dụ ỏp dụng: (10)sin .sin 2 .sin3 .Cho Tính y x x x y 
Giải: Hướng dẫn: Phân tích thành tổng rồi tìm đạo hàm dần từng bậc. 
(10) 8 18 8 102 sin 2 2 sin 4 2 .3 sin 6 .Đáp số: y x x x   
Vớ dụ ỏp dụng: (10). 2 .Cho cos Tính y x x y 
Giải: áp dụng công thức Lai-bơ-nit (Leibnitz). 
 (10) 1024 . 2 5sin 2 .Đáp số: cosy x x x  
Bài tập 2: Chứng minh rằng: 
 
( )
1
1 . !( 1) . 
n n
n
n
a n
ax b ax b 
      
Giải: Ta cú: 
 
 
 
 
/
/
2 2
( )
1
1 1 .1!( 1) 1
1 . !, ( 1) .
 Đúng (**) với 
Giả sử (**) đúng với tức là: 
Ta cần chứng minh (**) cũng đúng với n=k+1, tức là chứng m
k k
k
k
aax b n
ax b ax b ax b
a kn k
ax b ax b 
          
      
 
( 1) 1
1
2
1 .( 1)!( 1) .
inh:
k k
k
k
a k
ax b ax b
 


       
   
/ //( 1) ( )
1 1
1 1 . ! 1( 1) . ( 1) . !
Thật vậy: 
k k k
k k k
k k
a k a k
ax b ax b ax b ax b

 
                                          
Chuyờn đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tớch 11 
 
 
 
 
 
/1
1
2 2 2 2
1
1
2
( 1). .
( 1) . !.( 1). ( 1) . !
.( 1)!( 1) .
 (đ.p.cm)
k k
k k k k
k k
k
k
k
ax b k a ax b
a k a k
ax b ax b
a k
ax b


 



         
 
 

Vớ dụ ỏp dụng: ( ) 1,
(1 )
Tính biết ny y
x x


Giải: Ta cú: 
( )
1 1 1 1
1 1 1
(1 ) 1
( 1) ! ( 1) !( 1) ( 1) 1!
(1 ) (1 )
Suy ra: 
n n n n
n
n n n n
y
x x x x
n ny n
x x x x   
  
 
             
Vớ dụ ỏp dụng: 2
5 3
3 2
Cho hàm số: 
xy
x x

 
( )
1 2
.
a) Tìm A, B sao cho có thể viết dưới dạng: 
b) Từ đó, hãy tính n
A By y
x x
y
 
  
Giải: Ta cú: 
   
2
5 3 , 1, 2
1 23 2
5 3 2 1
5 3 (
a) Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta được:
A B
 A B
 A B) (2A B)
x x x
x xx x
x x x
x x
      
  
     
     
   
2
( )
1 1
5
2 3
5 3 2
1 23 2
2 2 7( 1) !
1 2 1 2
A B A 2
 Vậy ta có hệ sau sau để xác định A, B: 
A B B 7
7
 Vậy: 
7
b) Theo câu a, . Suy ra: n n n n
x
x xx x
y y n
x x x x 
           
  
  
             
Lưu ý: Trong toàn bộ các bài giải trên, chúng tôi dành phần chứng minh bằng phương pháp 
 quy nạp cho độc giả. 
IV- MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
2 2
2
sin sin . 4 ) .sin (1 ) 4
2 1 2 1
32
Tính đạo hàm cấp của các hàm số sau:
 a) b) cos c d) cos
 e) f) g) 
n
y x y x x y x x y x x
x xy y y
xx x
    
   
  2 2
sin
2 1
 h) 
x xy
x x x

  