Chuyên đề: Đại số tổ hợp - Phương Xuân Trịnh

 8, 9 để đặt vào 2 vị trí còn lại có cách 
Þ Có .. = 11 760 cách.
+ Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Lập luận tương tự cho 6 vị trí Þ có .. = 420 số
Vậy có 11 760 - 420 = 11 340 số.
 1.2 Đếm số phương án.
Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99) 
Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kì.
b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ.
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
Giải
Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 Þ Số cách chọn là: cách.
Chọn 1 nam có cách
Chọn 2 nữ có cách
Þ Có 25.105 = 2625 cách chọn
Chọn 3 học sinh bất kì có 9880 cách
Chọn 3 học sinh nữ có cách
Þ Có 9880 - 455 = 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam.
Ví dụ 7: (ĐHSP Quy Nhơn 97) 
Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên b lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 trong số 37 điểm đã chọn ở trên.
Giải
Cách 1
Mỗi tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng
Số bộ ba điểm từ 37 điểm trên là: 
Số bộ ba điểm thẳng hàng trên a là: 
Số bộ ba điểm thẳng hàng trên b là: 
Vậy số tam giác tạo thành là: - - = 11 340 tam giác
Cách 2:
Mỗi tam giác được tạo thành bởi một điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên đường thẳng kia. Xét 2 trường hợp
+ TH1: Tam giác tạo thành bởi 1 điểm trên a và 2 điểm trên b: có 
+ TH2: Tam giác tạo thành bởi 2 điểm trên a và 1 điểm trên b: có 
Þ Số tam giác là: + = 11 340
Ví dụ 8: (ĐH Cảnh sát nhân dân) 
Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành).
Giải
Mỗi tam giác được tạo thành bởi ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau Þ Số tam giác là 4.5.6 = 120
Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại Þ Số hình thang là hình thang
 2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số tổ hợp
Ví dụ 1: (CĐSP TPHCM99) 
 Tìm k thỏa mãn: 
Giải
ĐK 
Phương trình tương đương với 
Û 
Û (k + 2)(k + 1) + (14 - k)(13 - k) = (k + 2)(14 - k)
Û k2 - 12k + 32 = 0
Û k = 4, k = 8 (Thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8
Ví dụ 2: (ĐH Hàng hải 99) 
 Giải bất phương trình: 
Giải
ĐK: 4£ n+1 Û n ³ 3, n nguyên dương
 Û Û
 ÛÛÛ -7 < n < 6
Kết hợp với Đk n³ 3 được tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}.
Ví dụ 3: (ĐHBK HN2001) 
 Giải hệ phương trình: 
Giải
ĐK: x, y Î N*, y £ x
Đạt Þ u, v ÎN* ta có hệ Û 
Thay vào ta có Û Û Û 
Û Û 
Kết hợp điều kiện Þ Hệ phương trình có nghiệm 
Xác định một số hạng của khai triển Newuton.
Ví dụ 1: (ĐH Kinh tế quốc dân, 1997)
 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của 
Giải
 Số hạng tổng quát .
Số hạng không chứa x tương ứng với 12 - 2k = 0 Û k = 6.
Đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: 
Ví dụ 2:(ĐH và CĐ, khối A, 2003). 
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của , 
biết rằng 
Giải
Ta có 
Û Û 
Û 3n = 36 Û n = 12
Số hạng tổng quát .
Số hạng chứa x8 tương ứng với Û 11k = 88 Û k = 8.
Đáp số:Hệ số của số hạng chứa x8 phải tìm là: 
Ví dụ 3: 
Khai triển đa thức:
 P(x) = thành dạng : 
 Tìm max
Giải
Số hạng tổng quát .
Xét hai hệ số liên tiếp và . Giả sử ak < ak + 1 Û Û Û 
Vậy a0 < a1 <  < a8.
Tương tự như trên Þ a8 > a9 >  > a12.
Vậy hệ số lớn nhất là: 
Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức.
 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng " n, k Î N* và n ≥ k ≥ 1 thì: 
Giải
 	Thật vậy " n, k Î N* và n ≥ k ≥ 1 ta có: 
= = (đpcm)
Lưu ý :(Đây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các bài tập chứng minh đẳng thức tổ hợp khi chưa có công cụ đạo hàm và tích phân)
Ví dụ 2 : (ĐH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997)
 Tính tổng 
Giải
 Do nên (1)
Áp dụng khai triển Niu tơn với x = 1, n = 11 được 
 (2)
 Từ (1), (2) suy ra 
Đáp số : 
 Ví dụ 3 : (ĐH Bách Khoa Hà Nội, 1999)
 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2, tính tổng :
Giải
Cách 1: (Sử dụng kết quả ví dụ 1)
Áp dụng kết quả ví dụ 1 ta có:
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được 
Cách 2: (Sử dụng đạo hàm)
Xét khai triển
Þ 
Chọn x = - 1 Þ 
Vậy : S = 0
 Ví dụ 4: (ĐHDL Duy Tân, khối A, 2001)
 Tính tổng sau : 
Giải
Cách 1( Sử dụng kết quả ví dụ 1)
Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: 
 Û Û 
Thay k = 0, 1, 2  , n ta có 
Vậy 
Cách 2:(Sử dụng tích phân)
Xét khai triển
Ta có: 
Vậy Vậy 
 Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau:
Giải
Xét khai triển
Û 
Vậy (đpcm)
BÀI TÂP T Ự L ƯY ỆN :
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế nếu:
họ ngồi chỗ nào cũng được?
họ ngồi kề nhau?
3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế trống?
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách
 a) vào 5 ghế xếp thành một dãy.
 b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này.
Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8?
Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
 a) họ ngồi chỗ nào cũng được.
 b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau.
 c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng 12?
Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách?
Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
 a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?
 b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?
 c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một?
Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
họ ngồi chỗ nào cũng được ? 
nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ?
nam nữ ngồi đối diện nhau ?
nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ?
Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho, sao cho:
 a) Số đó chẵn
 b) Số đó chia hết cho 5
 c) Luôn có mặt chữ số 1 và 3
Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số đã cho sao cho các số lẻ luôn đứng liền nhau.
Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6
 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 3 lần, các số khác có mặt đúng 1 lần.
 b) Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau được lấy từ các số đã cho. Sao cho:
 a) Luôn có mặt chữ số 5.
 b) Số đó chia hết cho 3.
 c) Không bắt đầu từ chữ số 3.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho:
 a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau.
 b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7
 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 2 lần. Các số khác có mặt một lần.
 b) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác có mặt một vài lần.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho các số chẵn không đứng liền nhau.
Một nhóm người thành lập một công ty. Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một giám đốc,một phó giám đốc và một thủ qũy. Có 10 người hội đủ điều kiện để được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban điều hành?
Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11m. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
 a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? ( Kể cả thủ môn)
 b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4?
Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
 a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
 b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
 c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
Với năm số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số 1 có mặt hai lần các số còn lại mỗi số có mặt đúng một lần?
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng:
 a) các số này chia hết cho 5?
 b) trong các số này phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ?
32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập những số gồm bốn chữ số khác nhau.
 	a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ?
 	b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000 ?
Một lớp học có 30 học sinh. Trong đó có 12 nữ, cần thành lập một tổ công tác gồm 8 người. Có bao nhiêu cách lập sao cho trong tổ có đúng 2 nữ.
Trong không gian cho một tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho.
Một bộ đề thi có 15 câu hỏi. Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “ đề thi ” của thí sinh này).
Có bao nhiêu đề thi khác nhau? ( Hai đề thi được coi là khác nhau nếu có ít nhất một câu khác nhau. )
Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 3 thí sinh gặp cùng một đề thi.
Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 3 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn 4 học sinh để trực thư viện. Có bao nhiêu cách chọn nếu: 
Chọn học sinh nào cũng được?
Có đúng một nữ sinh được chọn?
Có ít nhất một nữ sinh được chọn?
Một họ n đường thẳng song song cắt một họ m đường thẳng song song. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành.
Cho tập X = {a, b, c, d }. Có bao nhiêu tạp con của X
Không chứa phần tử a?
Chứa phần tử a?
Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, chúng