Chuyên đề Đại số tổ hợp - Lý thuyết và bài tập

4 5, , 1,3,4a a a  , tương tự ta cũng có 720 số n.
Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n .
Câu 8: Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức
 22 3 nx , trong đó n là số nguyên dương thoả mãn:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1... 1024
n
n n n nC C C C

        . ( knC là tổ hợp chập
k của n phần tử)
Giải:Ta có:
 2 1 0 1 2 2 3 3 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ...n n nn n n n nx C C x C x C x C x            
Cho x = 1, ta có:
 2 1 0 1 2 3 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12 ... 1n nn n n n nC C C C C          
Cho x = -1, ta có:
 0 1 2 3 4 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 10 ... 2nn n n n n nC C C C C C            
Lây (1) – (2) 2 1 1 3 5 2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 ...
n n
n n n nC C C C
 
          
2 1 3 5 2 1 10
2 1 2 1 2 1 2 12 ... 1024 2
n n
n n n nC C C C

         
Vậy 2n = 10.
Ta có:   1010 1010
0
2 3 ( 1) 2 (3 )k k k k
k
x C x

   .
Suy ra hệ số của x7 là: 7 7 310.3 .2C hay 3 7 310.3 .2C
Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8
người biết rằng trong đó phải có ít nhất 3 nữ.
Giải:
Ta có 3 trường hợp:
* 3 nữ và 5 nam: có 3 55 10 2520C C  cách.
* 4 nữ và 4 nam: Có 4 45 10 1050C C  cách.
* 5 nữ và 3 nam: có 5 35 10 120C C  cách
Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách.
Câu 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được
bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và
nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5.
Giải:
Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a là số cần lập.
Ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí 25 4.5 20A  
cách.
Xếp 1, 5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu
tiên
4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2.
3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3
* Theo quy tắc nhân ta có: 25 .5.4.3 20.60 1200A   số n.
Cách khác:
Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: Ta có: 25 4.5 20A  
cách.
Bước 2: Có 35 3.4.5 60A   cách bốc 3 trong 5 số còn lại
rồi xếp vào 3 vị trí còn lại. Vậy có 20. 60 = 1200 số n thoả
mãn yêu cầu bài toán.
Câu 11: Tìm  0;1;2;........;2005k  sao cho 2005kC đạt giá
trị lớn nhất ( với knC là tổ hợp chập k của n phần tử).
Giải:
2005
kC lớn nhất  12005 20051
2005 2005
k k
k k
C C
k N
C C


   
2005! 2005!
1 2005!(2005 )! ( 1)!(2004 )!
2005! 2005! 2006
!(2005 )! ( 1)!(2006 )!
k kk k k k
k k
k k k k
               
1002 1002
1002 1003,
1003 1003
k k
k k N
k k
           .
Câu 12: Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức:
2 22 6 12n n n nP A P A   ( Pn là số hoán vị của n phần tử và
k
nA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
Giải:
Ta có:  2 22 6 12 , 1n n n nP A P A n N n    
6. ! ! ! 6. !2. ! ! 12 2(6 !) 0
( 2)! ( 2)! ( 2)! ( 2)!
n n n nn n n
n n n n
         
2
6 ! 0 3! 6 2
! 2 0 ( 1) 2 0 32 0( 2)!
n nn n
n
n n nn n
n
                  
 ( Vì 2n  )
Câu 13: Tìm ,x y N thoả mãn hệ:
2 3
3 2
22
66
x y
y x
A C
A C
    
Giải:
Với điều kiện: 2, 3x y  , ta có:
   
2 3 22 3
3 2 23 2
1( 1) ( 1)( 2) 22 6 6 3 2 132 (1)22 6
1 3 2 .2 132 266 ( 1)( 2) ( 1) 66
2
x y
y x
x x y y y x x y y yA C
y y y x xA C y y y x x
                               
 2 3 2
2 3 2
4 36 6 3 2 132
11 11 132 0 3 2 60
x hay x loaix x y y y
x x y y y
                  
2
4 4
5( 5)( 2 12) 0
x x
yy y y
         
Câu 14: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông
ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệ khác A, B, C,
D. Tìm n biết số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã
cho là 439.
Giải:
Nếu 2n  thì 6 8n   . Do dó số tam giác có 3 đỉnh được
lấy từ n + 6 điểm không vượt quá 38 56 439C  
 ( loại).
Vậy 3n  .
Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n
+ 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA
có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:
3 3 3
6 3
( 4)( 5)( 6) ( 2)( 1)1 439
6 6n n
n n n n n nC C C
         
 2
( 4)( 5)( 6) ( 2)( 1) 2540
4 140 0 10 14
n n n n n n
n n n hay n loai
       
       
Đáp số: n = 10.
Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà
mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?
Giải:
Gọi 1 2 3 4n a a a a là số cần lập.
* Trường hợp 1: a4 = 0, ta có: 8 cách chọn a1 ( Vì 1 2a  ).
Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng
5
8 cách chọn a2, 7 cách chọn a3; 1 cách chọn a4.
Vậy ta có: 8. 8. 7.1 = 448 số n .
* Trường hợp 2: 4 0a  vì a4 chẵn.
Ta có: 4 cách chọn a4; 7 cách chọn a1; 8 cách chọn a2; 7
cách chọn a3.
Vậy ta có: 4 . 7. 8 . 7 = 1568 số n.
Vậy cả hai trường hợp ta có: 448 + 1568 = 2016 số n
Câu 16: Chứng minh rằng:
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1....
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n nC C C Cn n
       ( n là số
nguyên dương, knC là tổ hợp chập k của n phần tử).
Giải:
Ta có:
   2 20 1 2 2 0 1 2 22 2 2 2 2 21 ... , 1 ...n nn n n nn n n n n nx C C x C x x C C x C x         
   
 
2 2 1 3 3 2 1 2 1
2 2 2
1 12 2
1 3 3 2 1 2 1
2 2 2
0 0
1 (1 ) 2 ...
(1 ) (1 ) .....
2
n n n n
n n n
n n
n n
n n n
x x C x C x C x
x x C x C x C x dx
 
 
       
       
 1 2 2 2 1 2 1 210
0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 1 1
2 2(2 1) 2 1
n n n n nx x x x
n n
          
 
 
1
1 3 3 2 1 2 1
2 2 2
0
12 4
1 3 2 2
2 2 2
0
1 3 2 1
2 2 2
.....
. . ...
2 4
1 1 1... 2
2 4 2
n n
n n n
n n
n n n
n
n n n
C x C x C x dx
x xC C C x
C C C
n
 

  
      
   

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Câu 17: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức:
 5 2 101 2 (1 3 )x x x x  
Giải:
Hệ số của x5 trong khai triển của 5(1 2 )x x là 4 45( 2) .C
Hệ số của x5 trong khai triển của 2 10(1 3 )x x là 3 3103 .C
Hệ số của x5 trong khai triển của 5 2 10(1 2 ) (1 3 )x x x x   là
4 4 3 3
5 10( 2) . 3 . 3320C C  
Câu 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển
nhị thức Niu tơn của (2 )nx , biết
0 1 1 2 2 3 33 3 3 3 ... ( 1) 2048n n n n n nn n n n nC C C C C
         (n là
số nguyên dương, knC là tổ hợp chập k của n phần tử).
Giải:Ta có:
0 1 1 2 2 3 33 3 3 3 ... ( 1) (3 1)n n n n n n nn n n n nC C C C C
         
Từ giả thiết suy ra n = 11.
Ta có:   1111 111
0
2 .2k k k
k
x C x

  . Suy ra hệ số của số hạng
chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của (2 )xx là:
10 11 10
11 .2 22C
  .
Câu 19: Cho khai triển   0 11 2 ...n nnx a a x a x     , trong
đó *n N và các hệ số a0, a1, .,an thoả mãn hệ thức
1
0 ... 40962 2
n
n
a a
a     . Tìm hệ số lớn nhất trong các số
a0, a1, ., an.
Giải:
Đặt   10 1 0 1( ) 1 2 ... ..... 22 2 2
n n nn
n n
a af x x a a x a x a f               
Từ giả thiết suy ra: 122 4096 2 12n n   
Với mọi  0;1;2;3...;11k  ta có: 1 112 1 122 , 2k k k kk ka C a C  
12
1 1
1 12
2 1 231 1 1
2(12 ) 32
k k
k
k k
k
a C k k
a kC 
      
Mà 7k Z k   . Do đó a0 < a1 < .< a8.
Tương tự :
1
1 7k
k
a
k
a 
   . Do đó a8 > a9 > .> a12.
Số lớn nhất trong các số a0, a1, , an là:
8 8
8 122 126720a C 
Câu 20: Chứng minh rằng: 1
1 1
1 1 1 1
2 k k kn n n
n
n C C C 
      
 ( n, k
là các số nguyên dương, k n , knC là tổ hợp chập k của n
phần tử).
Giải: Ta có:
1
1 1
1 1 1 1 !( 1 )! ( 1)!( )!.
2 2 ( 1)!k kn n
n n k n k k n k
n n nC C  
            
 1 !( )! !( )! 1. ( 1 ) ( 1)
2 ! ! kn
k n k k n kn k k
n n n C
        .
Câu 21: Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức:
1 3 2 1
2 2 2... 2048
n
n n nC C C
    ( knC là tổ hợp chập k của n
phần tử).
Giải:
2 0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2(1 ) ...
n n n n n
n n n n n nx C C x C x C x C x C x
        
*  2 0 1 2 3 2 1 22 2 2 2 2 21: 2 ... 1n n nn n n n n nx C C C C C C       
*  0 1 2 3 2 1 22 2 2 2 2 21: 0 ... 2n nn n n n n nx C C C C C C        
Lấy (1) – (2):
2 1 3 2 1 12
2 2 22 2( ... ) 4096 2 6
n n
n n nC C C n
       
Câu 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị
thức Niutơn của
18
5
12x
x
    ( x > 0).
Giải:
18 1 618 18 1818 185 5
18 185
0 0
12 (2 ) .2 .
k
kk k k k
k k
x C x x C x
x
  
 
          
Yêu cầu bài toán 618 0 15
5
k k    
Vậy số hạng không chứa x là: 3 15182 . 6528C 
Câu 23: Cho khai triển nhị thức:
111 1 1 1
0 1 13 3 3 32 2 2 22 2 2 2 2 ... 2 2 2
n n nn nx x x xx x x x
n n
n n n nC C C C
                                              
 ( n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
3 15n nC C và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm x và n.
Giải: Từ 3 15n nC C ta có: 3n  và
2 7! ! ( 1)( 2)5 5 3 28 0
3!( 3)! ( 1)! 6 4
nn n n n n n n n
n n n
            
Với n = 7 ta có:
31
3 2 2 232
7 2 2 140 35.2 .2 140 2 4 4
xx
x x xC x
                  
Câu 24: Cho đa giác đều A1A2..A2n ( n nguyên) nội tiếp
đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3
trong 2n điểm A1, A2, ., A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ
nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2, , A2n. Tìm n.
Giải: Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm
A1A2..A2n là: 32nC .
Gọi đường chéo của đa giác đều A1A2..A2n đi qua tâm
đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n
Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng
6
đường chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong
2n điểm A1,A2, , A2n có các đường chéo là hai đường
chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các
đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Vậy
số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo lớn của
đa giác A1A2..A2n tức 2nC .
Theo giả thiết thì: 3 22
(2 )! !20 20