Chuyên đề Đại số sơ cấp

a thường áp dụng một số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.
TỔNG HỢP CÁC ĐỀ QUA CÁC Kè THI
1/ (Dửù bũ 1 khoỏi D 2006) :, .
2/ (Dửù bũ 2 khoỏi B 2006) :, .
3/ (Dửù bũ 2 khoỏi A 2006) : , .
4/ (Dửù bũ 1 khoỏi A 2006) : , .
5/ (Dửù bũ 1 khoỏi A 2005) : , 
6/ (Dửù bũ 2 khoỏi A 2005) : .
7/ (Dửù bũ 2 khoỏi A 2007) : .
8/ ( ẹH KA-2008): , .
9/ ( ẹH KB-2008): , .
10/ ( ẹH KD-2008): , .
11/ ( ẹH KB-2002) 
12/ (ẹH KD-2002) .
13/ ( ẹH Khoỏi A -2003) .
14/ (ẹH KB- 03) ; 
15/ ( ẹH KA-2006) 
Bài 2: Phương trình và bất phương trình Đại số
I) PHệễNG TRèNH – BAÁT PHệễNH TRèNH TRề TUYEÄT ẹOÁI
KIEÁN THệÙC Cễ BAÛN :
a-Caực daùng cụ baỷn : 
Tửụng tửù neỏu coự daỏu : “ = “ .
b) Caực daùng khaực :
khửỷ daỏu trũ tuyeọt ủoỏi baống pp xeựt daỏu, chia khoaỷng , roài boỷ daỏu trũ tuyeọt ủoỏi treõn tửứng khoaỷng .
Neỏu coự daùng : f( X ) = m ta coự theồ duứng KS- hsoỏ ủeồ : Bieọn luaọn soỏ ngh pt .
BAỉI TAÄP :GIAÛI CAÙC PT :
1) 
2) 
3) 3x2-> 9x –2 
4) 
II)PHệễNG TRèNH VAỉ BAÁT PHệễNG TRèNHCAấN THệÙC
 A. PHệễNG TRèNH CAấN THệÙC 
1-Daùng: 
2-Pt coự chửựa vaứ A thỡ ẹaởt : t = 
3-Pt coự nhieàu caờn thửực : ẹaởt ẹK : Neỏu x thuoọc roồng thỡ pt voõ nghieọm .
Phửụng Phaựp :
Duứng coõng thửực cụ baỷn .
Bỡnh phửụng, laọp phửụng hai veỏ .
-ẹaởt aồn phuù => pt theo t .
ẹaởt aồn phuù ủửa veà heọ pt hai aồn u , v .
Duứng bủt Coõ-Si .
BAỉI TAÄP :
 Bài 1) Giải cỏc pt: ( Năng lũy thừa thớch hợp)
x2 +
b) 
c) 
d) 
e) (4x-1)2x2+2x+1
Bài 2); Giải cỏc PT( đặt ẩn phụ)
a) . 
b) 
c) 
Bài 3: 
a) Giaỷi pt khi m=2 
b) Tỡm m pt coự nghieọm.
Bài 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Bài 5. Tìm m để phương trình có nghiệm: 
Bài 6 . Giải pt: 
Bài 7. 
Một số bài tập luyện tập:
Bài 1: Tìm m để 
Bài 2: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
 : x = 0
3) 
4). 
5) (KD 2002)
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm 
Bài 4: Giải bất phương trình:
Bài 5: Giải bất phương trình:
HD Đặt AD BĐT cô si suy ra ĐK.
Bài 6: Giải bất phương trình 
HD
Xét 2 trường hợp chú ý DK x ³ -1. 
Trong trường hợp x ³ 4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT.
Bài tập áp dụng
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
.
TỔNG HỢP CÁC ĐỀ QUA CÁC Kè THI
1/ (Dửù bũ 2 khoỏi D 2006) : , .
2/ (Dửù bũ 1 khoỏi B 2006) : ,.
3/ (Dửù bũ 1 khoỏi B 2005) : .
4/ ( ẹH KD-2005) ;
5/ ( ẹH KD-2006) : ,
6/ (Dửù bũ 2 khoỏi B 2005) : ;	
7/ (Dửù bũ 1 khoỏi D 2005) : ;
8/ ( ẹH KD - 02) ;
9/ ( ẹH KA-05) ;
10/ ( ẹH KA-04) 
11/ ( ẹH KB-2006): Tỡm m ủeồ pt: coự 2 nghieọm thửùc phaõn bieọt
12/ (Dửù bũ 1 khoỏi B 2007) : Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh: coự nghieọm.
14/ ( ẹH KA-2007) Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh coự nghieọm thửùc . 
15/ ( ẹH KB-2007) CMR vụựi giaự trũ cuỷa moùi m, phửụng trỡnh coự 2 
	nghieọm thửùc phaõn bieọt .
16/ ( ẹH KA-2007) Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh ,
	coự ủuựng hai nghieọm thửùc phaõn bieọt. 
17/ (Khoỏi D-2004): CMR: phửụng trỡnh sau coự ủuựng moọt nghieọm :.
18/ ( ẹH KB-2004): Xaực ủũnh m ủeồ phửụng trỡnh sau coự nghieọm : 
	 .
BÀI 3: PHƯƠNG TRèNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRèNH LOGARIT
Phần I: LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LễGARIT
I.Lũy thừa:
1. Định nghĩa:
 ( )
2. Cỏc tớnh chất :
*Tất cả cỏc loại lũy thừa đều cú tớnh chất tương tự sau đõy(Chỉ khỏc điều kiện):
Cho ; m,n Z. Ta cú:
II.Hàm số lũy thừa:
Đạo hàm của hàm số lũy thừa: ; 
III. Lụgarit: 	 
 Cỏc tớnh chất : Với . Ta cú cỏc tớnh chất:
 Đặc biệt : 
 Cụng thức đặc biệt: 
IV. Hàm số mũ: Cú dạng : ( a > 0 , a1 ).
Ÿ Tập xỏc định : Taọp xaực ủũnh : 
 Ÿ Tập giỏ trị : ( )
Ÿ Tớnh đơn điệu:
* a > 1 : ủoàng bieỏn treõn 
* 0 < a < 1 : nghũch bieỏn treõn 
Ÿ Đồ thị hàm số mũ :
Ÿ Đạo hàm hàm số mũ:
 (a > 0, a ≠ 1) 
V. Hàm số lụgarớt: Dạng ( a > 0 , a 1)
 Ÿ Tập xỏc định : Ÿ Tập giỏ trị: 
 Ÿ Tớnh đơn điệu:
 + a > 1 : đồng biến trờn (Tức là: )
 + 0 < a < 1 : nghịch biến trờn (Tức là: ) 
 Ÿ Đồ thị của hàm số lụgarớt: 
 Ÿ Đạo hàm hàm số lụgarit:
VI . MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN (Xem thờm).
Phần 2: PHƯƠNG TRèNH MŨ, PHƯƠNG TRèNH LễGARIT
Chỳ ý: Trước khi giải một phương trỡnh, bất phương trỡnh; cần chỳ ý đặt điều kiện cho phương trỡnh, bất phương trỡnh (nếu cú).
A. Phương trỡnh mũ:
Cỏch giải tổng quỏt : Biến đổi phương trỡnh để đưa cỏc hàm số cú mặt trong phương trỡnh về cựng một cơ số.
Một số phương phỏp thường sử dụng:
I. Phương trỡnh mũ cơ bản: Điều kiện: 
Trường hợp 1: : Phương trỡnh vụ nghiệm.
Trường hợp 2: : Nờn suy nghĩ theo hai hướng ( Cú thể luụn thực hiện theo hướng thứ hai):
	F Nếu m = an thỡ ta cú: 
	F Nếu thỡ ta cú: 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh: 
a. b.
II. Đưa về cựng cơ số:
Hướng giải:
 - Biến đổi cỏc hàm số cú mặt trong phương trỡnh về cựng cơ số, sau đú rỳt gọn, đưa về dạng cơ bản hoặc về dạng: (Thường gặp)
- Nếu cơ số a thay đổi thỡ: (Ít gặp).
Vớ dụ: Giải phương trỡnh: 
BÀI TẬP: Giải cỏc phương trỡnh sau:
	a) 	 b) 	 c) 
	d) 	 e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110	 f) 
	g) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2	 	 h) (1,25)1 – x = 
III. Đặt ẩn số phụ:
Hướng giải: Thường biến đổi để phương trỡnh chỉ cũn một hàm số mũ duy nhất (nhưng khụng thể biến đổi gọn hơn để đưa về cỏc dạng cơ bản đó biết ở trờn) và đặt nú làm ẩn phụ để đưa việc giải phương trỡnh đó cho về giải phương trỡnh đại số. (Chỳ ý chỉ lấy nghiệm dương đối với ẩn số phụ).
Một số dạng thường gặp:
Loại 1: Phương trỡnh cú dạng 
 Khi đú ta đặt: t = af(x) điều kiện: t > 0 . Ta được một phương trỡnh đại số ẩn t, giải pt đại số này ta biết được nghiệm của phương trỡnh ẩn t. 
 Nếu cú nghiệm t thỡ cần xột xem cú thỏa điều kiện t > 0 hay khụng. Nếu thỏa điều kiện thỡ giải phương trỡnh để tỡm nghiệm của phương trỡnh đó cho.
Vớ dụ: 
BÀI TẬP: Giải phương trỡnh.
1) 4x + 2x+1 – 8 = 0	 2) 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0	 3) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27	
4) 	 6) 	 8) 
9) 4cos2x + = 3 	 
Loại 2: Phương trỡnh đưa được về dạng: 
Hướng giải: Đặt .
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh 
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh (1)
BÀI TẬP: Giải phương trỡnh.
1) 	 2) 	
Loại 3: Phương trỡnh cú dạng: 
Hướng giải: Chia cả hai vế cho ta được phương trỡnh + + = 0
 Ta đặt: t =điều kiện: t > 0, giải phương trỡnh ẩn t, sau đú tỡm nghiệm x.
Chỳ ý: Cũng cú thể chia hai vế phương trỡnh cho: hoặc: .
Vớ dụ: Giải phương trỡnh .
BÀI TẬP CHUNG: Giải cỏc phương trỡnh:
	a) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0 b) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 	
 c) d) 	
 e) f) 
IV.Phương phỏp lụgarit húa hai vế (thường sử dụng trong trường hợp hai vế khụng cựng cơ số).
Hướng giải: Biến đổi phương trỡnh về dạng: 
Lưu ý: Ta thường lụgarit húa hai vế với cơ số a hoặc b.
Vớ dụ: Giải phương trỡnh: 
Nhận xột: Ta khụng thể biến đổi phương trỡnh để đưa về cựng cơ số, hoặc chỉ cũn một hàm số mũ duy nhất, vỡ vậy cỏch giải ở đõy là lấy lụgarit húa hai vế.
Lấy lụgarit theo cơ số 2 hai vế 
BÀI TẬP: Giải cỏc phương trỡnh
a) 2x - 2 = 3	 b) 3x + 1 = 5x – 2	 c) 3x – 3 = 
d) 	 e) 	 f) 52x + 1 - 7x + 1 = 52x + 7x
V. Đoỏn nhận một nghiệm và chứng minh nghiệm đú duy nhất bằng cỏch sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số mũ.
* Ta thường sử dụng cỏc tớnh chất sau:
Tớnh chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thỡ phương trỡnh f(x) = C cú khụng quỏ một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đú nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thỡ đú là nghiệm duy nhất của phương trỡnh f(x) = C) 
Tớnh chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thỡ phương trỡnh f(x) = g(x) cú nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) . 
( do đú nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thỡ đú là nghiệm duy nhất của phương trỡnh f(x) = g(x)) 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh:.
Dễ nhận thấy x = 5 là nghiệm của phương trỡnh đó cho.
Ta cú: Hàm số mũ: là hàm số giảm trờn R do cơ số: .
 Hàm số bậc nhất: là hàm số tăng trờn R do hệ số a = 1 > 0.
Vậy: x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh.
BÀI TẬP: Giải cỏc phương trỡnh:
a) 3x + 4 x = 5x	 b) 3x – 12x = 4x	 c) 1 + 3x/2 = 2x
A. Phương trỡnh Lụgarit:
1. Phương trỡnh lụgarit cơ bản:
 Phương trỡnh lụgarit cơ bản cú dạng: , trong đú m là số đó cho.
Phương trỡnh cú điều kiện xỏc định là x > 0 ().
Với mọi , phương trỡnh cú nghiệm duy nhất .
Vớ dụ: Giải phương trỡnh: .
Điều kiện: (Đối với phương trỡnh, ta cú thể đặt điều kiện mà khụng cần giải điều kiện đú. Sau khi giải phương trỡnh tỡm được kết quả, ta thử nghiệm).
Ta cú: 
So với điều kiện, ta thấy phương trỡnh cú hai nghiệm: 
2. Phương phỏp đưa về cựng cơ số: Biến đổi phương trỡnh để đưa về dạng cơ bản đó nờu hoặc là dạng: 
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh (1) 
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh 
BÀI TẬP: Giải cỏc phương trỡnh sau :
1) 2) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)	
3) 	 4) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46	
5) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) 6) log4x + log2x + 2log16x = 5	
7) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0 
3. Phương phỏp đặt ẩn phụ:
Hướng giải: Biến đổi để trong phương trỡnh chỉ cũn một hàm lụgarit duy nhất, sau đú ta đặt nú làm ẩn phụ (Chỳ ý điều kiện), chuyển phương trỡnh đó cho thành phương trỡnh đại số. 
Vớ dụ1: Giải phương trỡnh .
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh 
BÀI TẬP: Giải cỏc phương trỡnh sau :
1) 2) 	
	3) 	 4) log2x + 
	5) 	
4. Phương phỏp biến đổi phương trỡnh về dạng tớch:
Vớ dụ: Giải phương trỡnh sau : 
5. Phương phỏp sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số:
 * Ta thường sử dụng cỏc tớnh chất sau:
Tớnh chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thỡ phương trỡnh f(x) = C cú khụng quỏ một nghiệm trong khoảng (a;b). ( Do đú nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thỡ đú là nghiệm duy nhất của phương trỡnh f(x) = C). 
Tớnh chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thỡ phương trỡnh f(x) = g(x) cú nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) . 
( Do đú nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thỡ đú là nghiệm duy nhất của phương trỡnh f(x) = g(x)). 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh: 
Phần 3: BẤT PHƯƠNGTRèNH MŨ, LễGARIT
ABất phương trỡnh mũ:
Xột bất phương trỡnh dạng: 
 Ÿ Nếu : Bất phương trỡnh cú tập nghiệm T=R
 Ÿ Nếu : 
Một số bất phương trỡnh