Chuyên đề Cực trị hàm phân thức - Trần Phương

CT
Qua bảng biến thiên ta có:
	CĐ(x1; 2x1 + m) = (; )
	CT(x2; 2x2 + m) = (; )
* Quỹ tích điểm cực đại:
Ta có: 
Vậy quỹ tích điểm CĐ của đồ thị hàm số đã cho là (P): y = với x < - 2.
Tương tự, ta tìm được quỹ tích điểm CT của đồ thị hàm số đã cho là (P): y = với x > - 2.
Bài 3: Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị.
Giải:
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị .
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2x + m
Nghiệm của g(x) là x1 = ; x2 = 
Bảng biến thiên:
	x - Ơ -1 +Ơ
	y/ + 0 – – 0 +
	y CĐ
 CT
Qua bảng biến thiên ta có:
	CĐ(x1; 2x1 + m) = (; )
	CT(x2; 2x2 + m) = (; )
* Quỹ tích điểm cực đại:
Ta có: 
Vậy quỹ tích điểm CĐ của đồ thị hàm số đã cho là (P): y = với x < - 1.
Tương tự, ta tìm được quỹ tích điểm CT của đồ thị hàm số đã cho là (P): y = với x > - 1.
Bài 4: Cho hàm số . 
Chứng minh rằng tồn tại điểm A(x0; y0) vừa là điểm CĐ của đồ thị hàm số ứng với m nào đó, vừa là điểm CT của đồ thị hàm số ứng với giá trị khác của m.
Giải: 
Ta tìm quỹ tích điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số. Khi đó điểm A chính là giao của hai đường quỹ tích vừa tìm được.
Ta có: 
y/ = 
Dễ thấy g(x) luôn có hai nghiệm phân biệt khác m là: x1 = m + 1; x2 = m - 1.
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2x - m(m + 1)
Bảng biến thiên:
	x - Ơ m - 1 m m + 1 +Ơ
	y/ + 0 – – 0 +
	y CĐ
 CT
Qua bảng biến thiên ta có:
	CĐ(x1; 2x1 - m2 - m) = (m - 1; - m2 + m - 2)
	CT(x2; 2x2 - m2 - m) = (m + 1; - m2 + m + 2)
* Quỹ tích điểm cực đại:
Ta có: 
 . 
Quỹ tích điểm CĐ là (P): y = - x2 - x - 2.
* Quỹ tích điểm cực tiểu:
Ta có: 
Quỹ tích điểm CT là (P): y = - x2 + 3x.
Xét hệ: . Hệ này có nghiệm là . 
Chứng tỏ tồn tại điểm A() thoả mãn ycbt.
( A là điểm CĐ của đồ thị hàm số ứng với m = và là điểm CT của đồ thị hàm số ứng với m = - ).
Bài 5: Yêu cầu như bài 4/ đối với hàm số:
Giải:
Ta có:
 y/ = 
Dễ thấy g(x) luôn có hai nghiệm phân biệt khác m là: x1 = m + 1; x2 = m - 1.
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2x + m(m2 - 1)
Bảng biến thiên:
	x - Ơ m - 1 m m + 1 +Ơ
	y/ + 0 – – 0 +
	y CĐ
 CT
Qua bảng biến thiên ta có:
	CĐ(x1; 2x1 + m3 - m) = (m - 1; m3 + m - 2)
	CT(x2; 2x2 + m3 - m) = (m + 1; m3 + m + 2)
* Quỹ tích điểm cực đại:
Ta có: 
 . 
Quỹ tích điểm CĐ là đường cong có phương trình: y = x3 + 3x2 + 4x 
* Quỹ tích điểm cực tiểu:
Ta có: 
Quỹ tích điểm CT là đường cong có phương trình: y = x3 – 3x2 + 4x.
Xét hệ: . Hệ này có nghiệm là . 
Chứng tỏ tồn tại điểm A(0; 0) thoả mãn ycbt.
( A là điểm CĐ của đồ thị hàm số ứng với m = 1 và là điểm CT của đồ thị hàm số ứng với m = - 1).
Bài 6: Cho hàm số: . Tìm điểm A(x0; y0) sao cho A là điểm CĐ của đồ thị hàm số ứng với giá trị m nào đó và A là điểm CT của đồ thị hàm số ứng với giá trị khác của m.
Giải:
Ta có: y/ = 
Với mọi m g(x) luôn có hai nghiệm phân biệt khác là x1 = ; x2 = 
Đường thẳng qua hai cực trị có phương trình: y = 4x + 2m(m2 +1)
Lập bảng biến thiên và qua bảng biến thiên ta có:
	CĐ(x1; 4x1+ 2m3 + 2m) = (; 2m3 + 4m - 2)
	CT(x2; 4x2 + 2m3 + 2m) = (; 2m3 + 4m + 2)
* Quỹ tích điểm cực đại:
Ta có: 
 . 
Quỹ tích điểm CĐ là đường cong có phương trình: y = 16x3 + 24x2 + 20x + 4
* Quỹ tích điểm cực tiểu:
Ta có: 
Quỹ tích điểm CT là đường cong có phương trình: y = 16x3 - 24x2 + 20x - 4.
Xét hệ: . Hệ này vô nghiệm.
Chứng tỏ không tồn tại điểm A thoả mãn ycbt.
Dạng toán 2: Biểu thức đối xứng của các điểm cực trị. 
	 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
Bài 1: Tìm m để hàm số có cực trị thoả mãn 
Giải:
Ta có : y/ = 
Hàm số có cực trị g(x) có hai nghiệm phân biệt khác 4 
Û m < 4.
Đường thẳng qua hai cực trị có phương trình: y = - 2x + 3.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị với toạ độ là:
	(x1; -2x1 + 3); (x2; -2x2 + 3) với g(x1) = g(x2) = 0.
Ycbt thoả mãn khi 
Vì x1; x2 là hai nghiệm của g(x) nên hệ trên trở thành: 
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho hàm số 
	Tìm m để yCĐ.yCT đạt GTNN
Giải:
Ta có: 
y/ = 
Hàm số có cực trị Û 
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2x - m - 1.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị với toạ độ là:
	(x1; 2x1 - m - 1); (x2; 2x2 - m - 1), trong đó g(x1) = g(x2) = 0.
Ta có: yCD.yCT = (2x1 - m - 1)(2x2 - m - 1) = 4x1x2 -2(m + 1)(x1 + x2) + (m + 1)2 = 
	 = 4(m2 - 3m + 3) - 2(m + 1).2 + (m + 1)2 = 5m2 - 14m + 9 = f(m).
Ta tìm m trên khoảng (1; 2) để f(m) đạt GTNN.
Ta có BBT:
	m - Ơ 1 7/5 2 +Ơ
	f/(m) - 0 +
	f(m) 
	 - 4/5
Qua bảng BT ta thấy giá trị cần tìm của m là m = 7/5
Bài 3: Cho hàm số . CMR với mọi m hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị không đổi.
Giải:
Ta có: y/ = 
y/ = 0 có hai nghiệm x = 0; x = 2 (khác 1) với mọi m nên hàm số luôn có cực trị.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2x - m. Do vậy hai điểm cực trị có tọa độ là: (0; - m) ; (2; 4 - m).
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là h = - const.
Bài 4: Tìm m để hàm số có CĐ, CT và 
Giải:
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị Û g(x) có hai nghiệm phân biệt khác m 
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 4x - 3
Hai điểm cực trị có toạ độ: (x1; 4x1 - 3); (x2; 4x2 - 3), với g(x1) = g(x2) = 0.
Ta có: Û
 ( thoả điều kiện ).
Vậy giá trị cần tìm của m là: 
Bài 5: Tĩm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa hai cực trị bằng 10.
Giải:
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị khi 
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = - 2x – m
Hai điểm cực trị có toạ độ: (x1; - 2x1 – m); (x2; - 2x2 – m), với g(x1) = g(x2) = 0.
Ycbt thoả mãn 
 (thoả mãn m > - 1)
Vậy m = 4 là giá trị cần tìm của m.
Bài 6: Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai cực trị.
Giải:
Ta có: 
y/ = 
Hàm số có cực trị (luôn đúng)
Đường thẳng qua hai cực trị có phương trình: y = x + 
Hai điểm cực trị có toạ độ: (x1; x1 + ); (x2; x2 +), với g(x1) = g(x2) = 0.
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: 
h = 
Bài 7: Cho hàm số . CMR hàm số có cực trị với mọi m. Tìm m để (yCĐ)2 = 2yCT
Giải:
Ta có: y/ = 
Với mọi m, y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 là x = 0; x = 2. Chứng tỏ hàm số luôn có cực trị.
Đường thẳng qua hai cực trị có phương trình: y = 2x – m – 1.
Bảng biến thiên:
	x - Ơ 0 1 2 +Ơ
	y/ + 0 - - 0 + 
	y yCĐ
	 yCT
Qua BBT ta thấy:
	yCĐ = 2.0 – m – 1 = - m – 1
	yCT = 2.2 – m – 1 = 3 – m
Ycbt thoả mãn Û (m + 1)2 = 2(3 – m) Û m2 + 4m – 5 = 0 Û m = 1 hoặc m= -5
Vậy giá trị cần tìm của m là: m = 1 hoặc m= -5
Bài 8: Tìm m để hàm số có CĐ, CT và (yCĐ - yCT)(m+1) + 8 = 0.
Giải: 
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị 
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 
Giả sử điểm CĐ(x1; ); điểm CT(x2; ), với g(x1) = g(x2) = 0.
Khi đó: (yCĐ- yCT)(m + 1) + 8 = 0 
Theo định lí Viét ta có: 
Từ (1) và (2) ta tìm được . 
Thay x1; x2 vào (3) ta tìm được m = 0.
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 0.
Bài 9: Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau.
Giải:
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị 
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2x + 2m.
Toạ độ các điểm cực trị là: (x1; 2x1 + 2m); (x2; 2x2 + 2m), với g(x1) = g(x2) = 0.
Ycbt t/m 
 (thoả đk của m).
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 1/2.
Bài 10: Tìm m để hàm số có CĐ, CT và yCĐ2 + yCT2 > 1/2
Giải:
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị 
Đường thẳng qua hai cực trị có phương trình: y = 2x + m + 2
Các điểm cực trị có toạ độ: (x1; 2x1 + m + 2); (x2; 2x2 + m + 2), với g(x1) = g(x2) = 0.
Ycbt thoả mãn (2x1 + m + 2)2 + (2x2 + m + 2)2 > 1/2 
 (luôn đúng).
Vậy giá trị cần tìm của m là m > - 2. 
Dạng toán 3: Vị trí tương đối của các điểm cực trị:
Bài 1: Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía của Ox
Giải:
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị 
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2mx + 3m
Các điểm cực trị có toạ độ: (x1; 2mx1 + 3m); (x2; 2mx2 + 3m), với g(x1) = g(x2) = 0.
Ycbt thoả mãn yCĐ.yCT < 0 Û (2mx1 + 3m)(2mx2 + 3m) < 0 Û 
Û 4m2x1x2 + 6m2(x1 + x2) + 9m2 < 0 Û 4x1x2 + 6(x1 + x2) + 9 < 0 Û
Û 4(Û (thoả điều kiện của m).
Vậy 0 < m < 4 là giá trị cần tìm của m.
Bài 2: Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm về cùng phía so với Ox.
Giải:
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị (Đúng với mọi m).
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2x + m + 1.
Các điểm cực trị có toạ độ: (x1; 2x1 + m + 1); (x2; 2x2 + m + 1), với g(x1) = g(x2) = 0.
Ycbt thoả mãn Û yCĐ.yCT > 0 Û (2x1 + m + 1)(2x2 + m + 1) > 0 Û
Û 4x1x2 + 2(m + 1)(x1 + x2) + (m + 1)2 > 0 Û 4(- m2 – 1) + 2(m + 1).2m + (m + 1)2 > 0 Û m2 + 6m – 3 > 0 Û 
Vậy giá trị cần tìm của m là: 
Bài 3: Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía của đường thẳng (d): y = 2x.
Giải:
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị 
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = - 2x + 2m
Các điểm cực trị có toạ độ: (x1; - 2x1 + 2m); (x2; - 2x2 + 2m).
Viết (d) dưới dạng tổng quát: 2x – y = 0.
Ycbt thoả mãn Û
Vậy giá trị cần tìm của m là: 
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số có một cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và một cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) trên mặt phẳng toạ độ.
Giải:
Ta có: 
y/ = 
Hàm số có cực trị 
Dễ thấy g(x) có hai nghiệm là x1 = m; x2 = -3m.
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình là: y = 2mx + m2 + 1.
Các điểm cực trị có toạ độ là: (x1; 2mx1 + m2 + 1) = (m; 3m2 + 1)
	 (x2; 2mx2 + m2 + 1) = (- 3m; - 5m2 + 1)
Ycbt thoả mãn 
Vậy giá trị cần tìm của m là: 
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ, CT cùng thuộc góc phần tư thứ (I) trên mặt phẳng toạ độ.
Giải:
Ta có: 
y/ = 
Hàm số có cực trị 
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2mx - 2m – 2
g(x) có hai nghiệm là x1 = 3 - ; x2 = 3 + ; tương ứng ta có tung độ các điểm cực trị là y1 = 2mx1 – 2m – 2 = (4 - 2)m – 2; y2 = 2mx2 – 2m – 2 = (4 + 2)m – 2
Ycbt thoả mãn (Vô nghiệm)
Vậy không tồn tại giá trị của m thoả ycbt.
Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số có một cực trị thuộc góc phần tư thứ (I) và một cực trị thuộc góc phần tư thứ (III) trên mặt phẳng toạ độ.
Giải:
Ta có: y/ = 
Hàm số có cực trị 
Đường thẳng qua hai cực trị có phương trình: y = 2mx – 3m2 – 2 (d)
Nhận xé