Chuyên đề Cực trị của hàm số - Trương Trọng Nhân

Vấn đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 15 
Vấn đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 



o0o


 
1. Khái niệm: Cho hàm số f xác định trên tập hợp D ⊂  và 
0
x D∈ . 
a) Điểm 
0
x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng 
( , )a b chứa điểm 
0
x sao cho ( , )a b D⊂ và
0
( ) ( )f x f x< với mọi 
0
( , ) \x a b x∈ { } 
Khi đó 
0
( )f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . 
b) Điểm 
0
x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng 
( , )a b chứa điểm 
0
x sao cho ( , )a b D⊂ và
0
( ) ( )f x f x< với mọi 
0
( , ) \x a b x∈ { } 
Khi đó 
0
( )f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . 
c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại 
và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. 
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị (Định lý Fermat) 
Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại điểm 
0
x và có cực trị tại điểm đó thì 
0
( ) 0f x′ = . 
Chứng minh 
a) Giả sử hàm số f đạt cực đại tại 
0
x . Khi đó, với x∆ ≠ 0đủ nhỏ ta có: 
0 0
( ) ( )f x x f x+∆ < 
Với x∆ > 0 , 0 0
( ) ( )
0
f x x f xy
x x
+∆ −∆
= <
∆ ∆
0
lim 0 (1)
x
y
x+∆ →
∆
⇒ ≤
∆
Với x∆ < 0 , 0 0
( ) ( )
0
f x x f xy
x x
+∆ −∆
= >
∆ ∆
0
lim 0 (2)
x
y
x−∆ →
∆
⇒ ≥
∆
Mà f có đạo hàm tại 
0
x nên 
0
lim (3)
x
y
x∆ →
∆
∃
∆
Từ (1) ,(2)và (3) 
0
lim 0
x
y
x∆ →
∆
⇒ =
∆
. Hay 
0
( ) 0f x′ = . 
b)Trường hợp hàm số đạt cực tiểu tại 
0
x , chứng minh tương tự. 
Ý nghĩa hình học của định lý: Nếu f có đạo hàm tại điểm 
0
x và có cực trị tại 
điểm đó thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm 
0 0
( , ( ))M x f x song song với trục 
hoành. 
3. Điều kiện đủ của cực trị 
a. Định lí 1 : Giả sử hàm số f liên tục trên ( , )a b chứa điểm 
0
x và có đạo hàm 
trên các khoảng 
0
( , )a x và 
0
( , )x b .Khi đó 
Vấn đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 16 
)i Nếu ( ) 0f x′ < với mọi x thuộc 
0
( , )a x và ( ) 0f x′ > với mọi x thuộc 
0
( , )x b thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 
0
x . 
x a 0x b 
( )f x′ − + 
( )f x 
0
( )f x 
 (cực tiểu) 
 )ii Nếu ( ) 0f x′ > với mọi x thuộc 
0
( , )a x và ( ) 0f x′ < với mọi x thuộc 
0
( , )x b thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 
0
x . 
x a 0x b 
( )f x′ + − 
( )f x 
0
( )f x 
 (cực đại) 
Chứng minh 
)i Vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng 
0
( , ]a x và 
0
( ) 0 ( , )f x x a x′ < ∀ ∈ nên 
hàm số f nghịch biến trên 
0
( , ]a x . Do đó 
0 0
( ) ( ) ( , )f x f x x a x> ∀ ∈ . 
Tương tự, vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng 
0
[ , )x b và ( ) 0f x′ < 
0
( , )x a x∀ ∈ nên hàm số f nghịch biến trên 
0
[ , )x b . Do đó 
0 0
( ) ( ) ( , )f x f x x x b> ∀ ∈ . 
Vậy 
0 0
( ) ( ), ( , ) \ { }f x f x x a b x> ∀ ∈ . Tức là hàm số đạt giá trị cực tiểu tại 
0
x . 
)ii Chứng minh tương tự. 
Từ định lý này ta có quy tắc tìm cực trị sau đây 
Qui tắc 1 
1. Tìm ( )f x′ 
2. Tìm các điểm ( 1,2, )
i
x i =  tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc 
hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. 
3. Xét dấu ( )f x′ . Nếu ( )f x′ đổi dấu khi x qua điểm 
i
x thì hàm số đạt cực 
trị tại 
i
x . 
Vấn đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 17 
b. Định lí 2: Giả sử f có đạo hàm cấp một trên ( , )a b chứa điểm 
0
x , 
0
( ) 0f x′ = 
và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại 
0
x . 
)i Nếu 
0
( ) 0f x′′ > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
0
x . 
)ii Nếu 
0
( ) 0f x′′ < thì hàm số đạt cực đại tại điểm 
0
x . 
Chứng minh 
)i Giả sử 
0
( ) 0f x′′ > . 
Vì hàm số f ′′ liên tục tại 
0
x , nên 
0
( ) 0f x′′ > trong một lân cận nào đó của 
0
x , 
vì vậy hàm số f ′ đồng biến trên lân cận đó. 
Nhưng 
0
( ) 0f x′ = , nên 
° Nếu 
0
x x< thì 
0
( ) ( ) 0f x f x′ ′< = 
° Nếu 
0
x x> thì 
0
( ) ( ) 0f x f x′ ′> = 
Như vậy f ′ đổi dấu từ dương sang âm khi x chuyển qua 
0
x . 
Hay 
0
x là điểm cực tiểu (theo Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị). 
)ii Chứng minh tương tự. 
Từ định lý này ta có thêm một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số (nếu hàm 
số có đạo hàm cấp hai). 
 Quy tắc 2: 
1. Tìm ( )f x′ 
2. Tìm các điểm ( 1,2, )
i
x i =  của phương trình ( ) 0f x′ = . 
3. Tìm ( )f x′′ và tính ( )
i
f x′′ . 
 ° Nếu ( ) 0
i
f x′′ < thì hàm số đạt cực đại tại điểm 
i
x . 
 ° Nếu ( ) 0
i
f x′′ > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
i
x . 
Ghi chú: Các bài tập liên quan đến vấn đề này chúng ta sẽ bàn trong vấn đề 
Khảo sát hàm số áp dụng tìm cực trị trong từng hàm cụ thể.