Chuyên đề Các phương pháp tính tích phân - Nguyễn Duy Khôi

Áp dụng: Tính ∫
22
x
-2
2x +1
I = dx
2 +1
. 
4) Chứng minh rằng: 
pi pipi
∫ ∫
0 0
xf(sinx)dx = f(sinx)dx
2
 (HD: ðặt pix = - t ) 
Áp dụng: Tính 
pi
∫ 2
0
xsinx
I = dx
4+sin x
. 
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các ñề tuyển sinh ðại học) 
a) I = ∫
2
22
2
0
x
dx
1- x
 (ðH TCKT 1997) ( )b) I = ∫
1
32
0
1- x dx (ðH Y HP 2000) 
c) I = ∫
2
2 2
0
x 4- x dx (ðH T.Lợi 1997) d) I = ∫
a
2 2 2
0
x a - x dx (ðH SPHN 2000) 
e) I = ∫
3
2
2
1
2
dx
x 1- x
 (ðH TCKT 2000) f) I = ∫
1
4 2
0
dx
x +4x +3
 (ðH T.Lợi 2000) 
( )g) I = ∫
1
22
-1
dx
1+x
 (ðH N.Ngữ 2001) h) I = ∫
2
2
2
3
dx
x x -1
 (ðH BKHN 1995) 
II.4.2. Phương pháp ñổi biến số loại 2: (Dạng nghịch) 
Nếu tích phân có dạng   ∫
b
a
f u(x) u'(x)dx 
ðặt: ⇒u = u(x) du = u'(x)dx 
ðổi cận: ⇒ 2x = b u = u(b) 
1⇒x = a u = u(a) 
( )I⇒ ∫
2
1
u
u
= f u du
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 17 
a) Một số dạng cơ bản thường gặp khi ñổi biến số loại 2:(Dạng nghịch) 
Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích 
phân bằng tích phân ñổi biến số loại 1 không ñược nhưng ta thấy biểu thức trong dấu tích 
phân có chứa: 
 1. Lũy thừa thì ta thử ñặt u bằng biểu thức bên trong của biểu thức có chứa lũy thừa 
cao nhất. 
 2. Căn thức thì ta thử ñặt u bằng căn thức. 
 3. Phân số thì ta thử ñặt u bằng mẫu số. 
 4. cosx.dx thì ta thử ñặt u = sinx. 
 5. sinx.dx thì ta thử ñặt u = cosx. 
 6. 
2
dx
cos x
 hay (1 + tg2x)dx thì ta thử ñặt u = tgx. 
 7. 
2
dx
sin x
 hay (1 + cotg2x)dx thì ta thử ñặt u = cotgx. 
 8. dx
x
 và chứa lnx thì ta thử ñặt u = lnx. 
VD 10: Tính các tích phân sau: 
1.a) I ∫
1
3 5 2
0
= (x +1) x dx
ðặt: ⇒ ⇒3 2 2
du
u= x +1 du=3x dx x dx=
3
ðổi cận: 
x 0 1 
u 1 2 
I⇒ ∫ ∫
2 2 26 6 6
5 5
11 1
= = = - =
du 1 u 2 1 7
= u u du
3 3 18 18 18 2
 b) I
pi
 ∫
2
3
0
= (1+sinx ) .cosx.dx (Tương tự) 
2.a) I ∫
2
2
0
= 4+3x .12x.dx 
ðặt: ⇒2 2 2u= 4+3x u = 4+3x 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 18 
 ⇒ ⇒2udu=6xdx 12xdx = 4udu 
ðổi cận: 
x 0 2 
u 2 4 
I⇒ ∫ ∫
4 4 43 3 3
2
22 2
= = - =
4u 4.4 4.2 224
= u.4u.du= 4u .du
3 3 3 3
 b) I ∫
2
2 3
0
= 1+2x .x .dx (HD: I ∫
2
2 2
0
= x . 1+2x .xdx ) 
ðặt ⇒ ⇒
2
2 2 2 2 -=
u 1
u= 1+2x u =1+2x x
2
 ⇒⇒
udu
2udu= 4xdx xdx =
2
 ... 
c) I ∫
1 2
33
0
x
= dx
1+7x
 ðặt ⇒3 3 3 33= =u 1+7x u 1+7x 
 ⇒ ⇒
2
2 2 2 u du3u du=21x dx x dx =
7
ðổi cận: 
x 0 1 
u 1 2 
⇒ ∫ ∫
2 2 22 2 2 2
11 1
= = = - =
u 1 1u 2 1 3
I = du udu
7u 7 14 14 14 14
3.a) I ∫
1 3
2
0
+
x
= dx
x 1
 Ta có: I ∫
1 2
2
0
.
+
x x
= dx
x 1
ðặt ⇒2 2= + = -u x 1 x u 1 
 ⇒ ⇒= =
du
du 2xdx xdx
2
ðổi cận: 
x 0 1 
u 1 2 
( ) ( ) ( )I   
 
⇒ ∫ ∫
2 2 2
11 1
= = = =
u-1 1 1 1 1
= du 1- du u-ln |u | 2 -ln2 -1 1-ln2
2u 2 u 2 2
b) I ∫
2 2
3
1
=
x
dx
x +2
 (HD: ðặt 3u= x +2 ) 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 19 
4.a) I
pi
∫
6
4
0
= sin x.cosx.dx
 ðặt: ⇒u=sinx du=cosx.dx 
ðổi cận: 
x 0 
6
pi
u 0 
1
2
I   
 
⇒ ∫
1
1
52
24
0
0
= =
u 1
= u du
5 160
b) I
pi
∫
2
0
sinx
= dx
1+3cosx
 (HD: ðặt u=1+3cosx ) 
c) I
pi
∫
2
0
= 1+3sinx.cosxdx
 (HD: ðặt u= 1+3sinx ) 
5.a) I
pi
∫
2
0
sin2x +sinx
= dx
1+3cosx
 (ðề ðH khối A – 2005) 
Ta có ( )I
pi pi
∫ ∫
2 2
0 0
sinx 2cosx +12sinxcosx +sinx
= dx= dx
1+3cosx 1+3cosx
ðặt ⇒ ⇒
2
2 -u 1u= 1+3cosx u =1+3cosx cosx =
3
 ⇒ ⇒
-2udu
2udu= -3sinxdx sinxdx =
3
ðổi cận: 
x 0 
2
pi
u 2 1 
( )
  
  
  
   
    
   
⇒ ∫ ∫
2
1 2
2
2 1
23 3 3
1
-
+
= + = + - =
u 1 -2udu
2 +1
3 3 2
I = dx = 2u 1 du
u 9
2 2u 2 2.2 2.1 34
u 2 - 1
9 3 9 3 3 27
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 20 
Nhận xét: ðối với những bài chứa căn thức, học sinh có thể ñặt u bằng biểu thức 
trong dấu căn, nhưng sau khi ñổi biến thì tích phân mới vẫn còn chứa căn thức nên việc 
tính tiếp theo sẽ phức tạp hơn (tức là học sinh phải ñưa về xα). Ví dụ: Cách 2 của câu 5 
5.a) I
pi
∫
2
0
sin2x +sinx
= dx
1+3cosx
 (ðề ðH khối A – 2005) 
Ta có ( )I
pi pi
∫ ∫
2 2
0 0
sinx 2cosx +12sinxcosx +sinx
= dx = dx
1+3cosx 1+3cosx
ðặt ⇒ -u 1u=1+3cosx cosx =
3
 ⇒ ⇒
-du
du= -3sinxdx sinxdx =
3
ðổi cận: 
x 0 
2
pi
u 4 1 
( )
4 4 1 1
2 2
1 1
u u
−
  
  
  
    
 + =    
    
 
 = 
 
⇒ ∫ ∫
∫ ∫
41
4 1
4
1
-
1
= 2 + = 2 u u+2 u
= +4- -2
u 1 -du
2 +1
2u+113 3
I = du= du
9u u
1 1 1 4
u
9 9 9 3u
1 32 4 34
9 3 3 27
Nhận xét: Rõ ràng cách giải 2 ñặt u bằng biểu thức trong căn thấy phức tạp hơn so 
với cách 1. 
b) I
pi
∫
2
0
sin2x.cosx
= dx
1+cosx
 (ðH khối B – 2005) 
6.a) ( )I
pi
= ∫
24
2
0
tgx+1
dx
cos x
 ðặt: ⇒ 2
dx
u= tgx+1 du=
cos x
ðổi cận: 
x 0 
4
pi
u 1 2 
I   
 
⇒ ∫
2 23
2
11
= = - =
u 8 1 7
= u du
3 3 3 3
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 21 
b) I
pi
∫
4 2
2
0
tg x - 3tgx +1
= dx
cos x
 (HD: ðặt u= tgx ) 
7.a) I
pi
pi
∫
cotgx2
2
4
e
dx
sin x
=
ðặt: ⇒ 2
-dx
u=cotgx du=
sin x
ðổi cận: 
x 
4
pi
2
pi
u 1 0 
I⇒ ∫ ∫
0 1 1
u u u
01 0
= = = -= - e du e du e e 1 
b) I
pi
∫
2
2
p
4
3cotgx+1
= dx
sin x
 (HD: ðặt u= 3cotgx+1 ) 
8.a) I ∫
3e
1
1+lnx.dx
=
x
 ðặt ⇒ 2u= 1+lnx u =1+lnx ⇒
dx
2udu=
x
ðổi cận: 
x 1 3e 
u 1 2 
I⇒ ∫ ∫
2 2 23 3 3
2
11 1
2
2 = =
3
u 2.2 2.1 14
= u.2udu= u du - =
3 3 3
b) I ∫
7e 3
1
lnx. 1+lnx
= dx
x
ðặt ⇒ ⇒3 33 -u= 1+lnx u =1+lnx u 1= lnx ⇒ 2
dx
3u du=
x
ðổi cận: 
x 1 7e 
u 1 2 
( ) ( )I       
   
⇒ ∫ ∫
2 2 27 4 7 4
3 2 6 3
11 1
300
. = 3 - = 3 -
7 4 7 4 7
u u 2 2
= u -1 u.3u du=3 u -u du =
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 5: 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 22 
1. Tính các tích phân sau: 
( )a) I
pi
∫
2
3 3
0
= 5sinx -1 cos x.dx
b) I ∫
2
2 3
0
= 1+2x .x .dx
c) I ∫
1 2
33
0
x
= dx
1+26x
d) I ∫
p
2
0
sinx
= dx
1+3cosx
e) I
pi
∫
6
4
0
= sin x.cosx.dx
 f) I ∫
p
4
5
0
= cos x.dx 
g) I
pi
∫
6
2 3
0
= sin x.cos x.dx
 h) I
pi
∫
2
0
= 1+3sinx.cosxdx i) I
pi
∫
4
3
0
= (1+sin2x ) .cos2x.dx 
j) I ∫
p
2
3
0
= sinx - sin x.dx k) I
pi
∫
2
2
0
sin2x
= dx
1+cos x
1l) I
pi
+
∫
4 tgx
2
0
e
= dx
cos x
2. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tốt nghiệp) 
a) I
pi
∫
2
5
0
= sin x.dx (TNTHPT Năm 93-94) b) I ∫
2 2
3
1
x
= dx
x +2
(TNTHPT Năm 95-96) 
c) I ∫
2
2 3
1
= x +2.x .dx (TNTHPT Năm 96-97) d) I
pi
∫
2
2
0
= cos 4x.dx (TNTHPT Năm 98-99) 
e) I
pi
∫
6
0
= (sin6xsin2x+6).dx (TNTHPT 00-01) f) I
pi
 ∫
2
2
0
= (x+sin x)cosx.dx (TNTHPT 04-05) 
3. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học) 
a) I
pi
∫
2
0
sin2x +sinx
= dx
1+3cosx
 (ðH khối A – 2005) 
b) I
pi
∫
2
0
sin2x.cosx
= dx
1+cosx
 (ðH khối B – 2005) 
( )c) I
pi
∫
2
sinx
0
= e +sinx cosxdx (ðH khối D – 2005) 
d) I
pi
∫
2
2 2
0
sin2x
= dx
cos x + 4sin x
 (ðH khối A – 2006) 
e) I ∫
ln5
x -x
ln3
dx
=
e +2e -3
 (ðH khối B – 2006) 
f) I ∫
1
2x
0
= (x -2)e dx (ðH khối D – 2006) 
4. Tính các tích phân sau: (Các dạng khác) 
 a) I ∫
13
3
0
dx
=
2x+1
 b) Ι
3
0
= x x+1.dx∫ c) I ∫
1
3
0
dx
=
1+ x+1
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 23 
 d) I ∫
p
3
0
2sin2x +3sinx
= dx
6cosx -2
e) I ∫
7e
3
1
1
= dx
x 1+lnx
f) I ∫
3e
1
1+lnx.dx
=
x.lnx
 g) I ∫
7e 3
1
lnx. 1+lnx
= dx
x
 h) I ∫
4
-1
e
e
1
= dx
x.lnx.ln(lnx)
 i) I ∫
5
4
5
3
x+1
= .dx
x -1
 k) I ∫
1
x
0
dx
=
1+e
 l) I ∫
ln5
x
0
= e -1 dx m) I ∫
e
x
0
(x+1)
= dx
x(1+xe )
(HD: t = xex) 
5. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học) 
1) I = ∫
7 3
2
0
x dx
1+x
 (ðH T.Mại 1997); ( )
1
0
2) I =∫
65 3x 1-x dx (ðH KTQD 1997) 
3) I
pi
= ∫
32
2
0
sin x
dx
1+cos x
 (ðH QGHN 1997); 4) I ∫
1
0
xdx
=
2x+1
(ðHQGTPHCM 1998) 
5) pi Ι = ∫0 cosx sinxdx (ðHBKHN98); ( )6) I
pi
= ∫
2
4 4
0
cos2x sin x+cos x dx (ðHBKHN 98) 
7) I = ∫
7
3
3
0
x+1
dx
3x+1
(ðH GTVT 1998); 
1
0
8) I = ∫ x
dx
e +1
 (ðH QGHN 1998) 
9) I
pi
= ∫
3
0
sin xcosxdx (ðH DLHV 1998); 10) I
pi
= ∫
2
4
0
sin2x
dx
1+cos x
(ðHQGTPHCM 1998) 
( )11) I
pi
= ∫
2
32
0
sin2x 1+sin x dx
 (ðHNT 1999); 12) I
pi
= ∫
42
4 4
0
sin x
dx
sin x+cos x
 (ðH GTVT 1999) 
13) I = ∫
1
2x
0
dx
e +3
 (ðH Cñoàn 2000); 14) I = ∫
ln2 2x
x
0
e dx
e +1
 (ðH BKHN 2000) 
15) I
pi
= ∫
4
4 4
0
sin4x
dx
sin x+cos x
 (ðH CThơ 2000); ( )
2
1
16) I = ∫ 3
dx
x x +1
 (ðH NNghiệp 2000) 
0
17) I
pi
= ∫
62
6 6
sin x
dx
cos x+sin x
 (ðH Huế 2000); 18) I
pi
= ∫
2
0
cosx
dx
sinx + cosx
(ðHNN1-KB 01) 
( )19) I = ∫
2
4
1
dx
x x +1
 (ðH Aninh 2001) 20)
pi
 Ι = ∫
2
2
0
cos xsin2xdx (ðH NL HCM 2001) 
21) I = ∫
1
5 3
0
x 1- x dx (ðH Luật HCM 2001); 22) I ∫
3 7
8 4
2
x
= dx
1+x -2x
(CðSPNtrang 2002) 
( )
0
23) I
pi
= ∫
2
3 3cosx - sinx dx (CðSPQN 2002); 24) I =
pi
∫
4 2
0
1-2sin x
dx
1+sin2x
(ðHCð khối B 2003) 
25) I = ∫
2 3
2
5
dx
x x +4
(ðH-Cð khối A 2003);
1
0
26) I = ∫ 3 2x 1- x dx (ðH-Cð khối D 2003) 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 24 
II.5. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 
ðịnh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [a;b] thì: 
[ ]
b