Chuyên đề Các phương pháp giải bài toán cực trị

 duy logíc cao, việc nắm vững phương pháp giải không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói riêng mà nó còn có khả năng tư duy logic với các môn học khác.
Vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung và giải các bài toán cực trị nói riêng. Trong quá trình dạy toán và qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi tài liệu, bản thân tôi đã hệ thống được một số phương pháp tìm cực trị. Tôi thiết nghĩ mỗi giáo viên cần trang bị cho học sinh những phương pháp giải cơ bản, từ đó góp phần rèn kỹ năng giải và phát triển tư duy toán học nói chung.
2. Thực trạng của vấn đề:
Bài toán cực trị là loại toán khó, nhiều học sinh khi giải loại toán này không biết phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải ra sao. Thực tế cho thấy bài toán tìm cực trị có nhiều trong chương trình toán trung học cơ sở, trong các kỳ thi vào lớp 10, vào trường chuyên, lớp chọn và đặc biệt là thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, khu vực... 
Đối với giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy thì việc nắm vững phương pháp giải sẽ bổ sung kho kiến thức cho họ. Đối với học sinh sẽ khắc phục được các hạn chế trước đây, giúp học sinh tự tin hơn trong việc học tập bộ môn toán.
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề:
Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị. Thông qua nội dung, phương pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết và phát triển tư duy cho học sinh. Rèn kỹ năng tự học của học sinh qua các bài tập đề nghị. Thông qua quá trình giảng dạy thực tế, qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp trong tổ chuyên môn. Thông qua quá trình tự học, tự nghiên cứu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9. Thông qua các tài liệu toán tham khảo, nâng cao tôi đã đưa ra các dung cụ thể như sau:
3.1. Định nghĩa:
Xét hàm số n biến F(x,y,z,.....) liên tục trên miền đóng D R 
+ Nếu F(x,y,z,.....) A (x,y,z,.......) D và A = const. Đồng thời (x0,y0,z0,...) D sao cho F(x0,y0,z0,......) = A, thì A được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số F(x,y,z,......) trên D.
+ Kí hiệu: MaxF(x,y,z,.....) = A. Ngược lại: Xét hàm số n biến (x,y,z,.....) liên tục trên miền đóng D Rn 
+ Nếu F(x,y,z,.....) A (x,y,z,.......) D và A = const. Đồng thời (x0,y0,z0,...) D sao cho F(x0,y0,z0,......) = A, thì A được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số F(x,y,z,......) trên D.
+ Kí hiệu : Min F(x,y,z,....) = A
3.2. Các bước giải bài toán cực trị:
Với mỗi bài toán cực trị khi giải thông thường ta thường tiến hành theo hai bước:
Bước 1 : Chỉ rõ f(x,y,z,........) A ( hoặc F(x,y,z,.....) A ) trong đó A là một đại lượng có giá trị không đổi
Bước 2 : Chỉ rõ bộ số (x0,y0,z0,....) D mà tại đó F(x0,y0,z0,......) = A
3.3. Phân loại các dạng cực trị cơ bản và cách giải: 
3.3.1. Cực trị của hàm đa thức một biến :
Phương pháp :
+ Đưa về dạng : f(x) = k ± g2(x) với k = const 
+ Nếu f(x) = k + g2(x) thì Minf(x) = k g (x) = 0
+ Nếu f(x) = k - g2(x) thì Max f(x) = k g(x) = 0 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x + 1)2 + ( x + 3)2 
Giải: Ta có A = x2 + 2x + 1 + x2 + 6x + 9 = 2x2 + 8x + 10 
 = 2( x2 + 4x + 4 ) + 2 = 2(x+2)2 + 2
Vậy A 2 Min A = 2 x + 2 = 0 x = -2 
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = -x(x + 1) ( x + 2 ) (x + 3)
Giải: B = -x(x + 1) ( x + 2 ) (x + 3 ) = - (x2 + 3x ) ( x2 + 3x + 2)
 = - (x2 + 3x ) [ (x2 + 3x ) + 2] = -[ ( x2 + 3x)2 + 2( x2 + 3x ) ]
 = -[ (x2 + 3x)2 + 2( x2 + 3x ) + 1 - 1 ] = -(x2 + 3x + 1)2 + 1
 	 B 1Vậy Max B = 1 x2 + 3x + 1 = 0 x = 
Một số nhận xét : Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc 2, ta có kết quả mỗi một tam thức bậc 2 đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ nhất)
Trong quá trình giải với các bài toán có thể đặt được ẩn phụ, ta nên đưa thêm các ẩn phụ vào để có thể làm đơn giản hoá bài toán.Ví dụ: Trong ví dụ 2 ta có thể đặt ẩn phụ như sau:
+ Đặt t = x2 + 3x + 1 ( t ) thì khi đó B = t2 + 1 hoặc trong ví dụ 1 ta có thể đặt y = x + 2 khi đó A = 2y2 + 2
3.3.2. Cực trị của hàm đa thức nhiều biến: 
Phương pháp tìm cực trị của hàm đa thức nhiều biến tương tự giống với hàm đa thức một biến.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức: 
A = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2002
Giải: A = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2002
 = (x2 -2x +1) + (y2 - 2y +1 ) + xy - x - y + 1 + 1999
 = (x -1 )2 + (y -1)2 + (x - 1) (y - 1) + 1999
 =[ (x-1) + ]2 +(y - 1)2 + 1999 A 1999
Vậy, max A = 1999 đạt được (x-1) + = 0 và y- 1 = 0 
Nhận xét :
- Trong ví dụ 3 ta đã vận dụng kiến thức: 
Cho F = F1 + F2 thì Max F = MaxF1 + Max F2 (MinF = Min F1 +MinF2)
Trong đó F1, F2 là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa cùng biến thì cùng đạt Max (Min) tại một bộ giá trị xác định của biến (đối với đa thức một biến ).
- Do không nắm vững kiến thức ở phần này hoặc hiểu chưa sâu sắc mà khi sử dụng kiến thức trên học sinh rất rễ mắc sai lầm. Ta trở lại ví dụ 1: 
Tìm Max A = (x + 1)2 + (x + 3)2; Học sinh rất rễ mắc sai lầm khi vội vàng kết luận MaxA = 0; Vì : (x + 1)2 0 và (x + 3)2 0
Vậy, sai lầm ở đâu ? sai lầm ở chỗ nếu A = 0 thì x = -1, và x = -3 điều này không sẩy ra vì đây là hai bộ giá trị khác nhau của biến.
- Có thể dùng phương pháp đổi biến để giải bài tập dạng này.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 - 4xy + 5y2 +10x - 22y + 28
Giải: P = x2 - 4xy + 5y2 +10x - 22y + 28
 = (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 2y + 1) + 27 + 10x - 20y
 = (x - 2y)2 + (y - 1)2 + 27 +10(x- 2y)
Đặt: t = x - 2y P = (t2 + 10t + 25) + 2 + (y- 1)2
 = (t + 5)2 + 2 + (y- 1)2 P 2
Vậy min P = 2 
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
A = 1 - 4x - 5x2 , B = xy - x2- y2 + 4y + 5, C = x2 + y2 - 6x - 2y + 17
3.3.3. Cực trị của phân thức đại số:
3.3.3.1. Trường hợp 1: Xét trường hợp: A = cosnt
Khi đó phân thức chỉ còn mẫu thức B chứa biến nên việc tìm Max (hay Min) của phân thức đại số lúc này thực chất là việc đi tìm Max ( hay Min) của đa thức.
P = ; A = cosnt PMax BMin PMin BMax
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 
Giải: Miền xác định của P là : R
Ta có: B = 2x - x2 - 4 = - (x2 -2x +1) -3 = -( x - 1)2 -3 -3
 B đạt giá trị Max là -3 khi x = 1
Vậy: P = = - PMin = - x = 1
3.3.3.1. Trường hợp 2: A, B đều là hai đa thức chứa biến:
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (x 1)
Giải: Chia tử thức cho mẫu thức ta được
P = 3 - + ; Đặt: y = P = 3 - 2y + y2 = (y - 1)2 + 2 2
Vậy: Min P = 2 y = 1 = 1 x = 2
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
Giải: Ta có: P = = = 1 + 
Do (x +1)2 0 x và (x + 2)2 +1 1 x Nên: 0 x
Vậy: Min P = 1 x + 1 = 0 x = -1 
Nhận xét:
Trong trường hợp 1 việc tìm Max (hoặc Min ) là tương đối đơn giản vì nó tương ứng với việc đi tìm Min (hoặc Max) của mẫu thức. 
Trong trường hợp 2 việc tìm Max ( Min) là phức tạp hơn rất nhiều vì nó đòi hỏi cần phải có thêm một số thủ thuật biến đổi cụ thể là trong VD6 và VD7 ta đã chia tử cho mẫu để từ đó có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết (I) và (II).
Với phân thức đại số ngoài cách giải trên còn cách giải dùng miền giá trị của hàm số, cách giải này chúng ta sẽ xét ở phần sau.
3.3.4. Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Để giải các bài toán thuộc dạng này thường người ta dùng hai cách sau:
Cách 1: Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối để chia khoảng cho bài toán.
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất H = + 
Giải: Nếu x 1.
+ Nếu 2002 x 2003 thì H = x- 2002 + 2003 - x = 1.
+ Nếu x >2003 thì H = x - 2002 + x - 2003 = 2x - 2005 > 1.
Vậy: Min H = 1 2002 x 2003
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
 + ; Dấu "=" sẩy ra f(x).g(x) ³ 0.
 - ; Dấu "=" sẩy ra f(x).g(x) 0
Trở lại ví dụ 8 ta có: H = + 
= + = 1.
Min H = 1 (x - 2002)(2003 - x) 0 2002 x 2003.
Ngoài hai cách giải trên ta còn có thể dùng cách giải sau:
Giả sử: Max f(x) = A; Min f(x) = B với f(x) xác định trên khoảng (a,b)
+ Nếu f(x)0 thì: Với "x (a , b)
+ Nếu Maxf(x) 0 còn Minf(x) 0 trên (a , b )
Thì: Với "x (a , b)
+ Nếu f(x) 0 thì: Với "x (a , b)
Bài tập: Tìm Min (Max) (nếu có) của các biểu thức sau:
a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = 
d) f(x) = e) f(x) = 
3.3.5. Cực trị của hàm căn thức.
Để giải các bài tập về dạng toán này ta cần chú ý một số kiến thức cơ bản sau:
3.3.5.1. Cho hàm P(x,y) xác định trên miền D khi đó: Min = (a = cosnt, a 0) P(x,y) a (x,y) D và (x0 ,y0) : P(x0 ,y0) = a
Max = (b = cosnt, b 0) 
P(x,y) b (x,y) D và (x0 ,y0) : P(x0 ,y0) = b
3.3.5.2. Nếu P(x,y) 0, muốn tìm Min (Max) của P(x,y), ta chỉ việc đi tìm Min (Max) của [p(x,y)]2 
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 
Hướng dẫn: + Tập xác định: R
A = = 
Lúc này A có dạng (IV) do đó rễ dàng tìm được Min A = x2
Ví dụ 10: Tìm Min của P = -
Hướng dẫn: + Tập xác định: x 0
Ta nhận thấy có dạng (III) loại 1 và từ điều kiện x 0 1 P -1 Min P = -1 x = 0
Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của M =
Giải: Tập xác định : -1 < x < 1
Ta có: M2 = ()2 = = = (vì -1 0 ). Vậy: Min M = 4 x = 
Nhận xét:
Với dạng toán cực trị này ta có thể hoàn toàn đưa về được các dạng đã biết bằng một số phép biến đổi đơn giản.
Ngoài cách giải trên chúng ta còn cách giải bằng phương pháp dùng bất đẳng thức, cách giải này ta sẽ xét ở phần sau.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Trước khi chưa có sáng kiến, gần như học sinh không có hướng giải quyết. Khi có sáng kiến và dựa trên các phương pháp cơ bản nhất của các bài toán cực trị thì học sinh đã dần có định hướng để khai thác và phân loại được từng dạng, loại bài cụ thể và học sinh cũng đã biết vận dụng được bài toán cực trị đại số vào các bài toán cực trị hình học...
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
1. Kết luận: 
Trên đây là một số dạng toán cực trị thường gặp trong các đề thi vào lớp 10, vào các trường chuyên, thi học sinh giỏi. Trong sáng kiến này, tôi đã cố gắng phân loại các dạng toán một cách cụ thể trong mỗi phần, mỗi dạng, tôi đã nêu lên những lời giải cơ bản, những kiến thức cần thiết. Tôi hy vọng rằng, tài liệu này tôi sẽ góp phần nhỏ giúp học sinh học tốt hơn. 
Ngoài việc dựa vào sáng kiến là các phương pháp cơ bản nhất cho việc nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về các bài toán cực trị, tôi mong rằng các thầy cô giáo và các em học sinh cần đọc thêm các bài toàn cực trị trong các đề thi vào