Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học Lớp 8 - Bài: Biến đổi đồng nhất ứng dụng các hằng đẳng thức

PGD&ĐT TX CHÍ LINH
TRƯỜNG THCS TÂN DÂN
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT ỨNG DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
 Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi luôn được nhà trường chú trọng. Môn Toán là bộ môn quan trọng đối với học sinh và việc bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn này hàng năm là nhiệm vụ quan trọng của giáo viên dạy Toán. Để có được các em học sinh tham gia học đội tuyển và có kết quả tốt thì giáo viên luôn phải trau dồi tìm kiếm thêm kiến thức, phân dạng bài tập, hướng dẫn phương pháp giải,cho các em. Trong quá trình BD tôi nhận thấy chuyên đề “BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT ỨNG DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC” rất cần thiết cho các em. Để học tốt chuyên đề này ta cần cung cấp cho các em các kiến thức sau:
A. Lý thuyết:
1. Bình phương của một tổng: =
2. Bình phương của một hiệu: = 
3. Hiệu của hai bình phương: 
4. Lập phương của tổng: 
5. Lập phương của hiệu: 
6. Tổng hai lập phương: 
7. Hiệu hai lập phương: 
* Một số hằng đẳng thức tổng quát 
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b +  + abn-2 + bn-1)
a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b +  + a2k-3b2 –b2k-1)
a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 -  + b2k)
(a + b)n = an + nan-1b + an-2b2++a2bn-2 +nabn-1 + bn
(a -b)n = an - nan-1b + an-2b2- -a2bn-2 +nabn-1 - bn
Có các dạng toán sau:
	Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
 	Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
 Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
B. Sưu tầm bài tập:
I/. Các bài toán chứng minh rằng:
Cho ab = 1. Chứng minh rằng a5 + b5 = (a3 + b3)(a2 + b2) – (a + b)
Cho a + b + c = 1 và . Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 = 1
Cho ; x2 + y2 =1. Chứng minh rằng:
a. bx2 = ay2	b. 
Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 số thỏa mãn: a + b + c = 2000 và thì một trong 3 số a, b, c phải có một số bằng 2000.
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2
Chứng minh rằng, nếu x + y + z = 0 thì 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 +z2)
Cho a, b, c là ba số khác nhau. Chứng minh rằng:
Chứng minh rằng, nếu xyz = 1 thì : 
Cho ba số x, y, z thỏa mãn: by + cz = a, ax + cz = b, ax + by = c; trong đó a, b, c là các số dương cho trước. Chứng minh rằng: không phụ thuộc vào a, b, c.
10) Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: . Chứng minh rằng c = d
II/. Các bài toán phân tích thành nhân tử:
Phân tích thành nhân tử
P = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)
a3 + 4a2 – 29a + 24
x3 + 6x2 + 11x + 6
(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
III/. Các bài toán tính giá trị biểu thức:
1) Cho a > b > 0 thỏa mãn 2a2 + 2b2 = 5ab. Tính 
2) Cho . Tính giá trị biểu thức 
3) Cho 3 số x, y, z thảo mãn: x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = a2. Tính x4 + y4 + z4 theo a.
4) Cho và . Tính giá trị biểu thức 
5) Cho 3 số x, y, z thỏa mãn đồng thời: Tính giá trị 
MỘT SỐ BÀI TẬP – ĐỀ THI THAM KHẢO THÊM
Chứng minh rằng tam giác có độ dài 3 cạnh a,b,c là tam giác đều nếu có một trong các điều kiện sau:
a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
(a + b – 2c)2 + (b + c – 2a)2 + (c + a -2b)2 = (a - b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
(a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
(HD: Chứng minh a = b = c)
Cho x1, x2, x3 là ba số thực thỏa x1x2x3 = 1
Tính: S = 
 Cho x, y, z là 3 số thỏa: x + y + z = a, x2 + y2 + z2 = b, xyz = c
Tính x3 + y3 + x3 theo a, b, c 
Cho a, b, c là ba số dương và x, y, z là ba số thực không đồng thời bằng 0 sao cho: 
ax + by + cz = 0. Chứng minh rằng biểu thức:
P = 
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
 Tính a + b + c +abc 	 
Cho x, y, z là ba số thực thỏa: 
Cho x = 1, hãy tính y, z
Chứng minh rằng x, y, z đôi một khác nhau thì x2y2z2 = 1 
Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c = 0 và abc thì:
Nếu và thì:
Cho x là nghiệm của phương trình x2 + 3x +1 = 0
Cho x1, x2, x3 là ba số thực khác 0 thỏa:
x1 + x2 + x3 = a, x1x2 + x2x3 + x3x1 = 0, x1x2x3 = b
Chứng minh rằng: 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
	Nhóm GV Toán – Trường THCS Tân Dân