Chuyên đề: Bất phương trình vô tỷ

Chuyên đề: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Định nghĩa:
Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức.
Các phương pháp giải:
Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ cũng tương tự như phương trình vô tỷ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cũng có điểm khác biệt.
Giải bất phương trình vô tỷ là một trong những bài toán không có công thức giải tổng quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán.
Việc phân ra thành các phương pháp giải riêng biệt chỉ mang tính chất tương đối, tùy quan điểm từng người làm toán.
Mỗi bất phương trình có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau nên người làm toán cần cân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu quả. Mặt khác, có những bất phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải.
I. Phương pháp biến đổi tương đương:
Nâng lên lũy thừa, đưa về bất phương trình hoặc hệ bất phương trình đại số hữu tỉ.
Dạng 1. < g(x) (*) (Chỉ xét n chẵn)
(*) 
Dạng 3. 
Dạng 2. g(x) (*) (n chẵn)
(*) 
Dạng 4. 
Dạng 5. 
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau
Hướng dẫn
Vậy tập nghiệm là 
Vậy tập nghiệm là 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: > x – 5 
Giải.
Bất phương trình 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: < 3 
Giải.
Nếu x > 0: bpt > – 3x + 1
Nếu x < 0: bpt < 1 – 3x
Ví dụ 3. Giải và biện luận bất phương trình: m(x – 2) (*)
Giải.
Xét các trường hợp của tham số m:
+) Với m = 0:
Khi đó (*) 0 – 4 0 x (; – 2] [2; )
+) Với m > 0:
Khi đó (*) 
sau đó xét tiếp 0 1
+) Với m 0
Kết luận nghiệm theo các trường hợp của m.
Chú ý. Trong trường hợp bất phương trình cần giải chứa nhiều dấu căn ta cần biến đổi đưa về dạng (I) hoặc (II).
Ví dụ 4. Giải bất phương trình: + < (*)
Giải.
Điều kiện: x 2
Với điều kiện đó (*) 
 x + 1 + x – 2 + 2 < x + 3
 < (– x + 4)
Nhận xét. Phương pháp này ngắn gọn nhưng trong nhiều trường hợp phép nâng lũy thừa sẽ dẫn đến những bất phương trình đại số bậc cao không giải được. Khi đó ta phải áp dụng phương pháp khác.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
1. x
2. < x – m
3. – > 
Bài 2. Giải các bất phương trình:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
II. Phương pháp đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa):
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: + 2 3x + 4 (*)
Giải.
Ta có (*) – 3x + 11 + 2 – 15 0
Đặt t = .
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: x + < x (1) trong đoạn [0; 1]
Giải.
Trong đoạn [0; 1], cả hai vế không âm nên:
Ta có: (1) 1 + 2x < (1 – ) (2)
Đặt t = x, 0 t 
Khi đó (2) trở thành: – 2t – 1 > 0 
So sánh với điều kiện 0 t ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình: ( + 1) + ( + 1) + 3x > 0 (1)
Giải.
TXĐ: x – 1
- Nếu x 0: VT 2 > 0 bất phương trình nghiệm đúng x 0
- Nếu – 1 x 0
Đặt t = , ta được: – 3t + 2 > 0 
Nhận xét x [– 1; 0) t < 1
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là – 1 x
Ví dụ 4. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: + 2
Giải.
- Nếu a < 0: bất phương trình vô nghiệm
- Nếu a = 0: bất phương trình có nghiệm x = 0
- Nếu a > 0: Điều kiện 0 1
Đặt = cosy, . Ta được:
 + – 2 2a + 2asiny 4 siny (*)
Để (*) có nghiệm ta phải có 4 – 2a 0 0 < a 2
Kết luận: điều kiện của a là 0 a 2
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải các bất phương trình:
Bài 2. Tìm a để bất phương trình sau đúng với x [– 2; 4]:
– 4 – 2x + a – 18
III. Phương pháp đánh giá (dùng đạo hàm, bất đẳng thức):
Nhận xét.
Xét hàm số f(x), x D.
Đặt M = , m = . Khi đó :
f(x) có nghiệm x D M
f(x) đúng với x D m
f(x) có nghiệm x D m
f(x) đúng với x D M
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 
Giải.
Xét f(x) = + – 9, x 
Khi đó: f ’(x) = + > 0, x > 
Mà f(11) = 0, < 0
 f(x) < 0 x < 11
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 11.
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
Hướng dẫn
ĐK: 
Khi đó: 
Vậy tập nghiệm của bpt là: 
ĐK: 
Ta có: 
Khi đó bpt tương đương với: 
Mặt khác, theo bdt Bunhiacopski ta có
Dấu bằng xảy ra khi: 
Ví dụ 2. Tim m để bất phương trình (*) có nghiệm.
Giải.
Đk: – 3 x 6
Đặt , u [3; 3]
Khi đó (*) trở thành: + u + m
Xét f(u) = + u + , u [3; 3]
Mà = f(3) = 
Vậy để bất phương trình đã cho có nghiệm ta phải có m .
Chú ý. Ngoài ra ta có thể dùng bất đẳng thức để đánh giá.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình: + 2 (*)
Giải.
Đk: 
Nếu x < 1: (*) đúng.
Nếu x = 1: (*) đúng.
Nếu x = 4: (*) đúng.
Nếu x > 4: (*) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của (*) là x (; 1] {4}.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 
Giải.
Đk: x 1
Ta có: x 1 (Theo Bunhia)
Do đó: 
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
Bài tập áp dụng:
1. Giải bất phương trình: + < 4x – 9 + 2
2. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
	a. mx – m + 1
	b. x – m > m + 1
3. Tìm a để bất phương trình – m vô nghiệm.
IV. Phương pháp đồ thị:
Giả sử phải tìm x thỏa mãn: f(x) < g(x) ta làm như sau:
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) trên cùng một hệ trục tọa độ
+ Tìm phần đồ thị y = f(x) nằm dưới đồ thị y = g(x), chiếu lên trục Ox ta được tập nghiệm.
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: – > m
Giải.
Đặt u = 0, v = 0
Ta được: 
Nhìn trên đồ thị ta thấy điều kiện của m là m < .
Ví dụ 2. Cho bất phương trình: – 6x + m + 2
Tìm m để tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn với độ dài l thỏa mãn: 2 l 4.
Giải.
Xét đồ thị hàm số y = , y 0. Ta có:
Khi đó đồ thị là nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành với tâm tại (3; 0), bán kính bằng 3. Còn đồ thị hàm y = – 6x + m + 2 là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 3
Độ dài đoạn nghiệm l = 2 parabol đi qua điểm (2; 2) 
 2 = 4 – 12 + m + 2 m = 2 + 6
Độ dài đoạn nghiệm l = 4 parabol đi qua điểm (1; )
 = 1 – 6 + m + 2 m = 3 + 
Vậy điều kiện của m là 3 + m 6 + 2
Bài tập áp dụng:
1. Cho bất phương trình – 2x + 5
	a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.
	b. Tìm m để tập nghiệm là một đoạn với độ dài là 2.
V. Phương pháp điều kiện cần và đủ:
Phương pháp này thường áp dụng để tìm điều kiện của tham số sao cho tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn một tính chất T nào đấy. Gồm 2 bước:
Bước 1: Nếu tập nghiệm thỏa mãn tính chất T thì tham số phải thuộc tập nào đó (đk cần).
Bước 2: Loại những giá trị của tham số trong làm cho nghiệm của bất phương trình không thỏa mãn tính chất T (đk đủ).
Ví dụ 1. 
Tìm m để bất phương trình – 2x + m (*) nghiệm đúng x [– 4; 6].
Giải.
+) ĐK cần: (*) nghiệm đúng x [– 4; 6] (*) nghiệm đúng với x = 1 m 6.
+) ĐK đủ: m 6 ta có 
VT 5, x [– 4; 6]
VP 5, x [– 4; 6]
Vậy điều kiện cần và đủ của m là m 6
Bài tập áp dụng:
Tìm a để bất phương trình x + > 1 nghiệm đúng 
VI. Luyện tập:
Bài 1. Giải bất phương trình: > 2 + 
Giải.
Đk: – 2 x 4
Xét f(x) = – – 2
Khi đó: f ’(x) 0, x (– 2; 4)
Mà f(1) = 0 f(x) > 0 4 x > 1
Bài 2. Giải bất phương trình: < 2x + 9
Giải.
Đk: (1)
Với điều kiện trên ta có: = = 2x + 2 + 
Vậy bất phương trình đã cho có thể viết thành < hay x < 
Kết hợp với (1) ta được tập nghiệm là: 
Bài tập áp dụng:
Giải các bất phương trình 
a. – 2 > 
b. x + > 
c. + – + 4x – 6 = 0. (ĐH GTVT CSII 2000)
Bài toán chứa tham số
Một số chú ý
Bài 1. Giải và biện luận bất phương trình: 
Hướng dẫn: Đặt , ta có 
TH 1. Nếu 
Do đó nghiệm của bpt là: 
TH 2. Nếu . Khi đó 
Xét hai khả năng
Nếu . Lập bảng xét dấu của f(x) ta được 
Nếu . Lập bảng xét dấu của f(x) ta được 
Kết luận
Với 
Với 
Với 
Bài 2. Cho bất phương trình 
Xác định m để:
Bất phương trình vô nghiệm
Bất phương trình có đúng một nghiệm
Hướng dẫn
Để bpt vô nghiệm khi và chỉ khi 
Để bpt có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi 
Bài 3. Tìm m để các bpt sau vô nghiệm
 	 (1)
	(2)
Hướng dẫn
Bpt (1) vô nghiệm khi với mọi x
Xét 
Xét