Chuyên đề 4: Đường tròn

 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0 
 ⇔ x + 2y – 8 = 0 
c) Đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0 có tâm I(–1, 2) và bán kính R = 21 2 0+ − = 
5 .Hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là 1= ± = − ±x a R 5 . Hai tiếp tuyến 
này không qua M(4, 7) 
Vậy phương trình tiếp tuyến qua M(4, 7) có dạng: 
( )Δ : y – 7 = k(x – 4) 
⇔ kx – y + 7 – 4k = 0 
( )Δ tiếp xúc với đường tròn (C) ⇔ Δd( I , ) = R 
 2
⇔ 
2
2 7 4
1
k k
k
− − + −
+ = 5 ⇔ 5 5k− = 5 . 
2 1k + 
⇔ 4k2 – 10k + 4 = 0 ⇔ k = 2 hay k = 1
2
Vậy có 2 tiếp tuyến với đường tròn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình là : 
k = 2 2x – y – 1 = 0 ⇒
k = 1
2
 ⇒ 1
2
x – y + 5 = 0. 
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2003) 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,n 090BAC = . 
Biết M(1,–1) là trung điểm cạnh BC và G( 2
3
; 0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các 
đỉnh A , B, C. 
G là trọng tâm ΔABC ⇔ =JJJG JJJJGAG 2GM
 ⇔ 
⎧ − = − =⎪⎨⎪− = − − = −⎩
A
A
2 2 2
3
=x 2(1 )
3 3
y 2( 1 0) 2
 ⇔ ⎧⎨ =⎩
A
A
x 0
2
 ⇔ A (0, 2) 
y
PT: BC qua M (1, −1) ⊥ = (1, −3): x – 3y – 4 = 0 JJJJGAM
PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM= + =1 9 10 
 (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10 
Tọa độ B, C thỏa : 
− − =⎧⎨ − + + =⎩ 2 2
x 3y 4 0
(x 1) (y 1) 10
⇔ ⇔ = +⎧⎨ + + + = ⇔ + =⎩ 2 2 2
x 3y 4
(3y 3) (y 1) 10 (y 1) 1
=⎧⎨ =⎩
x 4
y 0
 ∨ = −⎧⎨ = −⎩
x 2
y 2
Vậy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0) 
Ví dụ (ĐH KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường 
tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn 
(C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm (C) và (C’) 
Giải 
(C1) có tâm I (1, 2), R = 2. 
 Gọi I’ là đối xứng I qua (d) 
 Gọi (Δ) là đường thẳng qua I và (Δ) ⊥ (d) 
 (Δ) : x + y – 3 = 0. (Δ) ∩ (d) = H(2, 1) 
 H là trung điểm của II’ 
 Giả sử I’ (x, y) thì ⇒ 
+⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩
x 12
2
y 21
2
 ⇒ =⎧⎨ =⎩
x 3
y 0
 ⇒ I’ (3, 0); R’ = R = 2. (C’) : (x – 3)2 + y2 = 4 
 3
 Giải hệ 
⎧
 ⇔ − + − =⎪⎨ − + =⎪⎩
2 2
2 2
(x 1) (y 2) 4
(x 3) y 4
⎧ − + =⎨ − − =⎩
2 2(x 3) y 4
x y 1 0
 ⇔ ⇔ ∨ = +⎧⎨ − =⎩ 2
x y 1
2y 4y 0
=⎧⎨ =⎩
x 1
y 0
=⎧⎨ =⎩
x 3
y 2
Vậy giao điểm của (C) và (C’) là A (1, 0) và B (3, 2). 
Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 
 d1 : x – y = 0 và d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A 
thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. 
Giải 
 A ∈ d1 ⇔ A (m; m). C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n) 
 Vì B, D ∈ Ox và ABCD là hình vuông nên : 
 A và C đối xứng nhau qua Ox ⇔ m n
m 2n 1
=⎧⎨ = −⎩
 ⇔ m 1
n 1
=⎧⎨ =⎩
 Suy ra A(1; 1), C(1; -1). Gọi (C) là đường tròn đường kính AC 
 ⇒ Phương trình (C) : (x–1)2 +y2=1. B và D là giao điểm (C) và Ox nên tọa độ của B, D 
là nghiệm của hệ : 
2 2(x 1) y 1
y 0
⎧⎪ − + =⎨ =⎪⎩
 ⇔ . Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0) = ∨ =⎧⎨ =⎩
x 0 x 2
y 0
 Vậy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0) 
 hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0). 
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4). 
Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm 
của (C) đến điểm B bằng 5. 
Giải 
 Gọi I (x; y) là tâm của (C). Ta có : (C) tiếp xúc Ox tại A ⇒ IA i⊥JJG JG = (1; 0) ⇔ x – 2 = 0 
 ⇔ x = 2 
 IB = 5 ⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25 
 ⇔ (2 – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (y – 4)2 = 9 
 ⇔ y – 4 = ±3 ⇔ y = 7 hay y = 1 
 Trường hợp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = 7 
 Suy ra pt (C) : (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49 
 Trường hợp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1 
 ⇒ pt (C) : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1. 
 Ví dụ 
(ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A -2002) 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn: 
(C1) : x2 + y2 – 10x = 0; (C2) : x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0 
 4
 1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên 
đường thẳng x + 6y – 6 = 0. 
 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2). 
Giải 
 1) Phương trình chùm đường tròn qua các giao điểm của (C1), (C2) là : 
 m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 + 4x – 2y – 20) = 0 với m2 + n2 > 0 
 ⇔ (m + n)x2 + (m + n)y2 + (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0 
 ⇔ x2 + y2 + 4n 10m 2n 20nx y
m n m n m n
−⎛ ⎞ − −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ 0= 
 Có tâm I 5m 2n n;
m n m n
−⎛ ⎞⎜ ⎟ + +⎝ ⎠
 Vì tâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒ 5m 2n 6n 6m 6n 0
m n
− + − − =+ 
 ⇒ m = −2n . Cho n = 1 ⇒ m = −2 
 Vậy phương trình đường tròn là :x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 0. 
 2) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C1), (C2). 
 (C1) có tâm I1(5; 0), bán kính R1 = 5 ⇒ I1I2 < R1 + R2
 (C2) có tâm I2(−2; 1), bán kính R2 = 5 
 Vì (C1), (C2) cắt nhau tại 2 điểm nên có 2 tiếp tuyến chung. 
 Vì x = xo không thể là tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng : 
 y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 
 Δ tiếp xúc với (C1) ⇔ d(I1, Δ) = R1 ⇔ 
2
5a b 5
a 1
⏐ + ⏐ =
+
 ⇔⏐5a + b⏐ = 25 a 1+ (1) 
 Δ tiếp xúc với (C2) ⇔ d(I2, Δ) = R2 ⇔ 
2
2a 1 b
a 1
⏐− − + ⏐
+
 = 5 
 ⇔ ⏐−2a – 1 + b⏐ = 25 a (2) 1+
 (1) và (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – 1 + b⏐ 
 ⇔ ⇔ 5a b 2a 1 b
5a b 2a 1 b
+ = − − +⎡⎢ + = + + −⎣
1a
7
3a 1b
2
⎡ = −⎢⎢ − +⎢ =⎢⎣
 Thế a = 1
7
− vào (1) ta có : b1 = 5 25 27
+ ; b2 = 5 25 27
− 
 Vậy ta có 2 tiếp tuyến là : x + 7y – 5 + 25 2 = 0 
 x + 7y – 5 − 25 2 = 0. 
 Cách khác: Vì R = R2 và 2 đường tròn cắt nhau nên 2 tiếp tuyến chung là 2 đường 
thẳng song song với Vậy phương trình 2 tiếp tuyến có dạng : 
1
1 2I I ( 7;1)= −
JJJJG
 x + 7y+m = 0 (Δ) 
 d(I1, Δ) = 5 ⇔ ⏐5 + m⏐ = +25 7 1⇔ m = – 5 ± 25 2 Vậy 
phương trình 2 tiếp tuyến là x + 7y – 5 ± 25 2 = 0. 
 5
 GHI CHÚ : 
 Bài đường tròn trong chương trình lớp 12 bao gồm các vấn đề chính là : Tìm phương 
trình đường tròn; các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữađường thẳng và đường tròn, 
giữa hai đường tròn; phương tích của một điểm đối với đường tròn; trục đẳng phương của hai 
đường tròn không đồng tâm. Ngoài ra còn có một số câu hỏi liên quan đến phương trình x2 + 
y2 + 2Ax + 2By +C = 0 (1). Chẳng hạn tìm điều kiện để (1) là phương trình đường tròn. Từ 
phương trình (1) tìm tâm và bán kính của đường tròn, tìm tham số để bán kính thoả một điều 
kiện nào đó . . . 
 Sau đây, chúng tôi chỉ đề cập đến cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác 
và vài ứng dụng trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm. Đây là vấn đế các em 
thường “ sợ” khi gặp phải. 
A/ Cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC : 
 Trước hết cần lưu ý : 
• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của hai đường phân giác trong . 
• Muốn tìm phương trình đường tròn ta tìm tâm I (a ; b) và bán kính R. Khi đó phương trình 
đường tròn có dạng (x – a)2 + (y – b)2 = R2 . 
 • Cho k là số thực khác 1, ta có : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−=
−
−=
⇔=
k1
kyyy
k1
kxxx
MBkMA
BA
M
BA
M
 (I) 
1/ Nếu đề bài cho biết tọa độ A, B, C thì : 
 • Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A của 
tam giác ABC. 
 Ta có : DC
AC
ABDB −= 
 Sử dụng công thức (I) với k = 
AC
AB− ta xác định được tọa độ điểm D. 
A 
B C D 
I 
 • Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì I chính là chân đường phân giác 
trong kẻ từ B của tam giác ABD. 
 Ta có : ID
BD
BAIA −= 
 Sử dụng công thức (I) với k = 
BD
BA− là xác định được tọa độ tâm I. 
 Còn bán kính đường tròn nội tiếp tam giác chính là khoảng cách từ tâm I đến một 
trong 3 cạnh của tam giác ABC. 
 Chú ý : Nếu một trong ba đỉnh của tam giác trùng với gốc tọa độ và hai đỉnh còn lại 
nằm trên hai trục tọa độ thì cách giải được thu gọn hơn vì biết trước được 1 đường phân giác 
trong kẻ từ gốc tọa độ. Đường phân giác còn lại được tìm thông qua tìm chân đường phân giác 
trong như đã trình bày ở trên. 
 6
2/ Nếu đề bài cho biết phương trình 3 cạnh của tam giác ABC thì từ phương trình 3 cạnh 
đó, ta tìm được tọa độ các điểm A, B, C bằng cách giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và 
sử dụng cách giải như phần 1. 
 Ngoài ra còn có thể giải bằng kiến thức miền tạo bởi 1 đường thẳng và khoảng cách 
đại số từ một điểm đến đường thẳng. 
B/ Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm : 
1/ Cho hai đường tròn không đồng tâm : 
 (C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (1) 
 (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 (2) 
 Trục đẳng phương của (C1) và (C2) là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 
(C1) và (C2) và có phương trình là : 
 2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 = 0 
2/ Ứng dụng : 
 Trong chương trình Hình học lớp 10 ta đã biết cách dựng trục đẳng phương của (C1) và 
(C2). 
 • Nếu (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm A và B thì trục đẳng phương của (C1) và (C2) là 
đường thẳng AB. 
 • Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau (Tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài) thì trục đẳng 
phương của (C1) và (C2) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) tại tiếp điểm. 
 • Nếu (C1) và (C2) không cắt nhau thì vẽ thêm đường tròn (C3) sao cho cắt được (C1), 
(C2) và có tâm không nằm trên đường nối tâm của (C1), (C2). Gọi M là giao điểm của hai trục 
đẳng phương của (C1) và (C3), (C2) và (C3). Khi đó trục đẳng phương của (C1) và (C2) là đường 
thẳng qua M và vuông góc với đường nối tâm của (C1) và (C2). 
Bài toán : Cho đường tròn (C) và M là điểm nằm ngoài (C). Từ M kẻ MA va