Chuyên đề 2: tính chất chia hết – ước và bội

 11b = 11(a + b) 11
Vậy 11.
	b) Ta có : = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) 9 
Chú ý : Nếu 
Ví dụ 2: Tìm n N để:
	a) n + 4 n	b) 3n + 7 n 
Giải:
 a) n + 4 n	, n n => 4 n => n Ư(4) = 
 	 b) 3n + 7 n; 3n n => 7 n => n Ư(7) = 
C/ BÀI TẬP:	
Cho 
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
 3) Cho số Chứng minh rằng số 
 Giải:
	Mà : 7.143 và 
 2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: .( 0 < a 9, 0 b 9, a,b N)
 Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: 
3)	
LUYỆN TẬP
1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì không chia hết cho 10.
3) Tìm n N để:
	a) 27 – 5n n	b) n + 6 n + 2	c) 2n + 3 n – 2 	d) 3n + 1 11 – 2n
4) Cmr nếu 
5) Cho 
6) Cho 10 k – 1 19 với k > 1 CMR: 102k – 1 19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:
	a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
	b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu 
Giải: 
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
 Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) 3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 3 
 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10
Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 10.
3) a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n Ư(27) = nhưng 5n < 27 nên n < 6 
 Vậy n 
 b) n + 6 n + 2 => n + 2 + 4 n + 2, mà n +2 n + 2 => 4 n + 2 => n + 2 => n 
 c) 2n + 3 n – 2 => 2(n – 2) + 7 n -2 => 7 n - 2 => n – 2 => n 
 d*) 3n + 1 11 – 2n (n 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n
	=> 11 – 2n nhưng vì n < 6 nên n 
Vậy : 
 6) Ta có: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1)
 Do 10k - 1 19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19
 Vây 102k – 1 19
7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )
Khi n chẵn => n = 2k (k N).
 Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.
Khi n lẽ => n = 2k + 1 (k N).
Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
 = 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2.
 b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2)
+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2.
+ Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (1)
 Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
	Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.	(2)
	Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.	(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.
8) Ta có 
	Mà: 	 
Suy ra: 
 Vậy: 
	CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT
A/ LÝ THUYẾT:
B/ Ví du:
Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5 và cho 27. biết rằng hai chữ số ở giữa của nó là 97.
Giải: Gọi n là số phải tìm. Vì n chia hết cho 5 và cho 27 nên n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 và chia hết cho 9, do đó ta có số n = .
 Khi: n = 9 => (* + 9 + 7 + 5) 9 => * = 6. Thử lại 6975 không chia hết cho 27.
 Khi: n = 9 => (* + 9 + 7 + 0) 9 => * = 2. Thử lại 2970 chia hết cho 27.
 Vây số 2970 là số phải tìm.
Ví dụ 2: Cho số tự nhiên bằng ba lần tích các chữ số của nó.
CMR: b chia hết cho a.
Giả sử b = ka (k N) CM: k là ước của 10.
Giải: a) Theo đề bài ta có: 	 = 3ab
	=> 10a + b = 3ab	(1)
	=> 10a + b a
	=> b a 
	b) Do b = ka nên k < 10. Thay b = ka vào (1), ta có:
	 10a + ka = 3a.ka
	=> a(10 + k) =	 3ak. a
	=> 10 + k = 3ak
	=> 10 + k k
	=> 10 k 	Vậy k là ước của 10.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n N thì số 92n – 1 chia hết cho cả 2 và 5.
Giải: Có: 92n – 1 = (92)n – 1 = 81n - 1 = ….1 - 1 = …0
 Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
C/ BÀI TẬP: 
1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
	a/ Số chia hết cho 5; cho 25; cho125.
	b/ Số chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giải: 1) a/ 5 ; 25 ; 125 
 b/ ; 
LUYỆN TẬP
1) Cho n N, chứng minh rằng:
 a/ 5n – 1 4 
 b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4.
 c/ 10n - 1 9
 d/ 10n + 8 9 
2) Chứng minh rằng:
	a/ 1028 + 8 72
	b/ 88 + 220 17 
3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5.
4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5.
	 b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5.
Giải:
1) a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4
	+ Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4 4.
	+ Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4
 Vậy với n N, 5n – 1 4 .
 b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n2 + n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4.
 c/ Ta có 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9 9
 n chữ số 0 n chữ số 9
 d/ Ta có: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 9
 n chữ số 0 n-1 chữ số 0
2) a/ Ta có: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08 9 (1)
 28 chữ số 0 27 chữ số 0
 Số 1028 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2) 
 Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72. 
 b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 17 
 vây 88 + 220 chia hết cho 17.
3) Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6. Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5. 
4) a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 5
 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0
 Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
Tiết 17: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ. 17.18.19.20
 PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
A/ LÝ THUYẾT: 
+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.
+ Để chứng tỏ số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n 
 n chữ số 0
+ Cách xác định số lượng ước của một số: Khi phân tích M ra thừa số nguyên tố, ta có
M = ax.by….cz thì các ước của M là (x + 1)(y + 1)…(z + 1). 
+ Nếu ab với P là số nguyên tố thì hoặc a hoặc b .
 Đặc biệt: Nếu an thì a 
B/ VÍ DỤ: 
Ví dụ 1: Cho A = 5 + 52 + 53 +……+5100
Số A là số nguyên tố hay hợp số?
Số A có phải là số chính phương không?
Giải: a) Có A > 5; A 5 ( Vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5) nên A là hợp số.
	b) Có 52 25, 53 25;…..;5100 25, nhưng 5 25 nên A 25 
	Số A 5 nhưng A 25 nên A không là số chính phương.
Ví dụ 2: Số 54 có bao nhiêu ước. 
Giải: Có: 54 = 2 .33. Số ước của 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = 8 ước.
 Tập hợp các ước của 54 là: Ư(54) = 
Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 , p + 4 cũng là số nguyên tố.
Giải: Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên.
Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là số nguyên tố.
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài. 
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số, trái với đề bài.
Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.
C/ BÀI TẬP:	
Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số đó?
Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không?
Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố.
p + 2 và p + 10.
P + 10 và p + 20.
 4) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p + 1chia hết cho 6.
 5) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + 8 là hợp số.
 6) Cho a, n N*, biết an 5. Chứng minh: a2 + 150 25.
Giải:
1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 là số chẳn nên một trong ba số nguyên tố đó phải có một số chẳn
 đó là số 2. số 2 là số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đã cho.
2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 là số lẽ nên một trong hai số nguyên tố đó phải là số 2 khi đó số thứ hai là: 2003 – 2 = 2001 chia hết cho 3 nên là hợp số.
 Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng bằng 2003. 
3) a/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên.
Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số nguyên tố.
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài. 
Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài.
Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.
 b/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 vơ