Chuyên đề 1: Hàm số lượng giác

Chuyên đề 1: hàm số lượng giác.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Hàm số y = sin x.
*/ Tập xác định: D = ;
*/ ta luôn có: ;
*/ Hàm số y = sin x là một hàm số lẻ trên và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ .
*/ Đồ thị:
2. Hàm số y = cos x.
*/ Tập xác định: D = ;
*/ ta luôn có: ;
*/ Hàm số y = cos x là một hàm số chẵn trên và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ .
*/ Đồ thị:
3. Hàm số y = tan x.
*/ Tập xác định: ;
*/ Hàm số y = tan x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ;
*/ Đồ thị:
4. Hàm số y = cot x.
*/ Tập xác định: ;
*/ Hàm số y = cot x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ;
*/ Đồ thị:
5. Chú ý.
Một số các giá trị đặc biệt của các hàm số lượng giác:
*/ ;
 */ ;
 */ ;
*/ ;
 */ ;
*/ ;
*/ ;
 */;
*/ ;
*/ ;
 */;
*/ ;
II. Kỹ năng cơ bản.
Tìm tập xác định; xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và vẽ được đồ thị của một hàm số lượng giác.
III. Một số ví dụ
Ví dụ tự luận.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
Giải.
1/ Do nên hàm số đã cho có tập xác định là .
2/ Hàm số xác định khi và chỉ khi . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
3/ Hàm số xác định khi và chỉ khi Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
4/ Hàm số xác định khi và chỉ khi . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số:
1/ 	;	2/ ;
3/ ;	4/ .
Giải.
1/ Hàm số xác định khi và chỉ khi . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
2/ Hàm số xác định khi và chỉ khi . Mà . Vậy hàm số đã cho có tập xác định là .
3/ Hàm số xác định khi và chỉ khi 
. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
4/ Hàm số xác định khi và chỉ khi Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
Lưu ý:
+/ Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để f(x) có nghĩa.
+/ Tìm tập xác định của hàm số lượng giác, ta cần lưu ý tập xác định của 4 hàm số lượng giác nói trên và một số giá trị đặc biệt của nó.
Ví dụ 3: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:
1/ y = x2sin 3x	2/ y = cosx + sin2x
3/ y = tanx.cos2x	4/ y = 2cosx – 3sinx.
Giải.
1/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = x2sin 3x	là .
 ta có:
*/ ;
*/ f(-x) = (-x)2sin(-3x) = - x2sin3x = - f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên .
2/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = cosx + sin2x là .
 ta có:
*/ ;
*/ f(-x) = cos(- x) + sin2(- x) = cosx + sin2x = f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên .
3/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = tanx.cos2x là .
 ta có:
*/ ;
*/ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên D.
4/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = 2cosx – 3sinx là .
Ta có , mặt khác nên .
Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ.
Lưu ý:
*/ Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x):
+/ Tìm tập xác định D của hàm số.
+/ Xét nếu thì hàm số là hàm số chẵn.
	Nếu thì hàm số là hàm số lẻ.
*/ Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng là trục Oy; Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng là gốc tọa độ O.
Ví dụ 4: 1/ Chứng minh rằng . Từ đó, vẽ đồ thị hàm số y = cos2x.
2/ Từ đồ thị hàm số y = cos2x, hãy vẽ đồ thị hàm số .
Giải.
 1/ Ta có Do đó hàm số
y = cos2x tuần hoàn với chu kỳ . Ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số y = cos2x trên một đoạn có độ dài bằng , rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài ta được đồ thị hàm số. Mặt khác, hàm số y = cos2x là hàm số chẵn, nên ta lại chỉ cần vẽ đồ thị hàm số đó trên đoạn sau đó lấy đối xứng qua trục tung, ta được đồ thị hàm số trên đoạn .
Đồ thị hàm số y = cos2x:
2/ Ta có . Vậy đồ thị hàm số (nét liền) được suy ra từ đồ thị hàm số y = cos2x bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ 5: Từ đồ thị hàm số y = tanx, hãy vẽ đồ thị hàm số 
1/ 	2/ y = tanx - 
Giải.
 1/ Ta có đồ thị hàm số (nét liền) được suy ra từ đồ thị hàm số y = tanx ( nét đứt) bằng cách tịnh tiến song song với trục Ox sang phải một đoạn bằng ( hình vẽ)
2/ Ta có đồ thị hàm số y = tanx - (nét liền) được suy ra từ đồ thị hàm số y = tanx (nét đứt)bằng cách tịnh tiến song song với trục tung xuống phía dưới đơn vị.
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
1/ 	2/ 
 Giải:
1/ Ta có . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, xảy ra khi 
Giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt được khi 
2/ Ta có 
Vậy, giá trị lớn nhất của y là , khi ; giá trị nhỏ nhất của y là -3, khi sin x = -1
Ví dụ trắc nghiệm khách quan.
1/ Tập xác định của hàm số là
A.
B. 
C. 
D.
.2/ Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Hàm số y = -2sinx là hàm số lẻ.
Hàm số y = -tanx – sinx là hàm số lẻ.
Hàm số y = sinx + x là hàm số lẻ.
Hàm số y = tanx + cosx là hàm số lẻ. 
3/ Hàm số là hàm số:
A. Chẵn
B. Lẻ
C. Không chẵn, không lẻ	
D. Vừa chẵn, 
vừa lẻ. 
.
4/ Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kỳ:
A. 
B. 
C. 
D.
5/ Giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số y = 2sinx + 3 là: 	
A. m =1, M= 5
B. m =-5 ,M =-1
C. m=-5, M=1
D. m=-1, M=5
6/ Cho hàm số . Chọn mệnh đề sai:
A. max y = 2 
B. min y = -2
C. TXĐ 
D. Hàm số là hàm chẵn
7/ Chọn mệnh đề đỳng trong cỏc mệnh đề sau:
Hàm số y = tanx và y = cosx cựng đồng biến trờn khoảng . 
Hàm số y = sinx và y = cotx cựng nghịch biến trờn khoảng .
Hàm số y = tanx đồng biến trờn và y = cotx nghịch biến trờn khoảng .
Hàm số y = sinx và y = cosx cựng đồng biến trờn khoảng .
8/ Cho , rỳt gọn , chọn kết quả đỳng:
A. 
B. 
C. 
D. 
Giải.
1/ Chọn phương án C, vì hàm số đã cho xác định khi 
2/ Chọn phương án D, vì các hàm số y = sinx, y= tanx, y = x đều là các hàm số lẻ, nên các hàm số ở trong các phương án A, B, C là các hàm số lẻ.Còn hàm số y = cosx là hàm số chẵn, nên hàm số trong phương án D không thể là hàm số lẻ, thực ra nó là hàm số không chẵn, không lẻ.
3/ Chọn phương án A, vì hàm số đã cho có TXĐ là và
4/ Chọn phương án C. Để ý rằng 
5/ Chọn phương án A, vì và
6/ Chọn phương án D. Hàm số đã cho thực chất là hàm không chẵn, không lẻ.
7/ Chọn phương án B. Dựa vào sự biến thiên của các hàm số lượng giác. 
8/ Chọn phương án C, vì và .
IV. Bài tập.
A.Bài tập tự luận.
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1/ ;	2/ ;
3/ ;	 	4/ .
Bài 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
1/ y = cos5x;	2/ y = tanx + 2sinx;
3/ ;	 4/ y = sinx + cosx.
Bài 3.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số:
1/ ;	2/ ;
3/ y = cos3x + sin3x;	4/ y = sinx + cos2x	
Bài 4. Chứng minh hàm số y = sin2x là một hàm tuần hoàn với chu kỳ .
Bài 5. Chứng minh hàm số là một hàm tuần hoàn, tìm chu kỳ, xét tính chẵn lẻ và vẽ đồ thị hàm số.
Bài 6. Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số và .
Bài 7. Chứng minh rằng:
a/ sinx < cosx với .
b/ sinx > cosx với .
B. Bài tập trắc nghiệm.
Bài 8. Chọn mệnh đề đúng:
Hàm số y = sin x và y = cot x có cùng tập xác định.
Hàm số y = sin x và y = cos x có cùng tập xác định.
Hàm số y =cos x và y = tan x cùng là hàm lẻ.
Hàm số y = sin x và y = cot x cùng là hàm chẵn.
 Bài 9. Tập xác định của hàm số là:
A. 	B. 
C. 	D. 
 Bài 10 . Trong khoảng các hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dương:
A. y = cos x
B. y = sin x
C. y = tan x
D. y = cot x
 Bài 11. Tìm khoảng mà trên đó các hàm số y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x cùng dấu:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 12. Tập giá trị của hàm số y = 2cos x – 3 là:
A. [-5; -1]
B. [-5; 1]
C. [-1;5]
D. [1; 5]
Bài 13. Tìm hàm số chẵn trong các hàm số sau:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 14. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O:
A. 
B. 
C. 
D. 
 Bài 15. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua trục Oy:
A. 
B. 
C. 
D. 
 Bài 16. Chọn câu sai:
Hàm số và y = sin x cùng có chu kỳ là 2;
Hàm số và y = sin x cùng có chu kỳ là 2;
Hàm số và y = sin x cùng có chu kỳ là 2;
Hàm số và y = tan x cùng có chu kỳ là ;
 Bài 17.
Chu kỳ của hàm số y = sin2x + 2cos2x là
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 18. GTLN (M) và GTNN (m) của hàm số là:
A. 
B. 
C. 
D.