Chương XI: Nhận dạng tam giác

( )(*) sin A 3 cosA sinB 3 cosB sinC 3 cosC 0⇔ − + − + − = 
sin A sin B sin C 0
3 3 3
A B A B2sin cos sin C 0
2 3 2 3
π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ π − π⎛ ⎞ ⎛⇔ − + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞ =⎟⎠
C A B C C2sin cos 2sin cos 0
2 2 3 2 2 6 2 6
C A B C2sin cos cos 0
2 6 2 2 6
⎡ π π⎤ − π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
π ⎡ − π ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
=
π − π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⇔ − = ∨ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
C A B Csin 0 cos cos cos
2 6 2 2 6 3 2
+ ⎞⎟⎠
A B 
π − π + − + π +⇔ = ∨ = − ∨ = −C A B A B A B A
2 6 2 3 2 2 3 2
B 
π π⇔ = ∨ = ∨ =C A B
3 3
π
3
Bài 208: Cho ABCΔ và V = cos2A + cos2B + cos2C – 1. Chứng minh: 
 a/ Nếu V = 0 thì ABCΔ có một góc vuông 
 b/ Nếu V < 0 thì ABCΔ có ba góc nhọn 
 c/ Nếu V > 0 thì ABCΔ có một góc tù 
Ta có: ( ) ( ) 21 1V 1 cos2A 1 cos2B cos 1
2 2
= + + + + − 
( )
( ) ( )
( )
( ) (
2
2
2
1V cos2A cos2B cos C
2
)
V cos A B .cos A B cos C
V cosC.cos A B cos C
V cosC cos A B cos A B
V 2cosCcosA cosB
⇔ = + +
⇔ = + − +
⇔ = − − +
⇔ = − − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
⇔ = −
Do đó: 
a / V 0 cosA 0 cosB 0 cosC 0= ⇔ = ∨ = ∨ = 
⇔ ABCΔ ⊥ tại A hay ABCΔ ⊥ tại B hay ABCΔ ⊥ tại C 
b / V 0 cosA.cosB.cosC 0 
 ⇔ ABCΔ có ba góc nhọn 
( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên 
không có trường hợp có 2 cos cùng âm ) 
c / V 0 cosA.cosB.cosC 0> ⇔ < 
 cosA 0 cosB 0 cosC 0⇔ < ∨ < ∨ <
 ⇔ ABCΔ có 1 góc tù. 
II. TAM GIÁC VUÔNG 
Bài 209: Cho ABCΔ có +=B a ccotg
2 b
 Chứng minh ABCΔ vuông 
Ta có: B a ccotg
2 b
+= 
+ +⇔ = =
Bcos 2R sin A 2R sinC sin A sinC2
B 2R sin B sin Bsin
2
+ −
⇔ =
B A C Acos 2sin .cos
2 2
B Bsin 2sin .cos
2 2
C
2
B
2
−⇔ = >2 B B A C Bcos cos . cos (do sin 0)
2 2 2 2
−⇔ = >B A C Bcos cos (do cos 0)
2 2 2
− −⇔ = ∨ =
⇔ = + ∨ = +
B A C B C A
2 2 2 2
A B C C A B
π π⇔ = ∨ =
⇔ Δ Δ
A C
2 2
 ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C
Bài 210: Chứng minh ABCΔ vuông tại A nếu 
 b c a
cosB cosC sinBsinC
+ = 
Ta có: b c a
cosB cosC sinBsinC
+ = 
⇔ + =
+⇔ =
2RsinB 2RsinC 2Rsin A
cosB cosC sinBsinC
sinBcosC sinCcosB sin A
cosB.cosC sinBsinC
( )+⇔ =
⇔ =
sin B C sin A
cosB.cosC sinBsinC
cosBcosC sinBsinC (do sin A 0)>
( )
⇔ −
⇔ + =
π⇔ + =
⇔ Δ
cosB.cosC sin B.sinC 0
cos B C 0
B C
2
ABC vuông tại A
=
Bài 211: Cho ABCΔ có: 
 A B C A B C 1cos cos cos sin sin sin (*)
2 2 2 2 2 2 2
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 
 Chứng minh ABCΔ vuông 
Ta có: 
⇔ = +
+ − + −⎡ ⎤ ⎡⇔ + = − −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦
A B C 1 A B C(*) cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2 2 2
1 A B A B C 1 1 A B A Bcos cos cos cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2
C
2
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ + = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −⇔ + = − + = − +2 2
C A B C C A B Csin cos cos 1 sin cos sin
2 2 2 2 2 2
C C A B C C C C A Bsin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2
C
2
− −⇔ + = +2C C A B C C A B Csin cos cos cos cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
C C C A B C Ccos sin cos cos sin cos
2 2 2 2 2 2
C C C A Bsin cos cos cos 0
2 2 2 2
−⇔ = ∨ =
− −⇔ = ∨ = ∨ =
π⇔ = ∨ = + ∨ = +
π π π⇔ = ∨ = ∨ =
C C C Asin cos cos cos
2 2 2 2
C C A B C Btg 1
2 2 2 2 2
C A B C B A C
2 4
C A B
2 2 2
B
A
Bài 212: Chứng minh ABCΔ vuông nếu: 
3(cosB 2sinC) 4(sinB 2cosC) 15+ + + = 
Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có: 
 2 23cosB 4sinB 9 16 cos B sin B 15+ ≤ + + = 
và 2 26sinC 8cosC 36 64 sin C cos C 10+ ≤ + + = 
nên: 3(cosB 2sinC) 4(sinB 2cosC) 15+ + + ≤
Dấu “=” xảy ra 
cosB sinB 4tgB
3 4
sinC cosC 4cotgC=
6 8
⎧ ⎧= =⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪=⎪ ⎪⎩ ⎩
3
3
⇔ =
π⇔ + =
tgB cotgC
B C
2
 ABC⇔ Δ vuông tại A. 
Bài 213: Cho ABCΔ có: sin2A sin2B 4sin A.sinB+ = 
 Chứng minh ABCΔ vuông. 
Ta có: + =sin2A sin2B 4sin A.sinB
[ ]
[ ]
⇔ + − = − + − −
⇔ + = − + −
2sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B)
cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B)
[ ]⇔ − = − −cosC 1 sinC cos(A B) 
⇔ − + = − −2cosC(1 sinC) (1 sin C).cos(A B) 
⇔ − + = −2cosC(1 sinC) cos C.cos(A B) 
⇔ = − + = −cosC 0 hay (1 sin C) cosC.cos(A B) (*) 
⇔ =cosC 0 
( Do nên sinC 0> (1 sinC) 1− + < −
Mà .Vậy (*) vô nghiệm.) cosC.cos(A B) 1− ≥ −
Do đó ABCΔ vuông tại C 
III. TAM GIÁC CÂN 
 Bài 214:Chứng minh nếu ABCΔ có CtgA tgB 2cotg
2
+ = 
 thì là tam giác cân. 
Ta có: CtgA tgB 2cotg
2
+ = 
C2cossin(A B) 2
CcosA.cosB sin
2
C2cossinC 2
CcosA.cosB sin
2
C C C2sin cos 2cos
2 2
CcosA cosB sin
2
+⇔ =
⇔ =
⇔ = 2
 ⇔ 2 C Csin cosA.cosB docos 0
2 2
⎛ ⎞= >⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( ) ( ) (
( )
( )
⇔ − = + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
⇔ − = − + −
⇔ − =
⇔ =
1 11 cosC cos A B cos A B
2 2
1 cosC cosC cos A B
cos A B 1
)
A B
 ABC⇔ Δ cân tại C. 
Bài 215: Chứng minh ABCΔ cân nếu: 
 3 3A B Bsin .cos sin .cos
2 2 2 2
= A 
Ta có: 3 3A B Bsin .cos sin .cos
2 2 2 2
= A 
2 2
A Bsin sin1 12 2
A A B Bcos cos cos cos
2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (do Acos
2
> 0 và Bcos
2
>0 ) 
2 2
3 3
2 2
A A B Btg 1 tg tg 1 tg
2 2 2 2
A B A Btg tg tg tg 0
2 2 2 2
A B A B A Btg tg 1 tg tg tg .tg 0 (*)
2 2 2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ − + − =
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⇔ − + + + =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
 ⇔ =A Btg tg
2 2
 ( vì 2 2A B A B1 tg tg tg tg 0
2 2 2 2
+ + + > ) 
 ⇔ =A B 
 ABC⇔ Δ cân tại C 
Bài 216: Chứng minh ABCΔ cân nếu: 
 ( )2 2 2 22 2cos A cos B 1 cotg A cotg B (*)sin A sin B 2+ = ++ 
Ta có: 
 (*) 
2 2
2 2 2 2
cos A cos B 1 1 1 2
sin A sin B 2 sin A sin B
+ ⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠− 
2 2
2 2 2 2
cos A cos B 1 1 11
sin A sin B 2 sin A sin B
+ ⎛ ⎞⇔ + = +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ 
⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠2 2 2 2
2 1 1 1
2sin A sin B sin A sin B
( )⇔ = + 22 2 2 24 sin A sin B sin A sin B 
( )2 20 sin A sin B
sin A sinB
⇔ = −
⇔ =
Vậy ABCΔ cân tại C 
Bài 217: Chứng minh ABCΔ cân nếu: 
 ( )Ca b tg atgA btgB (*)
2
+ = + 
Ta có: ( )Ca b tg atgA btgB
2
+ = + 
( )⇔ + = +Ca b cotg atgA btgB
2
⎡ ⎤ ⎡⇔ − + −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
C Ca tgA cotg b tgB cotg 0
2 2
⎤ =⎥⎦ 
+ +⎡ ⎤ ⎡⇔ − + −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤ =⎥⎦
A B Aa tgA tg b tgB tg 0
2 2
B 
− −
⇔ ++ + =
A B B Aa sin bsin
2 2 0A B A Bcos A.cos cosB.cos
2 2
−⇔ = − =A B a bsin 0 hay 0
2 cos A cosB
⇔ = =2R sin A 2R sin BA B hay
cos A cosB
⇔ = = ⇔ ΔA B hay tgA tgB ABC cân tại C 
IV. NHẬN DẠNG TAM GIÁC 
Bài 218: Cho ABCΔ thỏa: a cosB bcos A a sin A bsinB (*)− = − 
 Chứng minh ABCΔ vuông hay cân 
 Do định lý hàm sin: a 2Rsin A, b 2R sinB= = 
 Nên (*) ( )2 22R sin A cosB 2RsinBcos A 2R sin A sin B⇔ − = − 
( ) ( ) ( )
( ) [ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2sin A cosB sinBcosA sin A sin B
1 1sin A B 1 cos2A 1 cos2B
2 2
1sin A B cos2B cos2A
2
sin A B sin A B sin B A
sin A B 1 sin A B 0
sin A B 0 sin A B 1
A B A B
2
⇔ − = −
⇔ − = − − −
⇔ − = −
⇔ − = − + −⎡ ⎤⎣ ⎦
⇔ − − + =⎡ ⎤⎣ ⎦
⇔ − = ∨ + =
π⇔ = ∨ + =
 vậy ABCΔ vuông hay cân tại C 
Cách khác 
( )
− = −
⇔ − = + −
2 2sin A cosB sin Bcos A sin A sin B
sin A B (sin A sin B) ( sin A sin B)
( ) + − + −⇔ − = A B A B A B A Bsin A B ( 2sin cos ) (2 cos sin )
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
⇔ − = + −
⇔ − = ∨ + =
π⇔ = ∨ + =
sin A B sin A B sin A B
sin A B 0 sin A B 1
A B A B
2
Bài 219 ABCΔ là tam giác gì nếu 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a b sin A B a b sin A B (*+ − = − + ) 
Ta có: (*) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 24R sin A 4R sin B sin A B 4R sin A sin B sin A B⇔ + − = − + 
( ) ( ) ( ) ( )2 2sin A sin A B sin A B sin B sin A B sin A B 0⇔ − − + + − + +⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ =⎤⎦
=
( )2 22sin A cosA sin B 2sin Bsin A cosB 0⇔ − + 
sin A cosA sinBcosB 0⇔ − + = (do và si ) sin A 0> nB 0>
sin2A sin2B
2A 2B 2A 2B
A B A B
2
⇔ =
⇔ = ∨ = π −
π⇔ = ∨ + =
Vậy ABCΔ cân tại C hay ABCΔ vuông tại C. 
Bài 220: ABCΔ là tam giác gì nếu: 
2 2a sin2B b sin2A 4abcosA sinB (1)
sin2A sin2B 4sin A sinB (2)
⎧ + =⎨ + =⎩
Ta có: 
(1) 2 2 2 2 2 24R sin A sin 2B 4R sin Bsin 2A 16R sin A sin Bcos A⇔ + =
( )
2 2 2
2 2
sin A sin2B sin Bsin2A 4sin A sin BcosA
2sin A sinBcosB 2sin A cosA sin B 4sin A sin BcosA
sin A cosB sinBcosA 2sinBcosA (dosin A 0,sinB 0)
sin A cosB sinBcosA 0
sin A B 0
A B
⇔ + =
⇔ + =
⇔ + = >
⇔ − =
⇔ − =
⇔ =
2
>
Thay vào (2) ta được 
 2sin 2A 2sin A=
( )
22sin A cosA 2sin A
cosA sin A dosin A 0
tgA 1
A
4
⇔ =
⇔ = >
⇔ =
π⇔ =
Do đó ABCΔ vuông cân tại C 
V. TAM GIÁC ĐỀU 
Bài 221: Chứng minh ABCΔ đều nếu: 
 ( )bc 3 R 2 b c a (*)= + −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
Ta có:(*) ( ) ( ) ( )2RsinB 2RsinC 3 R 2 2Rsin B 2RsinC 2Rsin A⇔ = + −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
( ) ( )⇔ = + −2 3 sin Bsin C 2 sin B sin C sin B C+ 
( )⇔ = + − −2 3 sin BsinC 2 sin B sinC sin BcosC sinCcosB 
⎡ ⎤ ⎡⇔ − − + − −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
1 3 1 32sin B 1 cosC sin C 2sin C 1 cosB sin B 0
2 2 2 2
⎤ =⎥⎦
⎡ π ⎤ ⎡ π ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − − + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦sin B 1 cos C sin C 1 cos B 0 (1)3 3 
Do và sinB 0> 1 cos C 0
3
π⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ 
 sin và C 0> 1 cos B 0
3
π⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ 
Nên vế trái của (1) luôn 0≥
 Do đó, (1) 
cos C 1
3
cos B 1
3
⎧ π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
 C B
3
π⇔ = = ⇔ ABCΔ đều. 
Bài 222: Chứng minh ABCΔ đều nếu 3 3 3
2
3sinBsinC (1)
4
a b ca (
a b c
⎧ =⎪⎪⎨ − −⎪ =⎪ − −⎩ 2)
Ta có: (2) 3 2 2 3 3a a b a c a b c⇔ − − = − − 3
 ( )2 3a b c b c⇔ + = + 3 
 ( ) ( ) ( )2 2
2 2 2
a b c b c b bc c
a b bc c
⇔ + = + − +
⇔ = − +
2
c
 (do đl hàm cosin) 2 2 2 2b c 2bc cos A b c b⇔ + − = + −
⇔ =
π⇔ = ⇔ =
2bc cos A bc
1cos A A
2 3
Ta có: (1) 4sinBsinC 3⇔ =
( ) ( )⇔ − − +⎡ ⎤⎣ ⎦2 cos B C cos B C 3= 
( )⇔ − +⎡ ⎤⎣ ⎦2 cos B C cos A 3= 
( ) π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12cos B C 2 3 do (1) ta có A
2 3
( )⇔ − = ⇔ =cos B C 1 B C 
Vậy từ (1), (2) ta có ABCΔ đều 
Bài 223: Chứng minh ABCΔ đều nếu: 
 sin A sinB sinC sin2A sin2B sin2C+ + = + +
Ta có: ( ) ( )sin2A sin2B 2sin A B cos A B+ = + − 
 ( )2sinCcos A B 2sinC (1)= − ≤ 
Dấu “=” xảy ra khi: ( )cos A B 1− = 
Tương tự: sin2A sin2C 2sinB+ ≤ (2) 
Dấu “=” xảy ra khi: ( )cos A C 1− = 
Tương tự: sin2B sin2C 2sin A+ ≤ (3) 
Dấu “=” xảy ra khi: ( )cos