Chương VII: Phương trình lượng giác chứa căn và phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối

2x 4sin 3x
4
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π⎛ ⎞⎪ + = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ +
( )
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π⎡ ⎤⎪ + + = − +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
sin 3x 0
4
1 4 sin 2x 1 cos 4x 2 1 cos( 6x )
2
( ) (
sin 3x 0
4
1 4sin2x 2 sin6x sin2x 2 1 sin6x
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎪ ⎜ ⎟⇔ ⎝ ⎠⎨⎪ + + − = +⎩ )
⎧ π ⎧ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨ π π⎪ ⎪= = + π ∨ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩ 
sin 3x 0 sin 3x 0
4 4
1 5sin 2x x k x k , k
2 12 12
So lại với điều kiện sin 3x 0
4
π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Khi x k thì
12
π• = + π 
sin 3x sin 3k cosk
4 2
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π 
( ) ( )
( ) ( )
⎡= ⎢−⎢⎣
1 , nếu k chẵn nhận
1, nếu k lẻ loại
π• = + π5Khi x k thì
12
π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = + π = − + π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
3sin 3x sin 3k sin k
4 2 2
⎞⎟⎠ 
( )
( )
−⎡= ⎢⎢⎣
1,nếu k chẵn loại
1, nếu k lẻ nhận
Do đó ( ) ( )π π⇔ = + π ∨ = + + π ∈ 5* x m2 x 2m 1 ,m
12 12
Bài 141 : Giải phương trình ( )1 sin2x 1 sin2x 4cos x *
sin x
− + + = 
Lúc đó : ( )* 1 sin2x 1 sin2x 2sin2x⇔ − + + = 
( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 ) 
2 22 2 1 sin 2x 4sin 2x
sin2x 0
⎧⎪ + − =⇔ ⎨ ≥⎪⎩
2 21 sin 2x 2sin 2x 1
sin2x 0
⎧⎪ − =⇔ ⎨ ≥⎪⎩
− 
2 4 2
2
1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1
1sin 2x
2
sin2x 0
⎧ − = −⎪⎪⇔ ≥⎨⎪ ≥⎪⎩
+
( )2 2sin 2x 4sin 2x 3 0
1sin 2x
2
⎧ − =⎪⇔ ⎨ ≥⎪⎩
⎧ −= ∨ =⎪⎪⇔ ⎨⎪ ≥⎪⎩
3 3sin 2x sin 2x
2 2
2sin 2x
2
3sin2x
2
⇔ = 
π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ 22x k2 2x k2 , k
3 3
π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ x k x k , k
6 3
Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trị tuyệt đối 
( ) ≠⎧⎪⇔ ⎨ − + + =⎪⎩
⇔ − + + =
sin x 0
*
cos x sin x cos x sin x 2sin 2x
cos x sin x cos x sin x 2sin 2x
Bài 142 : Giải phương trình ( )+ + + =sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 * 
Đặt 
sin
3t sin x 3 cos x sin x cos x
cos
3
π
= + = + π 
1t sin x 2sin x
3 3cos
3
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
( ) + =* thành t t 2 
⇔ = −
− ≥ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨= − + − + =⎩ ⎩
≤⎧⇔ ⇔ =⎨ = ∨ =⎩
2 2
t 2 t
2 t 0 t 2
t 4 4t t t 5t 4 0
t 2
t 1
t 1 t 4
Do đó ( ) *
π π π π π⎛ ⎞⇔ + = ⇔ + = + π + = + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ 
1 5sin x x k2 hay x k2 , k
3 2 3 6 3 6
π π⇔ = − + π ∨ = + π ∈ x k2 x k2 , k
6 2
Bài 143 : Giải phương trình 
( ) ( ) ( )+ + = +3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3cos x * 
Chia hai vế của (*) cho cos x 0≠ ta được 
( ) ( ) ( )* 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔ + + = + 
Đặt u tgx 1 với u= + ≥ 0
x
Thì 2u 1 tg− =
(*) thành ( ) ( )2 23u u 1 5 u 2+ = + 
3 23u 5u 3u 10 0⇔ − + − = 
( ) ( )2u 2 3u u 5 0⇔ − + + = 
( )2u 2 3u u 5 0 vô nghiệm⇔ = ∨ + + = 
Do đó ( ) ⇔* tgx 1 2+ = 
tgx 1 4⇔ + = 
tgx 3 tg với
2 2
π π⎛ ⎞⇔ = = α − < α <⎜ ⎟⎝ ⎠ ,x k kα π⇔ = + ∈ 
Bài 144 : Giải phương trình ( ) ( )11 cos x cos x cos2x sin4x *2− + = 
 ( ) ( )* 1 cos x cos x cos2x sin 2x cos2x⇔ − + = 
≥⎧⇔ − +⎨ =⎩
cos x 0
hay 1 cos x cos x sin 2x
cos 2x 0
= 
⎧ ≥≥⎧ ⎪⎪⇔ ≥⎨ ⎨π= + π ∈⎪ ⎪⎩ + − =⎩

2
cos x 0cos x 0
hay sin 2x 0
2x k , k
2 1 2 (1 cos x)cosx sin 2x
⎧ ≥≥⎧ ⎪⎪⇔ ≥⎨ ⎨π π= + ∈⎪ ⎪⎩ + − = ≥ ≥⎩

2
cos x 0cos x 0
hay sin 2x 0
x k , k
4 2 1 2 (1 cos x)cosx sin 2x ( VT 1 VP )
≥⎧≥ ⎪⎧ ≥⎪ ⎪⇔ ⎨ ⎨π π= ± + π = ± + π ∈ =⎪ ⎪⎩ ⎪ − =⎩
 2
cos x 0
cos x 0 sin 2x 0
hay5x h hay x h , h sin 2x 1
4 4
(1 cos x ) cos x 0
π⇔ = ± + π ∈
= =⎧ ⎧⎨ ⎨= ⇒ = = ⇒ = ⇒ =⎩ ⎩
x h , h
4
sin 2x 1 sin 2x 1
hay hay
cos x 0 ( sin 2x 0 ) cos x 1 ( sin x 0 sin 2x 0 )
π⇔ = ± + π ∈ x h , h
4
Bài 145 : Giải phương trình ( ) ( ) ( )3 3sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *+ + + = 
( ) 3 3sin x cos x cos x sin x* sin x cos x 2 sin x cos
sin x cos x
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 
 ( ) ( )2 2sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x⇔ + + = 
sin x cos x 0
1 sin2x 2sin2x
+ ≥⎧⇔ ⎨ + =⎩
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪+ ≥⎧ ⎪ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨= π⎩ ⎪ = + π ∈⎪⎩ 
sin x 0sin x cos x 0 4
sin 2x 1
x k , k
4
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π⎪ + = + π ∈⎪⎩ 
sin x 0
4
x k , k
4 2
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π π π⎪ + = + π + = + π ∈⎪⎩ 
sin x 0
4
3x h2 hay x h2 , h
4 2 4 2
π⇔ = + π ∈ x h2 , h
4
Bài 146 : Giải phương trình ( )cos2x 1 sin2x 2 sin x cos x *+ + = + 
Điều kiện cos2x 0và sin x 0
4
π⎛ ⎞≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ 
Lúc đó : ( ) ( )22 2* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔ − + + = + 
( ) ( )2 22 2cos x sin x cos x sin x 2 cos2x cos x sin x⇔ − + + + + 
 ( )4 sin x cos x= +
( ) ( ) ( )cos x cos x sin x sin x cos x cos2x 2 sin x cos x⇔ + + + = + 
sin x cos x 0
cos x cos2x 2
+ =⎡⇔ ⎢ + =⎣
( )
tgx 1
cos2x 2 cos x * *
= −⎡⇔ ⎢ = −⎢⎣
2
tgx 1
cos2x 4 4cos x cos x
= −⎡⇔ ⎢ = − +⎣
2tgx 1 cos x 4cosx 5 0⇔ = − ∨ + − = 
( )tgx 1 cos x 1 cos x 5 loại⇔ = − ∨ = ∨ = − 
π⇔ = − + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k
4
Thử lại : ( )π π⎛ ⎞• = − + π = − =⎜ ⎟⎝ ⎠x k thì cos2x cos 0 nhận4 2 
Và ( )sin x sin k 0 nhận
4
π⎛ ⎞+ = π =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( )• = π =x k2 thì cos 2x 1 nhận 
và ( )cos x cos 0 nhận
4 4
π π⎛ ⎞+ = >⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Do đó (*) π⇔ = − + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k
4
Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trình lượng giác không mực 
( ) cos x cos2x 2* *
sin x cos x 0
⎧ + =⎪⇔ ⎨ + ≥⎪⎩
2
cos x 1
cos2x 2cos x 1 1
sin x cos x 0
=⎧⎪⇔ = −⎨⎪ + ≥⎩
=
π ∈
=⎧⇔ ⇔ =⎨ + ≥⎩ 
cos x 1
x 2k , k
sin x cos x 0
Cách khác 
( ) ( )22 2* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔ − + + = + 
( )⇔ + − + + = +2(cos x sin x).(cos x sin x ) cos x sin x 2 cos x sin x 
( )
+ >⎧⎪⇔ + = ⎨ − + + =⎪⎩
cos x sin x 0
cos x sin x 0 hay
cos x sin x cos x sin x 2
+ >⎧⎪⇔ = − ⎨ + =⎪⎩
cos x sin x 0
tgx 1 hay
2cos x 2 cos 2x 4
+ >⎧⎪⇔ = − ⎨ + =⎪⎩
cos x sin x 0
tgx 1 hay
cos x cos 2x 2
=⎧π⇔ = − + π ∈ ⎨ =⎩
cos x 1
x k , k hay
cos 2x 14
π⇔ = − + πx k hay = π ∈
4
x 2k , k 
( nhận xét: khi cosx =1 thì sinx = 0 và sinx + cosx = 1 > 0 ) 
BÀI TẬP 
1. Giải phương trình : 
a/ 1 sin x cosx 0+ + = 
b/ 
2
2
4xcos cos x
3 0
1 tg x
−
=− 
c/ sin x 3 cos x 2 cos2x 3 sin 2x+ = + + 
d/ 2sin x 2sin x 2 2sin x 1− + = − 
e/ = −−
3tgx2 3sin x 3
2 sin x 1
f/ 
2 4sin 2x cos 2x 1 0
sin cos x
+ − = 
g/ + − + =28 cos 4x cos 2x 1 cos 3x 1 0 
h/ 2sin x sin x sin x cosx 1+ + + = 
k/ 25 3sin x 4 cos x 1 2cos x− − = − 
l/ 2cos2x cos x 1 tgx= + 
2. Cho phương trình : 
( )1 sin x 1 sin x mcos x 1+ + − = 
a/ Giải phương trình khi m = 2 
b/ Giải và biện luận theo m phương trình (1) 
3. Cho f(x) = 3cos62x + sin42x + cos4x – m 
a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0 
b/ Cho ( ) 2 2g x 2cos 2x 3cos 2x 1= + . Tìm tất cả các giá trị m để phương 
trình f(x) = g(x) có nghiệm. 
( )ĐS : 1 m 0≤ ≤ 
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
1 2cosx 1 2sin x m+ + + = 
 ( )ĐS : 1 3 m 2 1 2+ ≤ ≤ + 
 B) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 Cách giải : 1/ Mở giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa 
 2/ Áp dụng 
 A B A• = ⇔ = ±B 
≥≥ ≥⎧⎧ ⎧• = ⇔ ⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨ <⎧= ± ==⎩ ⎩⎩ 2 2
B 0B 0 A 0 A 0
A B = −⎩A B A BA B A B 
Bài 147 : Giải phương trình ( )cos3x 1 3 sin3x *= − 
( )
2 2
1 3 sin3x 0
*
cos 3x 1 2 3 sin3x 3sin 3x
⎧ − ≥⎪⇔ ⎨ = − +⎪⎩
⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − = − +⎩ 2 2
1sin 3x
3
1 sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x
⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − =⎩ 2
1sin 3x
3
4 sin 3x 2 3 sin 3x 0
⎧ ≤⎪⎪⇔ ⎨⎪ = ∨ =⎪⎩
1sin 3x
3
3sin 3x 0 sin 3x
2
⇔ =
π⇔ = ∈ 
sin 3x 0
kx , k
3
Bài 148 : Giải phương trình ( )3sin x 2 cos x 2 0 *+ − = 
( )* 2 cos x 2 3sin⇔ = − x 
 2 2
2 3sin x 0
4cos x 4 12sin x 9sin x
− ≥⎧⇔ ⎨ = − +⎩
 ( )
⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − = − +⎩ 2 2
2sin x
3
4 1 sin x 4 12sin x 9sin x
⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − =⎩ 2
2sin x
3
13sin x 12sin x 0
⎧ ≤⎪⎪⇔ ⎨⎪ = ∨ =⎪⎩
2sin x
3
12sin x 0 sin x
13
⇔ =
⇔ = π ∈ 
sin x 0
x k , k
Bài 149 : Giải phương trình ( )sin x cos x sin x cos x 1 *+ + = 
Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Với điều kiện : 0 t 2≤ ≤ 
Thì 2t 1 2sin xcos= + x
Do đó (*) thành : 
2t 1 t 1
2
− + = 
( )
2t 2t 3 0
t 1 t 3 loại
⇔ + − =
⇔ = ∨ = − 
Vậy ( ) ⇔* 21 1 2sin xcos= + x
⇔ =
π⇔ = ∈ 
sin 2x 0
kx , k
2
Bài 150 : Giải phương trình ( )sin x cos x 2sin 2x 1 *− + = 
Đặt ( )t sin x cos x điều kiện 0 t 2= − ≤ ≤ 
Thì 2t 1 sin2= − x
( ) ( )2* thành: t 2 1 t 1+ − = 
( )
22t t 1 0
1t 1 t loại dođiều kiện
2
⇔ − − =
⇔ = ∨ = − 
khi t = 1 thì 21 1 sin2= − x
⇔ =
π⇔ = ∈ 
sin 2x 0
kx , k
2
Bài 151 : Giải phuơng trình ( )4 4sin x cos x sin x cos x *− = + 
( ) ( ) ( )2 2 2 2* sin x cos x sin x cos x sin x cos x⇔ + − = + 
 cos2x sin x cos x⇔ − = + 
 2
cos2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
− ≥⎧⎪⇔ ⎨ = +⎪⎩
 2
cos2x 0
1 sin 2x 1 sin2x
≤⎧⎪⇔ ⎨ − = +⎪⎩
 2
cos2x 0
sin2x sin 2x
≤⎧⎪⇔ ⎨ = −⎪⎩
cos2x 0
sin2x 0
≤⎧⇔ ⎨ =⎩
 2
cos2x 0
cos2x 1
cos 2x 1
≤⎧⇔ ⇔⎨ =⎩
= −
 π⇔ = + π ∈ x k , k
2
Bài 152 : Giải phương trình ( )23 sin2x 2cos x 2 2 2cos2x *− = + 
Ta có : ( ) ( )2 2* 2 3 sin x cos x 2cos x 2 2 2 2cos x 1⇔ − = + − 
 3 1cos x sin x cos x cos x
2 2
⎛ ⎞⇔ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= 
 cos x.sin x cos x
6
π⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
cos x 0 cos x 0
cos x 0
sin x 1 sin x 1
6 6
> <⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ∨ ∨π π⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩ = −
> <⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ∨ ∨π π π π⎨ ⎨− = + π ∈ − = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩ 
cos x 0 cos x 0
cos x 0
x k2 , k x k2 , k
6 2 6 2
> <⎧ ⎧π ⎪ ⎪⇔ = + π ∈ ∨ ∨π π⎨ ⎨= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

 
cos x 0 cos x 0
x k , k 22 x k2 , k x k2 , k
3 3
π⇔ = + π ∈ x k , k
2
Bài 153 : Tìm các nghiệm trên ( )0,2π của phương trình : 
( )sin3x sin x sin2x cos2x *
1 cos2x
− = +− 
Ta có : ( ) 2cos2xsin x* 2 co
42 sin x
s 2x π⎛ ⎞⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠− 
Điều kiện : sin x 0 x k≠ ⇔ ≠ π
( )Khi x 0, thìsin x 0nên :• ∈ π > 
( )* 2 cos2x 2 cos 2x
4
π⎛ ⎞⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠− 
( )
π⎛ ⎞⇔ = ± − + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
π⇔ = + π ∈
π π⇔ = + ∈
π π∈ π = =



2x 2x k2 , k
4
4x k2 , k
4
kx , k
16 2
9Do x 0, nên x hay x
16 16
Khi ( )x ,2∈ π π thì sinx < 0 nên : 
( )
( )
( )
π⎛ ⎞⇔ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞⇔ π − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
π⇔ − = ± π − + π ∈
π⇔ = + π ∈
π π⇔ = + ∈



* cos 2x cos 2x
4
cos 2x cos 2x
4
2x 2x k2 , k
4
54x k2 , k
4
5 kx , k
16 2
Do ( )x ,2∈ π π π π= ∨ = •21 29nên x x
16 16
Bài 154 Cho phương trình : 6 6sin x cos x a sin 2x (*)+ = 
 Tìm a sao cho phương trình có nghiệm. 
Ta có : 
( ) ( )
( )
+ = + − +
= + −
= −
6 6 2 2 4 2 2 4
22 2 2 2
2
sin x cos x sin x cos