Chương II: Tổ hợp – xác suất

än đó?
	ĐS:	Chú ý: 	18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8
	18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7
	18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6
	a) 3 ´ 5 ´ 5!	b) 192 + 384 + 192 = 768 số
Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký. Hỏi có mấy cách chọn?
	ĐS: 6840.
Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
	a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).
	b/ Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4.
	ĐS: a/ 55440.	b/ 120.
Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
	a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
	b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
	c/	Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
	ĐS: a/ 6!.	b/ 360.	c/ 20160.
Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả:
	a/ Số chẵn.	b/ Bắt đầu bằng số 24.	c/ Bắt đầu bằng số 345.
	d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
	ĐS: a/ 312.	b/ 24.	c/ 6.	d/ 120 ; 480.
Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
	a/ n là số chẵn?
	b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?
	(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2)
	ĐS: a/ 3000.	b/ 2280.
a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
	b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.
(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999)
	c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
	ĐS: a/ 18.	b/ 42000.	c/ 13320.
a/ Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
	b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Tính tổng của các số này.
	ĐS: a/ 37332960.	b/ 96 ; 259980.
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0).
	(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1)
	b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho.
(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997)
	ĐS: a/ 3024.	b/ 36960.
IV. Tổ hợp
1. Tổ hợp (không lặp):
	Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 £ k £ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
	Số các tổ hợp chập k của n phần tử:	
	· Qui ước: = 1
	Tính chất: 
2. Tổ hợp lặp:
	Cho tập A = và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
	Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:	
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
	· Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:	
	· Chỉnh hợp: có thứ tự. 	Tổ hợp: không có thứ tự.
	Þ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp
	Ngược lại, là tổ hợp.
	· Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n):
	+ Không thứ tự, không hoàn lại:	
	+ Có thứ tự, không hoàn lại:	
	+ Có thứ tự, có hoàn lại:	
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp
Tính:	A = 	B = 
	ĐS: 	A = – 165,	B = 4
Rút gọn các biểu thức sau:
	S = 	P = 
	Q = 
	ĐS:	S = 	P = (n+1)(n+2) + 1	Q = 
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp
Chứng minh các hệ thức sau:
	a) (k £ p £ n)	b) 
Chứng minh các hệ thức sau:
	a) 	b) (3 £ k £ n)
	ĐS: Sử dụng tính chất:	
Chứng minh các hệ thức sau:
	a) (4 £ k £ n)
	b) 	c) ( 2 < k < n)
Chứng minh các hệ thức sau:
	a) 	b) 
	c) 
	d) 
	ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q. So sánh hệ số của xp ở 2 vế.
	b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n
	c) Sử dụng (x+y)2p và (x–y)2p 
	d) Sử dụng , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1.
Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp
Chứng minh rằng:	 ( n Ỵ N, n ³ 1)
	HD: Biến đổi vế trái:	
	Vậy ta phải chứng minh: 
	Ta có:	
	Cho k lần lượt từ 1, 2, , n. Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
Chứng minh rằng: 	(với k, n Ỵ N, 0 £ k £ n)
	HD: · Đặt uk = (k = 0;1;;n)
	Ta chứng minh: uk > uk+1 (*)
	Thật vậy, (*) Û Û n + 2nk > 0
	Điều này luôn luôn đúng Þ đpcm.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp
a) Chứng minh:	với n = 2m, k £ m. Từ đó suy ra là lớn nhất.
	b) Chứng minh: 	với n = 2m + 1, k £ m.
	Từ đó suy ra là lớn nhất.
	HD: a) Theo tính chất:	 Þ 
	Với k £ m Þ 2k £ n Þ Þ 
	Vì nên lớn nhất.
	b) Tương tự 
Cho n > 2, p Ỵ [1; n]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
	HD: Vì nên ta chi cần xét 1 £ p £ 
	Ta có: Û > 1 Û p < 
	Vậy 	 nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n – 1, ứng với = n
	 lớn nhất khi p = (nếu n lẻ) hoặc p = (nếu n chẵn)
Với giá trị nào của p thì lớn nhất.
	HD: Ta có: . Tỉ số này giảm khi p tăng.
	· Û , do đó:	p £ 
	· Nếu m chẵn: m = 2k Þ p £ k + 
	Để ta phải có: p £ k + , vì p, k Ỵ N nên chọn p = k
	· Nếu m lẻ: m = 2k + 1 Þ p £ k + 1, ta sẽ có:
	 khi p = k + 1 Þ 
	* Áp dụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác. Ví dụ:
	Có 25 học sinh. Muốn lập thành những nhóm gồm p học sinh. Tìm giá trị của p để được số cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó.
	* Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm có thể lập là .
	Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 do đó lớn nhất khi p = k + 1 = 13.
	Vậy p = 13, khi đó: số nhóm tối đa có thể lập: = 5200300.
Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	ĐS: a) n = 5	b) x = 2	c) x = 10
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
	ĐS: a) x = 14	b) x = 3	c) x = 10	d) x = 17	e) x = 7
Giải các bất phương trình:
	a) 	b) 	c) 
	ĐS: a) đk: n ³ 3, n2 + n – 42 > 0 Û n ³ 6 
	b) 
 	· Xét với n ³ 4: bpt vô nghiệm	
 	· Xét n Ỵ {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)
	c) đk: n ³ 5, n2 – 9n – 22 < 0 Þ n = 6; 7; 8; 9; 10
Giải các phương trình và bất phương trình:
	a/ 	b/ 
	c/	d/ 
	e/	f/ .
	g/	h/ 
	ĐS: 	a/ x = 5.	b/ x = 5.	c/ x = 8.	d/ x = 7.	
 	e/ 	f/ 	g/ x = 2.	h/ x = 3, x = 4.
Giải các hệ phương trình:
	a) 	b) 	c) 
	ĐS: a) 	b) 	c) 
Giải các phương trình và hệ bất phương trình:
	a/ 	b/ 	c/ 
	ĐS: 	a/ x = 5, y = 2.	b/ x = 4, y = 8.	c/ 
Tìm số tự nhiên k sao cho lập thành một cấp số cộng.
	ĐS: k = 4; 8.
Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học
Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
	ĐS: 	· Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:	
	· Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:	
	Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
	a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý.	b) Có 1 nam và 3 nữ.	c) Có 2 nam và 2 nữ.	
	d) Có ít nhất 1 nam.	e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 
Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy?
	ĐS: 20 ; 10.
Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
	ĐS: 1200.
Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được:
 	a/ 4 viên bi cùng màu? 	b/ 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
	ĐS: a/ 20.	b/ 150.
Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn?
	ĐS: 4651200.
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó:
 	a/ Có đúng 1 bông hồng đỏ?
 	b/ Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
	ĐS: a/ 112	b/ 150.
Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
	ĐS: 544320.	(HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)
Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số:
 	a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2?
 	b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?
	ĐS: a/ 360.	b/ 2448.	(ĐH Cần Thơ, 2001)
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1).
 	b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.