Chủ đề: Đạo hàm

 Chủ Đề:I – ĐẠO HÀM
1.Tóm tắt lý thuyết
Đạo hàm của tại , kí hiệu hay 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y= f(x) tại điểm M0 có dạng.
Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hằng số:
(C)’= 0
Đạo hàm của x:
Đạo hàm của hàm hợp:
 (v = v(x))
Đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương:
Giới hạn của 
Đạo hàm của hàm số lượng giác:
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là và hàm số có đạo hàm tại u là thì hàm hợp có đạo hàm tại x là: 
2. Các bài toán cơ bản: 
Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Phương pháp giải
Bước 1: Gọi là gia số của x tại , tính
Bước 2: Lập tỉ số 
Bước 3:Tìm 
Ví dụ: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y = x2 + x tại 
b) y = tại 
Lời giải
a) y = x2 + x tại 
 Gọi là gia số của x tại 
Ta có 
b) y = tại 
 Gọi là gia số của x tại 
Ta có 
Nhận xét: Để tính hàm số y = trên khoảng (a;b) và bằng định nghĩa ta chỉ cần tính 
 sau đó lập tỉ số rồi tìm giới hạn của khi tiến dần về 0.
Bài toán 2: Chứng minh hàm số không hoặc có đạo hàm tại 
Phương pháp giải: Để chứng minh hàm số không hoặc có đạo hàm tại x = ta làm như sau:
 Tìm giới hạn và của hàm số y = sau đó so sánh 
 và :
Nếu = thì hàm số có đạo hàm tại .
Nếu thì hàm số không có đạo hàm tại .
Ví dụ : Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
Lời giải
	 Ta có = 1
= 
Vì nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0
Nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại khi và chỉ khi 
Bài toán 3: Tính đạo hàm của hàm số 
Phương pháp giải: Xác định dạng của đạo hàm sau đó áp dụng các công thức và phép toán để tính đạo hàm của hàm số và hàm số lượng giác.
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) ; b) ; c) 
Lời giải
a) c) 
b)
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm hợp
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 a) ; b) ; c) d) 
Lời giải:
a) 	 b) 
 c) d) 
Dạng 3: Tính đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương.
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) 	 b) c) d) 
Lời giải:
 a) 
 b) 
c) 
d) 
Nhận xét: Để tìm đạo hàm của hàm số ta chỉ cần xác định dạng của hàm số rồi áp dụng các công thức và phép toán của đạo hạm để tính đạo hàm của hàm số.
Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 
 Dạng 1: Cho hàm số có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M()
Phương pháp giải: 
 Bước1: Xác định tọa độ 
 Bước 2: Tính đạo hàm của tại 
 Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(), có dạng: 
Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C):
Tại điểm (1 ; -1).
Tại điểm có hoành độ bằng -3.
Lời giải:
a) Tại điểm (1;-1).	 b) Tại điểm có hoành độ bằng -3 
 Gọi và là tọa độ tiếp điểm, khi đó ta có 
Ta có và 	 Ta có 2 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (1 ; -1), có dạng	Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-3 ; 2), có dạng
 Dạng 2: Cho hàm số có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.
Phương pháp giải: 
Bước 1:Gọi là hoành độ tiếp điểm, khi đó ta có 
Bước 2: Giải để tìm sau đó thế vào hàm số để tìm 
 Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), có dạng :
Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc bằng 2.
Lời giải:
Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 2
Ta có 
Gọi là hoành độ tiếp điểm
* Với 	 * Với 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (2 ; ), có dạng:	 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1 ; ), có dạng:	 
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại hệ số góc tiếp tuyến bằng 3 là
 ; 
Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến (C) của hàm số ta cần phải biết tọa độ và hay hệ số tiếp tuyến k để tìmvà, sau đó tính đạo hàm của hàm số tại rồi áp dụng vào phương trình tiếp tuyến.
Bài toán 5: Đạo hàm của hàm số lượng giác.
	Dạng 1: Đạo hàm của hàm số ,, và 
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 a) : b) c) 
Lời giải:
 a) b) 
 c) 
 Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp:
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) ; b) c) d) 
Lời giải:
 a) 
b) 
c) 
d) 
Bài toán 6: Giải bất phương trình. 
Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số và (nếu có)
Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rồi thay và (nếu có) vào điều kiện tìm nghiệm 
Bước 3: Lập bảng xét dấu rồi kết luận tập nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
a) < 0 ,với 
b) ,với 	
c) < ,với 
 Lời giải:
 a) < 0 ,với b) ,với 
 Ta có Ta có 
 Mà < 0 Mà 
 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(2 ; 3) 
 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=[1 ; 3]\2
c) < ,với 
 Ta có , 
 Mà < 
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(-2 ; 1)
Nhận xét: Tùy thuộc vào đề bài ta tính được đạo hàm của và (nếu có) sau đó đem thế vào điều kiện có được từ đề bài để tìm nghiệm của bất phương trình.
3.Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 a) b) 
c) 	 	d) 
Bài 2: Cho hàm số có đồ thi là (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), tại điểm A(2 ; -7).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Bài 3: Xác định m để , với có nghiệm đúng với mọi