Các vấn đề về hàm số - Lê Anh Tuấn

CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
Tác giả : Lê Anh Tuấn, giảng viên trường Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai
Email liên hệ : tuantoan80@yahoo.com.vn
Vấn đề 1 : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng, có tâm đối xứng
1) Trục đối xứng : Nếu hàm số y = f(x) là hàm số chẵn thì đồ thị (C) của nó nhận Oy làm trục đối xứng. Vậy để CM : đồ thị (C) của hàm số y = f(x) có trục đối xứng ta làm như sau :
a) Nếu hàm số đã cho chẵn thì (C) nhận Oy làm trục đối xứng
b) Nếu không là hàm chẵn ta quan sát (C) để đoán nhận đường thẳng nào là trục đối xứng sau đó CM như sau :
CM : x = a là trục đối xứng
Tịnh tiến hệ trục Oxy đến IXY
Dùng công thức đổi trục 
Biến y = f(x) thành Y = g(X) và CM hàm số Y =g(X) chẵn 
 (g(-X) = g(X))
2) Tâm đối xứng
Nếu y = f(x) lẻ thì nó nhận O làm tâm đối xứng. Vậy để CM : (C) có tâm đối xứng ta làm như sau :
a) Nếu hàm số lẻ thì O là tâm đối xứng
b) Nếu không là hàm số lẻ ta quan sát để đoán nhận I(a ;b) là tâm đối xứng.
Ta CM như sau :
Tịnh tiến Oxy đến IXY với I(a ;b) dùng công thức đổi trục :
Biến y = f(x) thành Y = g(X) và CM hàm số Y =g(X) lẻ 
 (g(-X) = - g(X))
Khi đó I(a ;b) là tâm đối xứng
Vấn đề 2 : Viết phương trình tiếp tuyến
1) Dạng 1 : Viết pttt của (C) : y = f(x) tại điểm M có hoành độ x0
 Phương pháp : Sử dụng pttt 
2) Dạng 2 : Viết pttt của (C) : y = f(x) biết hệ số góc tiếp tuyến là k
 Phương pháp : + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm thì 
 + Thay vào pttt : y = k(x-x0) + f(x0)
3) Dạng 3 : Viết pttt của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ;yA)
 Phương pháp : + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Pttt là 
 + Tiếp tuyến qua A(xA ;yA). Suy ra 
Vấn đề 3 : Sự tương giao của hai đường cong. Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
1) Cho y = f(x) (C1)
 y = g(x) (C2)
+ Số giao điểm của 2 đồ thị này là số nghiệm của PT : f(x) = g(x)
+ (C1) tiếp xúc (C2) có nghiệm
2) Khảo sát y = f(x) (C). Dùng (C) biện luận theo m số nghiệm của PT
 g(x,m) = 0 (1)
Thực hiện các bước sau :
+ Viết PT : g(x,m) = 0 thành dạng f(x) = h(x,m) (1)
+ Số nghiệm (1) là số giao điểm của (C) vừa vẽ và đồ thị (D) của hàm số 
 y = h(x,m)
+ Vẽ (D)
+ Quan sát đồ thị vừa vẽ tìm các vị trí đặc biệt của đường di động (D), đó là các vị trí mà khi (D) đến hoặc vượt qua thì số giao điểm thay đổi. Từ đó suy ra điều kiện của m.
+ Lập bảng kết luận
m
Số giao điểm
Số nghiệm
Vấn đề 4 : Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
1) Tính đơn điệu
a) Hàm số tăng trên khoảng (a ;b) trong đó chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.
b) Hàm số giảm trên khoảng (a ;b) trong đó chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.
2) Cực trị của hàm số
a) Đạo hàm đổi dấu bao nhiêu lần trên miền xác định thì hàm số đạt bấy nhiêu cực trị.
b)
+ Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0(thuộc miền xác định) thì hàm số đạt cực đại tại x0.
+ Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0(thuộc miền xác định) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
c) 
 : hàm số đạt cực đại tại x0
 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
Vấn đề 5 :Tìm quĩ tích của điểm M(xM,yM) trong mặt phẳng tọa độ
Phương pháp :
+ Xác định m theo một tham số . Ví dụ : 
+ Khử tham số m ta được hệ thức độc lập giữa xM , yM
 f(xM,yM) = 0
+ Giới hạn quĩ tích (nếu có).
+ Kết luận : Quĩ tích M là một phần đường cong có PT : f(x,y) = 0 thỏa một số điều kiện giới hạn.
Vấn đề 6 : Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua
1) Cho (CM) : f(x,y,m) = 0
M(x0,y0) là điểm cố định mà (CM) luôn qua phương trình f(x0 ,y0 ,m) = 0 thỏa với mọi m.
2) M(x0,y0) là điểm không có (CM) nào đi quaphương trình f(x0 ,y0 ,m) = 0 không có nghiệm m.
Vấn đề 7 : Đường thẳng đi qua điểm đặc biệt
1) Đường thẳng qua các điểm cực trị của hàm bậc ba y = f(x)
Phương pháp :
+ Tính 
+ Chia đa thức với r(x) = ax + b
+ M(x ;y) là điểm cực trị ( nếu có) của f(x) thì
+ Kết luận: y = ax + b là đường thẳng qua các điểm cực trị của f(x)
2) Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm hữu tỉ 
Phương pháp:
+ Gọi M(x;y) là điểm cực trị ( nếu có) của f(x) ta có
+ Từ hệ PT trên ta được phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị 
 y = ax + b
Ví dụ:
Lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số
Ta có : phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị có dạng
Vấn đề 8: Biến đổi đồ thị
Cho (C) : y = f(x)
1) Vẽ (C1) : 
Ta có khi và (C1) đối xứng qua (C) qua trục hoành khi f(x) < 0.
Cách vẽ (C1) :
+ Giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) nằm phía trên trục hoành
+ Lấy hình đối xứng với trục hoành phần đồ thị y = f(x) nằm phía dưới trục hoành.
+ Bỏ phần phía dưới trục hoành của đồ thị y = f(x)
2) Vẽ (C2) : 
Ta có khi và do y là hàm số chẵn nên (C2) nhận Oy làm trục đối xứng.
Cách vẽ (C2) :
+ Giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) với x > 0
+ Lấy đối xứng qua Oy phần giữ nguyên đó.