Các tính chất tiếp tuyến của hàm phân thức - Vũ Văn Tuyền

	Các tính chất tiếp tuyến của hàm phân thức
Mở đầu
 Trong quá trình dạy học lớp 12 tôi thấy tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những vấn đề quan trọng học sinh chỉ vận dụng quen với các bài tập viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm, tiếp tuyến đi qua một điểm, hoặc tiếp tuyến biết hệ số góc. Nhưng nếu cho các bài tập khác có liên quan đến tiếp tuyến thì học sinh tổ ra lúng túng. Vì vậy trong bài viết này tôi có sưu tập đưa ra một số tính chất của tiếp tuyến chỉ riêng đối với hàm số hữu tỉ dạng:
 (c,ad-bc) 
 (ad)
Tính chất 1:(Cho các hàm số ) 
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C), và đường thẳng y=kx+b ().
Đường thẳng () là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm :
Các dạng toán áp dụng:
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm.
HD: Ta lập phương trình đường thẳng đi qua điểm đó và áp dụng tính chất 1.
2/Tìm điểm kẻ được k tiếp tuyến tới đồ thị hàm số :
HD : 	+/Tìm điểm M thỏa mãn tính chất K . 
+/ Lập phương trình đường thẳng ()đi qua M 
	+/ Tìm điều kiện để () tiếp xúc với đồ thị hàm số (hệ có nghiệm)
	+ Số tiếp tuyến phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình từ hệ phương trình thoả mãn tính chất K.xác định được yêu cầu bài toán.
Ví dụ 
1.Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến tuyến của đồ thị đi qua điểm M(-6;5)
HD : 
Phương trình đường thẳng đi qua M(-6;5) có hệ số góc k : y=k(x+6)+5 ()
Đường thẳng () tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ phương trình sau có nghiệm :
giải hệ ta được k=-1, k=-1/4 nên ta có 2 tiếp tuyến kẻ từ M là : y=-x-1 và 
2/ Cho hàm số . Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hà số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
HD : 
Gọi MM(0,b)
Đường thẳng d đi qua M có hệ số góc k : y=kx+b
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm
Để qua M có tiếp tuyến thì : 3+b-k 0
Phương trình (*)biến đổi về dạng :
	f(k)=(1)
Tù M có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị hàm số khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác b+3 thoả mãn 
 Giải ra ta được và 
Tính chất 2:
Tiếp tuyến tại M của hàm y=f(x) có đồ thị (C) (hàm phân thức) luôn cắt hai đường tiệm cận tại A,B thoả mãn : 
	a/ M là trung điểm của AB
	b/ Diện tích không phụ thuộc vào M ( I là giao điểm của hai tiệm cận)
Hướng dẫn giải 
*Tìm các tiệm cận, giao điểm I của 2 tiệm cận , đạo hàm y’.
*Giả sử M(x,y) .PT tiếp tuyến tại M của (C) là: y- y = y’(x).(x- x) (d)
*Tìm 	d=A?
 	d=B?
Kiểm tra
*xlà trung điểm của AB
* S
 = 
	h
	 M B
	 A
	 	 O	 I	 x
	 x 
Chú ý : Đối với hàm thì vuông và 
Ví dụ3 : Cho hàm số 
Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt tiệm cận đướng và tiệm cận xiên tại A và B.
a/ CMR : M là trung điểm của AB.
b/ Tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của M 
Giải : Hàm số y=x+1 + (C) 
y’=1- = 
TCĐ : x=-1 (vì , 
TCX : y=x+1 ( 
I(-1;0)
 Giả sử M(x,y) .PT tiếp tuyến tại M của (C) là: y= y’(x).(x- x)+ y (d)
 (d)
Tọa độ giao điểm A của d và TCĐ là nghiệm của hệ : 
Tọa độ giao điểm B của d và TCX là nghiệm của hệ : 
a/ Ta thấy là trung điểm của AB
b/ S đpcm
Ví dụ 4 : Cho hàm số (y=1+ )
a/ CMR : Mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
b/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất. 
Giải : 
y= 
TCĐ : x=1
TCN: y=1
I(1;1)
M tuỳ ý thuộc đồ thị , giả sử M(a;y(a)). PT tiếp tuyến tại M là :
	y= (d)
Toạ độ gđ A của tiếp tuyến tại M với TCĐ là nghiệm của hệ :
Toạ độ gđ B của tiếp tuyến tại M với TCN là nghiệm của hệ :
a/ 
b/Ta có P=IA+IB+AB
Vì AB2=IA2+IB2 2IA.IB=16 
Mà IA+IA	
Vậy P=4+4 khi IA=IB 
Tính chất3 : Cho hàm số y= (C) 
Nếu (C) cắt trục hoành tại x=xthì hệ số góc của tiếp tuyến tại x=xlà :
 k = 
Chứng minh:
Vì Đồ thị cắt Ox tại x=x nên
Tacó y’=
 *Hệ số góc của tiếp tuyến tại x là : 
 k = 
Ví dụ5: Cho hàm số (C)
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm và hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) với Ox là : =0
Để (C) với Ox tại hai điểm thì g(x)= =0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác - m
Khi đó (1) có 2 nghiệm phân biệt x thoả mãn 
Hệ số góc tương ứng với x,x là:
 k	k
Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau k
 .=-1
 (t/m). KL .
 Tính chất 4:
Bài toán
Cho hàm số (C) . Tìm k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị có cùng hệ số góc k . Gọi các tiếp điểm là A,B
	a/ Tìm k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị có cùng hệ số góc k .
	b/ Viết phương trình đường thẳng AB.
	c/ CMR khi đó đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.Điểm cố định đó có tích chất gì ?.
Hướng dẫn giải(tổng quát)
a.Viết lại hàm số (C) 
*TXĐ :R\ 
* 
Để (C) có hai tiếp tuyến có cùng hệ số góc k thì phương trình 
=k có hai nghiệm phân biệt
 điều kiện của k .
b. Tọa độ của A,B là nghiệm của hệ phương trình :
Vậy phương trình của AB là : 
c. Ta sẽ tìm điểm cố định của (AB)
Giả sử M(là điểm cố định của (AB)
Ta có 
(vì )
Ta thấy M(là toạ độ của tâm đối xứng của Đồ thị (C)
Vậy (AB) luôn đi qua I tâm đối xứng của (C).
Ví dụ 6:
Cho hà số 
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Tìm k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị có cùng hệ số góc k. Gọi các tiếp điểm là A,B . Viết phương trình đường thẳng chứ A,B theo k. 
c/ CMR : (A,B) luôn đi qua một điểm cố định.
Giải :
b/ Sau khi khảo sát có:
TXĐ : R\ ; Tâm đối xứng : I(-1;-1)
y=
 Để (C) có hai tiếp tuyến có cùng hệ số góc k thì phương trình 
 có hai nghiệm phân biệt.
 k<1 
*Gọi các tiếp điểm là A,B Tọa độ của A,B là nghiệm của hệ phương trình :
Vậy (AB) có phương trình là : 
c. Giả sử là điểm cố định của(AB)
ta có 
Vậy điểm cố định của (AB) là I tâm đối xứng của đồ thị .
Bài tập:
1.Cho hàm số : 
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
b/ Tìm những điểm trên đường thẳng y=1 mà từ mỗi điểm ấy kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
2/ Cho hàm số 
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Tiếp tuyến tại một điểm M trên đồ thị cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại A,B 
CMR : * M là trung điểm của AB
	 *Tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí M
c/ Tìm hai điểm M và N thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M và N song song với nhau và độ dài đoạn MN ngắn nhất.