Các phương trình hàm số bậc 4 và phương pháp giải

2 + (a + b)x. Tìm ñk 
cuûa t baèng BBT. 
 I I . TRUÏC ÑOÁI XÖÙNG CUÛA HAØM BAÄC 4 
 Cho haøm baäc 4 : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c coù ñoà thò (C). 
 Giaû söû a > 0, (C) coù truïc ñoái xöùng neáu ta tìm ñöôïc caùc soá α, β, γ, m sao cho : 
 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (αx2 + βx + γ)2 + m ∀x ∈ R. 
 Duøng ñoàng nhaát thöùc cho ta coù ñöôïc caùc heä soá α, β, γ, m. 
III . CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM BAÄC BOÁN TRUØNG PHÖÔNG : 
 y = ax4 + bx2 + c 
 y’ = 4ax3 + 2bx 
 y’ = 0 ⇔ 2x(2ax2 + b) = 0 
 ⇔ x
ax b
=
+ =
⎡
⎣⎢⎢
0 1
2 02
( )
( )2
3
1. Haøm soá coù 3 cöïc trò ⇔ (2) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0 ⇔ a.b < 0 
2. Haøm soá coù ñuùng 1 cöïc trò ⇔ (2) voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm keùp hoaëc coù nghieäm baèng 0. 
 ⇔ 
a vaøb
a vaøab
= ≠
≠ ≥
⎡
⎣⎢
0 0
0 0
IV.CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BOÁN DAÏNG : 
 y = ax4 + bx3 + cx2 + d 
 y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx 
 y’ = 0 ⇔ x(4ax2 + 3bx + 2c) = 0 
 ⇔ x
ax bx c
=
+ + =
⎡
⎣⎢⎢
0
4 3 2 02 ( )
1. Khi a > 0, ta coù : Haøm soá chæ coù 1 cöïc tieåu maø khoâng coù cöïc ñaïi. 
 ⇔ (3) voâ nghieäm hay (3) coù nghieäm keùp hay (3) coù nghieäm x = 0. 
2. Khi a < 0, ta coù: Haøm soá chæ coù 1 cöïc ñaïi maø khoâng coù cöïc tieåu. 
 ⇔ (3) voâ nghieäm hay (3) coù nghieäm keùp hay (3) coù nghieäm x = 0. 
TOAÙN OÂN VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 4 
 Cho haøm soá baäc 4 coù ñoà thò (C a ) vôùi phöông trình : 
 y = x4 + 8ax3 – 4(1 + 2a)x2 + 3 
 I. Trong phaàn naøy ta khaûo saùt haøm soá öùng vôùi a = 0 
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (Co). Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm uoán. 
2) Ñònh m ñeå tieáp tuyeán vôùi (Co) taïi M coù hoaønh ñoä m, caét (Co) taïi hai ñieåm P, Q khaùc 
ñieåm M. Coù giaù trò naøo cuûa m ñeå M laø trung ñieåm ñoaïn PQ. 
3) Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa ñoaïn PQ khi m thay ñoåi trong ñieàu kieän caâu 2. 
 II. Trong phaàn naøy ta khaûo saùt haøm soá öùng vôùi a = 
2
1− 
4) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) 
5) Cho ñöôøng thaúng ( D ) coù phöông trình y = ax + b. Tìm a, b ñeå phöông trình hoaønh ñoä 
giao ñieåm cuûa (C) vaø (D) coù hai nghieäm keùp phaân bieät α vaø β. Tìm toïa ñoä hai ñieåm 
chung. 
6) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù heä soá goùc baèng –8. Tìm toïa ñoä caùc tieáp ñieåm. 
 III. Trong phaàn naøy ta khaûo saùt haøm soá trong tröôøng hôïp toång quaùt. 
7) Bieän luaän theo a soá ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá. Ñònh a ñeå haøm soá chæ coù ñieåm cöïc tieåu maø 
khoâng coù ñieåm cöïc ñaïi. 
8) Trong tröôøng hôïp ñoà thò haøm soá coù ba ñieåm cöïc trò haõy vieát phöông trình parabol ñi qua 
ba ñieåm cöïc trò naøy. 
9) Ñònh a ñeå ñoà thò coù hai ñieåm uoán. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm uoán 
naøy. 
BAØI GIAÛI 
PHAÀN I: 
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ( )0C 
 Khi a = 0 haøm soá thaønh y = x4 – 4x2 + 3 
 y′= 4x3 – 8x, / /y = 12x2 – 8 
 y′= 0 ⇔ x = 0 x∨ 2 = 2 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 2 
 y ( )0 = 3, y ( 2± ) = –1 
 y′′= 0 ⇔ =2 2x
3
⇔ x = ± 6
3
; y
6
3
⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠
= 7
9
( )0C coù 2 ñieåm cöïc tieåu laø ( )2 , -1± vaø 1 ñieåm cöïc ñaïi laø ( ) 0,3
( )0C coù 2 ñieåm uoán laø 6 7, 3 9
⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠
Baûng bieán thieân vaø ñoà thò : baïn ñoïc töï laøm. 
2) Tieáp tuyeán ( taïi M ()D )− +4 2m , m 4m 3 thuoäc ( )0C coù phöông trình: 
 y = y′ ( )m ( Mx - x )
( )x - m
 + yM 
 hay y = ( + m)34m - 8m 4 – 4m2 + 3 
 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ( )D vaø ( )0C laø 
 x4 – 4x2 + 3 = ( )34m - 8m ( )x - m + m4 – 4m2 + 3 (1) 
 ( Nhaän xeùt: pt (1) chaéc chaén nhaän m laøm nghieäm keùp neân ta coù: 
 (1) ⇔ ( )2x - m ( ) =2Ax + Bx + C 0 ) 
 (1) ⇔ x4 – m4 – 4 ( )2 2x - m = ( )x - m ( )34m - 8m 
 ⇔ x – m = 0 ∨ x3 + mx2 + m2x + m3 – 4 ( )x + m = 4m3 – 8m 
 ⇔ x = m ∨ x3 + mx2 + ( )2m - 4 x – 3m3 + 4m = 0 (2) 
 ⇔ x = m ∨ ( )x - m ( )2 2x + 2mx + 3m - 4 = 0 
 ⇔ x = m ∨ x2 + 2mx + 3m2 – 4 = 0 (3) 
 Do ñoù, ( caét ()D )0C taïi 2 ñieåm P, Q khaùc m 
⇔ (3) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc m. 
⇔ 
2 2 2
2 2
m + 2m + 3m - 4 0
 = m - 3m + 4 > 0
⎧ ≠⎪⎨ ′Δ⎪⎩
 ⇔
2
2
2m 
3
m < 2
⎧ ≠⎪⎨⎪⎩
 (4)⇔
6m 
3
m < 2
⎧ ≠ ±⎪⎨⎪⎩
 Ñeå M laø trung ñieåm cuûa PQ thì 
 xM = P Q
x + x
2
 m = –m m = 0 ⇒ ⇒
 (m = 0 thoaû (4) neân nhaän) 
 Nhaän xeùt: pt (2) chaéc chaén coù nghieäm x = m. 
3) I laø trung ñieåm cuûa PQ neân: 
 ta coù xI = –m 
 vaø 2yI = yP + yQ = 2 ( )4 2m - 4m + 3 ⇒ yI = – 4 + 3 4Ix 2Ix
 Vaäy quó tích cuûa I laø 1 phaàn ñoà thò cuûa haøm soá y = x4 – 4x2 + 3 
vôùi x < 2 vaø x ≠ ± 6
3
PHAÀN II: Khaûo saùt haøm soá vôùi a = – 1
2
4) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò ( )C khi a = – 1
2
 : ñoäc giaû töï laøm. 
 a = – 1
2
 , haøm soá thaønh y = x4 – 4x3 + 3; y / = 4x3 – 12x2
5) Tìm a, b ñeå phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 
 y = x4 – 4x3 + 3 ( )C vaø ñöôøng thaúng: y = ax + b ( )1D 
 coù 2 nghieäm keùp phaân bieät α , β . 
 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ( )C vaø ( )1D laø 
 x4 – 4x3 + 3 = ax + b 
 x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = 0 
 Do ñoù, yeâu caàu baøi toaùn 
 x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = ( )2x - α ( )2x - β ∀x 
 maø ( )2x-α ( )2x-β = x4 –2 ( )+ α β x3 + ( )2 2+ +4α β αβ x2 –2 x+αβ ( )α +β 2α 2β 
 Do ñoù, yeâu caàu baøi toaùn 
 ⇔
( )
( )
⎧− α + β⎪α β αβ = α +β + α⎪⎨ αβ α β⎪⎪α β⎩
2 2 2
2 2
2 = -4
 + + 4 = 0 ( ) 2
2 + = a
 = 3 - b
β
 ⇔
α β⎧⎪ αβ αβ⎪⎨⎪⎪⎩
 + = 2
4 + 2 = 0( =-2)
a = -8
3 - b = 4
 a = – 8 vaø b = –1. ⇒
α β αβ
⇒ α β + β α +
vôùi + = 2 vaø =-2
( = 1- 3 vaø =1 3 )hay( = 1- 3 vaø =1 3 )
 Khi ñoù, theá = ±x 1 3 vaø y = – 8 x – 1, ta coù 2 ñieåm chung laø 
 A ( )1 - 3, -9 + 8 3 vaø B ( )1 + 3, -9 - 8 3 
6) Goïi x laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng –8, ta coù: 
4x3 – 12x2 = – 8 
 4x⇔ 3 – 12x2 + 8 = 0 ⇔ x3 – 3x2 + 2 = 0 
 ⇔ ( )x - 1 ( )2x - 2x -2 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 1± 3 
 y ( )1 = 0, y (1 - 3 ) = – 9 + 8 3 , y ( )1 + 3 = –9 – 8 3 
 Tieáp tuyeán taïi ( laø y = – 8)1,0 ( )x - 1 hay y = –8x + 8 
 Theo caâu 5, 2 tieáp ñieåm taïi A vaø B coù cuøng 1 tieáp tuyeán laø 
 y = – 8x – 1 
 Toùm laïi coù 2 tieáp tuyeán thoûa ycbt laø : 
 y = –8x + 8 hay y = – 8x – 1. 
 Caùc tieáp ñieåm laø : ( , A)1,0 ( )1 - 3, -9 + 8 3 vaø B ( )1 + 3, -9 - 8 3 
 PHAÀN III: 
7) Soá ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá laø nghieäm ñôn hay nghieäm boäi ba cuûa ña thöùc: 
 f′ ( )x = 4x3 + 24ax2 – 8 ( )x 1 + 2a
 = 4x ( )2x + 6ax - 2 1 + 2a⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 Tam thöùc g(x) = x2 + 6ax – 2(1 + 2a) coù : 
 = 9a′Δ 2 + 4a + 2 > 0 , neân a∀
i) Khi a ≠ 1
2
− , g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0, 
suy ra coù 3 nghieäm ñôn phaân bieät ( )f x = 0′
⇒ coù 3 cöïc trò. 
ii) Khi a = 1
2
− thì g(x) = 0 coù 1 nghieäm baèng 0 vaø 1 nghieäm khaùc 
 0 coù 1 nghieäm keùp x = 0 vaø 1 nghieäm ñôn ⇒ ( )f x = 0′
 ⇒ coù 1 cöïc trò 
Ñieàu kieän caàn ñeå haøm chæ coù 1 cöïc trò laø a = 1
2
− . 
Khi a = 1
2
− , haøm ñaït cöïc tieåu taïi x = 3. 
(Khi a = 1
2
− , g(x) = 0 ⇔ x2 = 0 x = 3 ∨
vôùi x = 0 laø nghieäm keùp vaø x = 3 laø nghieäm ñôn). 
Vaäy khi a = 1
2
− thì haøm chæ coù cöïc tieåu vaø khoâng coù cöïc ñaïi. 
8) Khi a ≠ 1
2
− , haøm soá coù 3 cöïc trò. 
Goïi x1, x2, x3 laø hoaønh ñoä 3 ñieåm cöïc trò khi a ≠ 1
2
− , ta coù : 
x1, x2, x3 laø nghieäm cuûa f′ ( )x = 0. 
Chia ña thöùc f ( )x cho 1
4
f′ ( )x ta coù: 
f ( )x = 1
4
f′ ( )x [ ]x + 2a – 2 ( )26a + 2a + 1 x2 + 4 ( )2a + 2a x + 3 
Vaäy 3 ñieåm cöïc trò thoaû phöông trình: 
y = –2 ( )26a + 2a + 1 x2 + 4 ( )2a + 2a x + 3 
vì = = ff′ ( )1x f′ ( )2x ′ ( )3x = 0 
Vaäy, phöông trình Parabol ñi qua 3 ñieåm cöïc trò laø : 
y = –2 ( )26a + 2a + 1 x2 + 4 ( )2a + 2a x + 3 
9) y′ = 4x3 + 24ax2 – 8 ( )x 1 + 2a
 y′′ = 12x2 + 48ax – 8 ( ) 1 + 2a
 y′′ = 0 3x⇔ 2 + 12ax – 2 ( )1 + 2a = 0 (9) 
 Vì (9) coù = 36a′Δ 2 + 6 ( ) 1 + 2a
 = 6 ( )26a + 2a + 1 > 0 , ∀a 
neân ñoà thò luoân coù 2 ñieåm uoán I, J coù hoaønh ñoä laø nghieäm cuûa phöông trình (9) 
 Höôùng daãn: giaû söû chia f ( )x cho 1
4
f′′ ( )x (veá traùi cuûa (9)) 
 Ta coù : f ( )x = 1
4
f′′ ( )x ( )h x⎡⎣ ⎤⎦ + Ax + B 
 thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm uoán laø: y = Ax + B. 
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM HOÏC 2002 KHOÁI B: 
(ÑH: 2,0ñ; CÑ: 2,5ñ): 
Cho haøm soá : y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (1) (m laø tham soá) 
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m=1 . 
2. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò . 
BAØI GIAÛI 
 1) m = 1, y = x4 – 8x2 + 10 (C). MXÑ : D = R 
 y’ = 4x3 – 16x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±2 
 y” = 12x2 – 16; y” = 0 ⇔ x = 
3
2± 
x −∞ −
3
2 
3
2 +∞ 
y" + 0 − 0 + 
(C) loõm loài loõm 
 Ñieåm uoán I1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
9
10,
3
2 , I2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
9
10,
3
2 
x −∞ −2 0 2 +∞ 
y' − 0 + 0 − 0 + 
y +∞ 10 +∞ 
 −6 CÑ −6 
 CT CT 
2) y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 
 y’ = 4mx3 + 2(m2 – 9)x 
 y’ = 0 ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
=−+
=
(*)0)9m(mx2
0x
22
 y coù 3 cöïc trò ⇔ 
 (*) coù 2 nghieäm phaân bieät ≠ 0 
−6
x
y
10
−2 2
O
 ⇔ m(m2 – 9) < 0 
 ⇔ m < −3 ∨ 0 < m < 3 
ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - NAÊM 2002 – KHOÁI A 
 (2,0 ñieåm) Cho haøm soá: y = x4 – mx2 + m – 1 (1) (m laø tham soá) 
 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 8. 
 2) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò cuûa haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. 
BAØI GIAÛI 
 1) Khi m = 8 ⇒ y = x4 – 8x2 + 7 
 • MXÑ : D = R. •y' = 4x3 – 16x = 4x(x2 – 4) 
 y' = 0 ⇔ 4x(x2 – 4) = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±2 
 • y'' = 12x2 – 16; y'' = 0 ⇔ 12x2 – 16 = 0 
 ⇔ x2 = =16 4
12 3
⇔ x = ± 2 3
3
x −∞ −2 0 2 +∞ 
y' − 0 + 0 − 0 + 
y +∞ 7 +∞ 
 - 9 −9 
x −∞ 2 3
3
− 2 3
3
 +∞ 
y'' + 0 − 0 + 
y +∞ loõm -17/9 loài - 17/9 loõm +∞
O
2−2
7
−9
x
y
 2) Xaùc ñònh m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät. 
 • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : x4 – mx2 + m – 1 = 0 (1) 
 Ñaët t = x2 ≥ 0, t2 – mt + m – 1 = 0 (2) 
 Phöông trình (1) coù 4 nghieäm phaân bieät . 
 ⇔ Phöông trình (2) coù 2 nghieäm döông phaân bieät. 
 ⇔ ⇔ 
2 2
1 2
1 2
m 4(m 1) (m 2)
S t t m 0
P t t m 1 0
⎧Δ = − − = − >⎪ = + = >⎨⎪ = = − >⎩
0
m 1
m 2
>⎧⎨ ≠⎩
ÑAÏI HOÏC, CAO ÑAÚNG - DÖÏ BÒ 1 - N