Các phương pháp tính nhanh tích phân từng phần

Trước tiên, ta nhắc lại một chút về kiến thức của phép lấy tích phân theo từng 
phần: 
Giả sử u và v là hai hàm số khả vi của x. Khi ñó, như ta ñã biết, vi phân của tích uv 
ñược tính theo công thức: 
Từ ñó, lấy tích phân ta ñược: 
Hay là: 
Công thức này gọi là công thức lấy tích phân từng phần. Công thức này thường ñược 
dùng ñể lấy tích phân các biểu thức có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai nhân tử 
u và dv, sao cho việc tìm hàm số v theo vi phân dv của nó và việc tính tích phân 
 là những bài toán ñơn giản hơn so với việc tính trực tiếp tích phân . Ý 
nghĩa tách biểu thức dưới dấu tích phân thành các thừa số u và dv thường xảy ra 
trong quá trình giải các bài toán có dạng sau: 
, , , 
trong ñó Pn là ña thức bậc n. 
Với các dạng trên, thì thông thường vai trò của u luôn là ña thức Pn , và dv là phần 
còn lại. Như vậy, ta có sơ ñồ sau: 
Khi ñược tích phân mới, ta lại ñược một tích phân lại là một trong các dạng, và phần 
ña thức mới lại ñóng vai trò là u, còn phần còn lại tiếp tục ñóng vai trò là v. Cứ thế 
cho ñến khi bậc của ña thức là bậc 0 thì sẽ có kết quả. Như vậy, các ña thức luôn 
ñóng vai trò u (nghĩa là lấy ñạo hàm), còn phần còn lại luôn là dv (lấy tích phân), 
nên ta sẽ xây dựng thuật toán gồm 2 cột: 1 cột chuyên lấy ñạo hàm của ña thức 
cho ñến khi giá trị bằng 0; 1 cột luôn lấy tích phân tương ứng với cột kia. Sau ñó, 
ghép các giá trị uv lại ta sẽ có kết quả. Hay ta có sơ ñồ sau: 
WWW.MATHVN.COM
Ví dụ 1: Tính : 2( 7 5).cos2x x xdx+ −∫ 
Ta lập sơ ñồ như sau: 
Khi ñó, kết quả của tích phân này sẽ là: 2
sin 2 os2x sin 27 5) (2 7)
2 4 4
( x c xx xx + − + + − 
Ví dụ 2: Tính: 3 2( 4 5 6). xx x x e dx−+ − +∫ 
Ta có sơ ñồ sau: 
WWW.MATHVN.COM
Vậy, dựa vào sơ ñồ trên, ta có kết quả của bài toán là: 
3 2 2( 4 5 6) (3 8 5) (6 8) 6x x x xx x x e x x e x e e− − − −− + − + − + − − + − = 
WWW.MATHVN.COM