Các phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân

4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x d) 
221123 24 −
+
+
+
+
+
−
=
+− x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x 
ðẳng thức tích phân : 
Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận 
xét một số ñặc ñiểm sau . 
 * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, . 
Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng. 
BÀI TẬP 
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ −=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx mnnm 
Bài làm : 
Xét ( )∫ −=
1
0
1 dxxxI nm 
ðặt : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1 
 Trang 9 
 ðổi cận : 



=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (ñpcm) 
Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì : 
 ( )∫
−
==
a
a
dxxfI 0 
Bài làm : 
( ) ( ) ( )1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI 
Xét ( )∫
−
0
a
dxxf . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= 
 ðổi cận : 



=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta ñược : 0=I (ñpcm) 
Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn 
[ ]aa,− thì ( ) ( )∫ ∫
−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2 
Cho 0>a và ( )xf là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R . 
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫
−
=
+
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
01
Bài làm : 
Xét ( ) dx
a
xf
x∫
− +
0
1α
 . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= 
 ðổi cận : 



=→=
=→−=
00 tx
tx αα
Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=+
−
=
+ −−
α α
α 0 0
0
111 t
t
tx a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf 
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫
− − +
+
+
=
+
α
α α
α0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx
 Trang 10 
Thế vào (1) ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ =+++=+− −
αα
α α
α
0
0
0 111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x
x
 (ñpcm) 
Cho hàm số ( )xf liên tục trên [ ]1,0 . Chứng minh rằng : 
( ) ( )∫ ∫=
π ππ
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx 
Bài làm : 
Xét ( )∫
π
0
sin. dxxfx . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= π 
 ðổi cận : 



=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
Vậy : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx 
 ( ) ( )∫ ∫−=
π π
π
0 0
sin.sin dttftdttf 
( ) ( )
( ) ( )dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau . 
Nếu hàm số ( )xf liên tục trên [ ]ba, và ( ) ( )xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có : 
 ( ) ( )∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
02
. 
Cho hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T . 
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
Bài làm : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
Vậy ta cần chứng minh ( ) ( )∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét ( )∫
a
dxxf
0
 . ðặt dxdtTxt =⇒+= 
 Trang 11 
 ðổi cận : 



+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
Vậy : ( ) ( )∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf 
Hay : ( ) ( )∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
 (ñpcm) 
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : 
Nếu hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn 
có : ( ) ( )∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2
Bạn ñọc tự làm : 
a) ( )∫ −=
1
0
6
1 1 dxxxI b) ( )∫
−
++=
1
1
22
2 1lncos.sin dxxxxxI 
c) ∫ +=
π
0
23 cos49
sin.
dx
x
xx
I d) ∫ +=
π
0
24 cos1
sin.
dx
x
xx
I 
e) ∫
−
+
=
2
2
2
5 21
sin
π
π
dx
xx
I
x
 f) ∫
− +
+
=
1
1
2
2
6 1
sin
dx
x
xx
I 
g) ( )∫ ++=∗
π2
0
2
7 sin1sinln dxxxI h) dxxI ∫ −=∗
π2009
0
8 2cos1 
Tích phân từng phần : 
Cho hai hàm số u và v có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ ]ba, , thì ta có : 
 [ ]∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv 
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : 
 *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải ñặt xu ln= hay xu alog= . 
 *ưu tiên 2 : ðặt ??=u mà có thể hạ bậc. 
BÀI TẬP 
Tính các tích phân sau : 
 Trang 12 
a) ∫=
1
0
1 . dxexI
x b) ∫=
2
0
2
2 cos.
π
xdxxI c) ∫=
e
xdxI
1
3 ln 
Bài làm : 
a) ðặt : 



=⇒=
=⇒=
xx evdxedv
dxduxu
Vậy : ( ) 11.. 1
0
1
0
1
0
1
0
1 =−−=−=−== ∫∫ eeeedxeexdxexI xxxx 
b) ðặt : 



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
22
Vậy : ( )1sin.2
4
sin.2cos..
2
0
2
0
2
2
0
1
0
1 ∫∫∫ −=−−==
ππ
π π
xdxxxdxxxxdxexI x 
Ta ñi tính tích phân ∫
2
0
sin.
π
xdxx 
ðặt : 



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxduxu
cossin
Vậy : 1sincos.coscos.sin. 2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+−=+−= ∫∫
ππ
π
π
π
xxxdxxxxdxx 
Thế vào (1) ta ñược : 
4
8
.
21
0
1
−
== ∫
π
dxexI x 
c) ðặt : 




=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy : 1ln.ln.ln
01
1
1
1
3 =−=−== ∫∫
ee
e
e
e
xxxdxxxxdxI 
Tính các tích phân sau : 
a) ∫=
π
0
1 sin. xdxeI
x b) ∫=
4
0
22 cos
π
dx
x
x
I c) ( )∫=
πe
dxxI
1
3 lncos 
Bài làm : 
a) ðặt : 



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu xx
cossin
Vậy : ( )∫∫ ++=+−==
π
ππ
π
0
0
0
1 11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx 
 Trang 13 
ðặt : 



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu xx
sincos
Vậy : IxdxexexdxeJ xxx −=−== ∫∫
π
π
π
0
0
0
sin.sin.cos. 
Thế vào (1) ta ñược : 
2
1
12 11
+
=⇒+=
π
π eIeI 
b) ðặt : 




=⇒=
=⇒=
xvdx
x
dv
dxduxu
tan
cos
1
2
Vậy : ( )
2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
22
+=+=−== ∫∫
ππ π
π
π
π
xxdxxxdx
x
x
I 
c) ðặt : 
( ) ( )




=⇒=
−=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) JedxxxxdxxI
e
e
e
++−=+== ∫∫ 1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3
π
π
π
π
ðặt : 
( ) ( )




=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin
Vậy : ( ) ( ) ( ) 3
1
1
1
3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
−=−== ∫∫
π
π
π
Thế vào (1) ta ñược : ( )
2
1
12 33
+
−=⇒+−=
π
π eIeI 
Bạn ñọc tự làm : 
a) ∫ −=
2ln
0
1 . dxexI
x b) ( )∫ −=
e
dxxI
1
2
2 ln1 
c) ∫ 



 −=
2
23 ln
1
ln
1
e
dx
xx
I d) ( )∫ ++=
1
0
2
4 1ln dxxxI 
e) ( )∫=
3
4
5 tanln.sin
π
π
dxxxI f) ( )∫=
e
dxxI
1
2
6 lncos 
g) ∫=∗
4
0
2
7 2cos
π
xxI h) ∫ +
+
=∗
2
0
7
cos1
sin1
π
dxe
x
x
I x 
Tích phân hàm trị tuyệt ñối, min , max : 
 Trang 14 
Muốn tính ( )∫=
b
a
dxxfI ta ñi xét dấu ( )xf trên ñoạn [ ]ba, , khử trị tuyệt ñối 
Muốn tính ( ) ( )[ ]∫=
b
a
dxxgxfI ,max ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba, 
Muốn tính ( ) ( )[ ]∫=
b
a
dxxgxfI ,min ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba, 
Tính các tích phân sau : 
a) ∫ −=
4
1
1 2dxxI b) ∫ −+=
2
0
2
1 32 dxxxI 
Bài làm : 
 x 1 2 4 
a) 
 x-2 - 0 + 
Vậy : ( ) ( )
4
2
22
1
24
2
2
1
4
1
1 222
2222 





−+





−=++−=−= ∫∫∫ x
xx
xdxxdxxdxxI 
( ) ( ) ( )[ ]
2
5
4288
2
1
224 =−−−+










 −−−= 
b) Lập bảng xét dấu [ ]2,0,322 ∈−+ xxx tương tự ta ñược 
( ) ( )∫∫∫ −++−+−=−+=
2
1
2
1
0
2
2
0
2
1 323232 dxxxdxxxdxxxI 
. 
Tính ∫ −=
1
0
dxaxxI a với a là tham số : 
Bài làm : 
 x ∞− a ∞+ 
 x-a - 0 + 
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể ñánh giá ). 
Nếu 0≤a . 
4
3
3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1 =





++−+





−−=
x
xx
x
xxI
 Trang 15 
 ( )∫∫ −=





−=−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0 23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxIa 
Nếu 10 << a . 
 ( ) ( )∫ ∫∫ −+−−=−=
a
a
a dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0
223
1
3232
32132
0
32 aaxaxxax
a
a
+−=





+−+





−= 
Nếu 1≥a . 
 ( )∫∫ +−=





−−=−−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0 23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxIa 
Tính : a) ( )∫=
2
2
1 ,1min dxxI ( )∫=
3
2
2 ,max dxxxI 
Bài làm : 
a) Xét hiệu số : ( ) [ ]2,01 2 ∈∀− xx 
Vậy : ( )
3
4
3
,1min
2
1
2
0
32
1
1
0
2
2
0
2
1 =+=+== ∫∫∫ x
x
dxdxxdxxI 
b) Xét hiệu số : ( ) [ ]3,01 ∈∀− xxx tương tự như trên ta có . 
( )
6
55
32
,max
3
1
31
0
23
1
2
1
0
3
0
2
2 =+=+== ∫∫∫
xx
dxxxdxdxxxI 
Bạn ñọc tự làm : 
a) ( )∫
−
−=
3
2
2
1 3,min dxxxI b) ( )∫=
2
0
2 cos,sinmax
π
dxxxI c) ∫ −=
4
3
0
3 cossin
π
dxxxI 
d) ( )∫
−
−=
3
2
2
4 34,max dxxxI d) ∫ 


 −−+−+=∗
5
1
4 1212 dxxxxxI 
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : 
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp ñơn giản của tích phân Abel 
Dạng 1: ( )∫ ++ dxcbxaxxR 2, ở ñây ta ñang xét dạng hữu tỷ. 














∆−
+
+
∆−
=++→



<∆
> 22 21
40
0 bax
a
cbxax
a
( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
+=++
2
22 1,, Tới ñây , ñặt ut tan= . 
 Trang 16 
Dạng 2: 














∆−
+
−
∆−
=++→



<∆
< 22 21
40
0 bax
a
cbxax
a
( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
−=++
2
22 1,, Tới ñây , ñặt ut sin= . 
Dạng 3: 








−





∆−
+∆
=++→



>∆
>
1
2
40
0
2
2 bax
a
cbxax
a
 ( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆
+
=
−=++
2
22 1,, Tới ñây, ñặt 
u
t
sin
1
= . 
Dạng 4 (dạng ñặc biệt) : 
( ) ∫∫
+
=
++
=
+++
βα
ζµαβα
x
t
tt
dt
cbxaxx
dx
1
22
Một số cách ñặt thường gặp : 
( )dxxaxS∫ − 22, ñặt π≤≤= ttax 0cos. 
( )dxxaxS∫ + 22, ñặt 22tan.
ππ
<<−= ttax 
( )dxaxxS∫ − 22, ñặt ππ ktt
a
x +≠=
2cos
( )dxcbxaxxS∫ ++2, ñặt ( )






>±±=++
=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫ 






+
+
m
dcx
bax
xS , ñặt 0; ≠−
+
+
= cbad
dcx
bax
t m 
Tính : 
( )∫ ++
=
32 74xx
dx
I 
Bài làm : 
( ) ( )∫∫ += +
=
++ 2
3232 374 xt t
dt
xx
dx 
ðặt : ( )duudtut 1tan3tan3 2 +=⇒= 
Ta có ( )
( ) ∫∫
=
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
32
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3 
C
x
C
t
t
Cu +
++
+
=+
+
=+=
74
2
3
1
13
1
sin
3
1
22
 Trang 17 
Tính : a) ∫
++
=
12 xx
xdx
I b) ∫
−−
=
122 xxx
dx
I 
Bài làm : 
a) ∫∫∫
+
=
+
−
=
+




 +
=
++
3
12
222 1
13
2
1
4
3
2
11 xt
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx 
( )
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
+