Các phương pháp giải toán bằng máy tính Casio

, 88
khi bình ph−ơng có tận cùng là hai chữ số 4. - Tính trên máy bình ph−ơng của các số:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta đ−ợc: 462, 962, 38, 538 khi bình ph−ơng có tận cùng là 444.
* T−ơng tự cách làm trên, ta có kết luận: không có N nào để N2 kết thúc bởi 4444.
Bài 23: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn:
Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị 
Là số chính ph−ơng. 
H. Dẫn:
Gọi số cần tìm là: n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 . 
Đặt x = a1 a2 a3 . Khi ấy a4 a5 a6 = x +1 và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2 
hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là −ớc của một trong hai thừa số của vế trái và số còn lại phải là −ớc của thừa số còn lại của vế trái.
Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số: n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bài 24: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393 cũng nh− 655 đều có số d− là 210.
H.Dẫn:
30	
- Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 x -210 chia hết cho 393 x = 655.q2 + 210 x -210 chia hết cho 655
x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965 
x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210 
- Từ giả thiết 10000 < x < 15000 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 5 ≤ k < 8.
Tính trên máy:
Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035
Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000
Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965
Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965
Bài 25: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9.
Giải:
- Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x, y, z sao cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315.
Ta có 579xyz
= 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
chia hết cho 315. Vì 30 ≤ 30 +
< 1029 nên (Dùng máy tính tìm các bội của 315
30 +
xyz
xyz
trong khoảng (30 ; 1029):
- Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285
- Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600
- Nếu 30 + xyz = 945 thì xyz = 945 - 30 = 915
Vậy ta có đáp số sau:
x
y
z
2
8
5
6
0
0
9
1
5
Bài 26: (Thi Quốc tế IMO 1962):
Tìm số nguyên d−ơng nhỏ nhất có tính chất sau: 1) Viết d−ới dạng thập phân a có tận cùng là số 6.
31	
2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cùng và đặt chữ số 6 lên tr−ớc các chữ số còn lại sẽ đ−ợc một số gấp 4 lần chữ số ban đầu.
Giải:
Giả sử số cần tìm có n + 1 chữ số. 
Từ điều kiện 1) số đó dạng: a1 a2 ...an 6 
- Từ điều kiện 2), ta có: 6 a1 a2 ...an
= 4. a1 a2 ...an 6
(*)
- Đặt a =
, thì:
a1 a2 ...an
a1 a2 ...an 6
= 10a + 6
= 6.10n + a
6 a a ...a
n
1 2
- Khi đó (*) trở thành:
6.10n + a = 4.(10a + 6) 2.(10n - 4) = 13a (**) Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13.
Vì (2 ; 13) = 1 nên: 10n - 4 chia hết cho 13.
Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để (10n - 4) chia hết cho 13, khi đó tìm ra số a và số cần tìm có dạng: 10a + 6.
Thử lần l−ợt trên máy các giá trị n = 1; 2;... thì (10n - 4) lần l−ợt là: 6, 96, 996, 9996, 99996,... và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996. Khi đó a = 15384 Số cần tìm là: 153846.
Bài 27: Tìm số tự nhiên n sao cho:
2n + 7 chia hết cho n + 1 
n + 2 chia hết cho 7 - n 
H.Dẫn:
a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần l−ợt n = 0, 1, 2,... ta đ−ợc n = 0 và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Chứng minh với mọi n ≥ 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy: (2n + 7) (n + 1) [(2n + 7) - 2(n + 1)] (n + 1) 5 (n + 1) n ≤ 5. Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4.
b) T−ơng tự ta có: n = 4 hoặc n = 6.
32	
Bài 28: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều là số 1.
Giải:
Nhận xét:
1) Để n3 có tận cùng là 11 thì n có tận cùng là số 1. Thử trên máy các số: 11, 21, 31,...81, 91
đ−ợc duy nhất số 71 khi luỹ thừa bậc ba có tận cùng là 11.
Để n3 có tận cùng là 111 thì n có phải tận cùng là số 471. 
(Thử trên máy với các số: 171, 271, 371,...871, 971 ) 
Để n3 có tận cùng là 1111 thì n phải có tận cùng là số 8471. 
(Thử trên máy với các số: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 )
- Giả sử m là số chữ số đứng giữa các số 111 và 1111:
+ Nếu m = 3k, k Z+, thì:
111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4
(111000...
00 0000
< 111
...
1111
< 112 000...00 0000 )
3k
4
m =3k
3k
4
3 1110.10k +1 < 3 n3 = 3 111...1111 < 3 1120.10k +1 
Tính trên máy:
10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do đó, với k ≥ 1. Cho k = 1 ta đ−ợc n bắt đầu bằng số 103, nghĩa là: n = 103...8471
Số nhỏ nhất trong các số đó là: n = 1038471
+ Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta đ−ợc các số này đều v−ợt quá số 1038471
Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó:
(tính kết hợp trên máy và trên giấy): n3 = 1119909991289361111
33	
Bài 29: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89
b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong đó xxxxxx là 6 số có thể khác nhau).
Giải:
a) Tr−ớc hết ta tìm số n2 có tận cùng là 89:
Vì n2 có tận cùng là 9 nên n chỉ có thể có tận cùng là 3 hoặc 7. 
Thử trên máy các số: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta tìm đ−ợc: 
để n2 có tận cùng là 89 thì n phải có 2 số tận cùng là một trong các số sau:
17, 33, 67, 83 (*)
* Bây giờ ta tìm số n2 bắt đầu bởi số 19:
- Để n2 bắt đầu bởi số 19 thì nó phải có dạng:
19 x 10k ≤ n2 < 20 x 10k 19.10 k ≤ n < 20.10k (1) + Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
19.10 m ≤ n < 20.10m
4,3588989.10m ≤ n < 4,472135955.10m (2) Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy):
ta đ−ợc n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447
+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
190.10 m ≤ n < 200.10m
13,78404875.10m ≤ n < 14,14213562.10m (3) Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy): ta đ−ợc n có thể là: 14, 138, 139, ... , 141
1379, 1380, 1381, ... , 1414
Tóm lại để n bắt đầu bởi số 19 thì n có thể là:
14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**)
Từ (*) và (**) ta nhận thấy trong các số trên chỉ có số 1383 thoả mãn bài toán. b) Ta có: 2525 x 108 ≤ x2 < 2526 x 108
50,24937811 x 104 ≤ x < 50,25932749 x 104
Vậy : 502493 < x < 502593
Số x tận cùng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mãn là:
502517, 502533, 502567, 502583.
34	
Bài 30: Với giá trị tự nhiên nào của n thì: 1,01n - 1 n.
Giải:
- Ta có:
1,01512 ≈ 163,133... < 512
1,011024 ≈ 26612,56.. > 1024 Vậy: 512 < n < 1024
Thu hẹp khoảng cách chứa n bằng ph−ơng pháp chia đôi: - Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có:
521+1024
768
 2083, 603... 768
1, 01
2
 1, 01
Vậy lại có: 512 < n < 768
Sau một số b−ớc chia đôi nh− thế đi đến: 650 < n < 652
Cuối cùng ta có: 1,01651 = 650,45... 652
n = 652
Ta hoàn toàn giải bài toán trên bằng một quy trình trên MTBT:
(Thuật toán: Xét hiệu 1,01A - A , gán cho A các giá trị tự nhiên: 0, 1, 2,...
dừng lại khi hiệu trên chuyển từ (-) sang (+))
- Gán cho ô nhớ
A giá trị tự nhiên đầu tiên:
0
SHIFT
STO
A
- Lập công thức tính hiệu 1,01A - A và gán giá trị ô nhớ bởi số tự nhiên kế tiếp:
1,01
ANPHA
A -
ANPHA
A
:
ANPHA
A
ANPHA
=
ANPHA
A + 1
- Lặp lại công thức trên:
=
... =
Bài toán kết thúc khi chuyển từ n = 651 sang n = 652.
35	
7. Một số dạng toán khác:
7.1 Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa:
Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến). 
Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến). 
Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến). 
Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến). 
...
Bài 31: Tìm số d− khi chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317)
Giải:
- Giả sử A, B là hai số tự nhiên có tận cùng là 376, thì:
A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762
= 2000t + 1376; với a, b t N
A.B chia 2000 có số d− là 1376.
Với k > 1 khi chia 13376k cho 2000 (thực hiện (k - 1) lần phép nhân 2 số đều có tận cùng là 376 rồi chia cho 2000) thì đ−ợc d− là 1376. Đề bài ứng với k = 2005!
Bài 32: Tìm 2 chữ số tận cùng của số:
A = 21999 + 22000 + 22001
H.Dẫn:
Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980 
7 x 29 x 210 x (220)99 
Ta có (dùng máy): 29 = 512 
210 = 1024 ;
220 = 1048576
Nhận xét: số có 2 chữ số tận cùng là 76, luỹ thừa bậc bất kỳ cũng có 2 chữ số tận cùng là 76. Vậy (220)99 cũng có 2 số tận cùng là 76.
21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = .....16. Vậy 2 chữ số cuối cùng của A là 16
(Xem cách giải khác ở bài 12)
36	
Bài 33: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994.
Giải:
Ta có: 54 = 625 
Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625 
Do đó: 
51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625. Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994 là 5625.
7.2 Khai triển nhị thức Newton v b i toán chia hết:
-Ta có khai triển:
( a + b )n = a n + C n1 a n −1b + C n2 a n − 2 b 2 + ... + C nn −1 ab n −1 + bn
= a n + na n −1b + n ( n + 1) a n − 2 b2 + n ( n − 1)( n − 2) a n − 3b3 + ... + n ( n− 1) a 2 b n − 2 + nab n −1 + bn 1.2 1.2.3 1.2
- Khi chứng minh về tính chia hết của các luỹ thừa, cần nhớ một số kết quả sau:
1)
an - bn chia hết cho a - b (a ≠ b)
2)
a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b (a ≠ -b)
3)
(a + b)n = BS a + bn
(BS a: bội số của a)
Đặc biệt:
(a + 1)n
=
BS a + 1
(a - 1)2n
=
BS a + 1
(a - 1)2n + 1 =
BS a - 1
Bài 34: Tìm số d− khi chia 2100 cho:
a)
9
b)
5
c)
125
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 9 là 23 = 8 = (9 - 1)
Ta có: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7