Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng

 ⇔ − =   
   
. 
Chọn ( ) ( ) ( ); 8 sin 2 .
2 2 2
x y y R f y f y y g bpi pi pi   = + ∈ ⇒ + − = −   
   
. 
 14 
( ) ( ) ( )sin 2 .
2 2 2
a b f y f y y g cpi pi pi     + ⇒ + − − = −     
     
. 
Theo (8): ( ) ( )2
2 2
f y f y g y dpi pi   + − − = −   
   
. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 sin 2 . 2 sin 2 sin
2
c d g y y g y R g x a x g x a xpi + ⇒ = ∀ ∈ ⇒ = ⇒ = 
 
x R∀ ∈ . 
(với 
2
a g pi =  
 
 cho trước.) 
Cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0; 0 cos . sin 2 ( 0 ) ,
2
ay x R f x f x g x f x x b b f x R= ∈ ⇒ − = ⇒ = + = ∀ ∈ . 
Thử lại 2 hàm số: 
( )
( )
sin 2
2
sin
af x x b
g x a x

= +

 =
 (Với a, b là hằng số cho trước). Thỏa mãn (8). 
Ví dụ 9: Tìm :f R R→ thỏa mãn: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
1 1
1 0
f x f x x R a
f x f x x R b
f xf x c
x x


− = − ∀ ∈


+ = + ∀ ∈

 
= ∀ ≠   
. 
Lời giải: 
Ta tính 1xf
x
+ 
 
 
 ñến ( )f x theo hai cách: 
( ) ( )21 1 11 1 1 0f xxf f f x ax x x x
+     
= + = + = + ∀ ≠     
     
. 
2
2 2
11
1 1 11 1 1
1
1 1
xf f
x xx xf f
x x xx x
x x
   
−   + +  + +        
= = = + − =      +         
   + +   
( )
( )
2 2
2
11 1 11 1
1 1
f xx xf
x x x x
 + +   +     
= + − = − =          +      +    
( )
( ) ( )
2
2
11 1 0, 1 
1
f xx
x x b
x x
 ++ 
− ∀ ≠ ≠      + 
. 
( ) ( ) ( ) 0; 1a b f x x x x+ ⇒ = ∀ ≠ ≠ . 
Với ( ) ( )0; 0 0x a f= ⇒ = thỏa mãn ( )f x x= . 
Với ( ) ( ) ( )1; 1 1x a f f= ⇒ − = − : 
Cho ( ) ( ) ( )0; 1 1 1 1x b f f= ⇒ = ⇒ − = − thỏa mãn ( )f x x= . 
 15 
Vậy ( )f x x x R= ∀ ∈ . Thử lại thấy ñúng . 
Ví dụ 10: Tìm { }: \ 0f R R→ thỏa mãn: 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
. , 0
x , 0
f a
f f f x y b
x y x y
x y f x y xy f f y x y xy x y c
=

     
= ∀ ≠     +     
 + + = ∀ + ≠ tháa mn 
. 
Lời giải: 
Cho ( )*,x y R b= ∈ ta ñược: ( ) ( ) ( )1 12 2 2 0 *
2
f f f x f x x
x x
   
= ⇒ = ∀ ≠   
   
Cho ( )*,x y R c= ∈ ta ñược: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 '2 2 2 2 0 *x f x x f x f x x f x x= ⇔ = ∀ ≠ . 
Thế (*) vào (*’) suy ra: ( ) ( )( ) ( )2 " *f x x f x= . 
Giả sử: *1,o ox x R∃ ≠ ∈ sao cho: f(xo) = 0. Thay 1 ;o ox x y x= − = vào (*”) ta ñược: f(1) = 0 
trái với giả thiết f(1) = 1. Vậy ( ) 0 1; 0f x x x≠ ∀ ≠ ≠ . 
Vì ( )1 1 0f = ≠ nên từ (*”) suy ra ( ) 1 0f x x
x
= ∀ ≠ . Thử lại thấy ñúng. 
Ví dụ 11: Tìm :f R R→ thỏa mãn: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )4
1 1 
2 ,
1
 0 
f a
f x y f x f y xy x y R b
f xf x c
x x


=


+ = + + ∀ ∈

 
= ∀ ≠   
. 
Lời giải: 
Cho ( ) ( )0, 0 0x y b f= = ⇔ = 
Cho ( ) ( ) ( ) ( )20, 2 2 2 1x y t b f t f t t= = ≠ ⇔ − = . 
Cho ( ) ( )21 1 1 1, 2 *2 2 2x y b f ft t t t
   
= = ⇔ − =   
   
Từ ( ) ( ) ( )( )44
21 1
;
2 2
f t f t
c f f
t t t t
   
⇒ = =   
   
. Thế vào (*) ta ñược: ( ) ( )( ) ( )44 2
2 12 2
22
f t f t
t tt
− = . 
( ) ( ) ( ) 21 2 0f t t t+ ⇒ = ∀ ≠ . Từ ( ) ( ) 20 0f f t t t R= ⇒ = ∀ ∈ . Thử lại thấy ñúng. 
Ví dụ 12: Cho hàm số ( ) ( ): 0; 0;f + ∞ → + ∞ thỏa mãn: 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), 0; 12f xf y f y f f x x y
y
 
= ∀ ∈ + ∞ 
 
. 
 16 
Lời giải: Cho: 
( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 . 1 1 1x y f f f f f f= = ⇒ = ⇒ = vì ( )( ) ( )( )1 0 1 1f f f f≠ ⇒ = . 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1; 0; 1
ff y
x y f y f y f f y f y f y a
y y
 
    
= ∈ + ∞ ⇒ = = ⇔ = 
 
. 
Mặt 
khác: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
1
1
f f yyf f y f y f y f f y f y f y f y y f y f
y y
y
    
          = = = =       
      
 ( ) ( )( )1 1y f y f f f y
y y
 
=  
 
. 
Vì ( )( ) 0f f y ≠ nên ( ) ( ) ( )1 1 11 1y f y f f y f b
y y y
   
= ⇔ =   
   
. 
( ) ( ) ( ) ( )1 0;a b f y y
y
+ ⇒ = ∀ ∈ + ∞ . Thử lại thấy ñúng. 
Ví dụ 13: Tìm :f R R→ thỏa mãn: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10
2
: ,
f a
a R f a y f x f a x f y f x y x y R b

=

∃ ∈ − + − = + ∀ ∈
. 
Lời giải: 
Cho ( ) ( ) 10,
2
x y b f a= = ⇒ = . 
Cho 0;y x R= ∈ ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 0 .f x f x f a f f a x f x f a x c= + − ⇒ = − . 
Cho ;y a x x R= − ∈ ta ñược: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2f a f x f a x d= + − . 
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
2
1
1 22
12
2
f x
c d f x
f x

=
+ ⇒ = ⇔ 

= −

. 
Nếu ox R∃ ∈ sao cho: ( ) 12of x = − thì: 
( ) ( ) ( )
2
1 2 . 2 0
2 2 2 2 2 2
b c
o o o o o
o
x x x x xf x f f f a f        − = = + = − = ≥        
        
 ⇒ Vô lí. 
Vậy ( ) 1
2
f x x R= ∀ ∈ . Thử lại thấy ñúng. 
 17 
Ví dụ 14: (VMO.1995) 
Tìm :f R R→ thỏa mãn: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 2 , 14f x y x y f x f y x y R− = − + ∀ ∈ . 
Lời giải: 
Cho ( ) ( )( ) ( )( )
2 0 00 0 0
0 1
f
x y f f f
=
= = ⇒ = ⇔ 
=
. 
Nếu ( )0 0f = : Cho 0y
x R
=

∈
 ta ñược: ( ) ( )2 2 0f x x f t t t= ⇒ = ∀ ≥ 
Cho x y R= ∈ ta ñược: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 220 2 0f x x f x f x f x x f x x= − + ⇔ − = ⇔ = . 
Thử lại thấy ñúng. 
Nếu ( )0 1f = : Cho 0y
x R
=

∈
 ta ñược: ( ) ( )2 2 1 1 0f x x f t t t= + ⇔ = + ∀ ≥ . 
Cho 0;x y R= ∈ ta ñược: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 22 22 2f y y f y f y f y y= − + ⇒ = + 
 ( ) ( )( )
22
1
1 2 1
1
f y y
y y y f y y
= +
= + + = + ⇒ 
= − −
. 
Giả sử oy R∃ ∈ sao cho: ( ) 1o of y y= − − . Chọn ox y y= = ta ñược: 
( ) ( )( ) ( )( )
22
1
1 2
1
o o
o o o o
o o
f y y
y y f y f y f y y
= −
= − + ⇔ 
= +
. 
Nếu ( ) ( )1 1 1 0 0 1 (o o o o of y y y y y f= − ⇒ − − = − ⇒ = = −vµ lo¹i) . 
Nếu ( ) ( )1 1 1 1 1 0o o o o of y y y y y f= + ⇒ − − = + ⇒ = − ⇒ − = . 
Thỏa mãn: ( ) 1o of y y= + . Vậy ( ) 1 f y y y R= + ∀ ∈ . Thử lại thấy ñúng. 
Ví dụ 15: (VMO.2005) 
Tìm :f R R→ thỏa mãn: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 15f f x y f x f y f x f y xy x y R− = − + − ∀ ∈ . 
Lời giải: 
Cho ( )( ) ( )( )20 0 0x y f f f= = ⇒ = . ðặt ( ) ( ) 20 f a f a a= ⇒ = . 
Cho ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 *x y R f x x f a f x x a= ∈ ⇒ = + ⇒ = + . 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 f x f xf x f x f x f x
= −
⇒ = − ⇒ 
= − −
. 
Nếu *ox R∃ ∈ sao cho ( ) ( )o of x f x= − : 
+ Chọn ( )( ) ( ) ( ) ( )0; o o o ox y x f f x a f x a f x a= = − ⇒ = − − + − . 
 18 
+ Chọn ( )( ) ( ) ( ) ( )0; o o o oy x x f f x a f x a f x b= = − ⇒ = + − . 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 0o o o oa b a f x f x f x f x a c+ ⇒ − − − + − + = . 
Vì ( ) ( )o of x f x= − nên ( )
( ) ( )( )* 2 2 2 2 2 20 0 0o o of x a f x x a a x a x= ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = trái với 
giả thiết *ox R∈ . 
Vậy ( ) ( )f x f x x R= − − ∀ ∈ . Ta thấy (c) không phụ thuộc vào xo nên ta có: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 0a f x f x f x f x a c− − − + − + = . Thay ( ) ( )f x f x= − − suy ra: 
( )( ) ( )
0
1 0
1
a
a f x f x
=
+ = ⇔ 
= −
. 
+ Nếu 
( ) ( )( ) ( )( )
* 2 20
f x x
a f x x f x x
=
= ⇒ = ⇔ 
= −
. 
Giả sử tồn tại *ox R∈ ñể ( )o of x x= . Khi ñó (b) suy ra: 
( ) 0o o o o ox f x a x a x x= = + − ⇒ = trái giả thiết *ox R∈ . 
Vậy ( ) f x x x R= − ∀ ∈ . Thử lại thấy ñúng 
+ Nếu ( ) 1 f x x R= − ∀ ∈ . Thử lại ta ñược ( )15 2 ,xy x y R⇔ = ∀ ∈ . Vô lí. 
Vậy hàm số cần tìm là: ( )f x x= − . 
Nhận xét: Có một suy luận hay nhầm lẫn ñược sử dụng các VD: 
VD13 ( )( )
( )
( )
2
1
1 2
14
2
f x
f x
f x
 
= 
 = ⇔ 
 
= −  
; VD14 ( )( ) ( ) ( )( )
2 2 11
1
f y yf y y f y y
 = +
 = + ⇔ 
 = − − 
 ; 
VD15 ( )( ) ( )( )
2 2
f x xf x x f x x
 =
 = ⇔ 
 = − 
, ñó là hiểu sai: 
( )( )
( )
( )
2
1
1 2
14
2
f x x R
f x
f x x R

= ∀ ∈
= ⇔ 

= − ∀ ∈

; 
( )( ) ( ) ( )( )
2 2 11
1
f y y x Rf y y f y y x R
= + ∀ ∈
= + ⇔ 
= − − ∀ ∈
; 
( )( ) ( )( )
2 2
f x x x Rf x x f x x x R
= ∀ ∈
= ⇔ 
= − ∀ ∈
. 
 19 
Thực tế thường là như vậy nhưng về mặt logic thì không ñúng. ( )( )2 1
4
f x = thì ( )f x có thể 
là hàm khác nữa như ( )
( )
( )
1 0
2
1 0
2
x
f x
x
 ≥
= 

− <

. Như vậy ( )( )
( )
( )
2
1
1 2
14
2
f x
f x
f x

=
= ⇔ 

= −

 chỉ 
ñúng với mỗi x cụ thể chứ không thể kết luận chỉ có hai hàm số ( ) 1 
2
f x x R= ∀ ∈ hoặc 
( ) 1 
2
f x x R= − ∀ ∈ . 
ðể giải quyết vấn ñề này ta thường “thử” ( ) 1 
2
f x x R= ∀ ∈ hoặc ( ) 1 
2
f x x R= − ∀ ∈ vào ñề 
bài ñể tìm hàm số không thỏa mãn (trong VD13 thì ( ) 1
2
f x = không thỏa mãn) sau ñó lập 
luận phủ ñịnh là ( ) 1:
2o o
x f x∃ = − ñể dẫn ñến vô lí! 
Ví dụ 16: Tìm : (0,1)f → ℝ thỏa mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) , , (0,1)x y z∀ ∈ . 
Lời giải: 
Chọn x = y = z: f(x3) = 3xf(x). 
Thay x, y, z bởi x2: f(x6) = 3 x2 f(x2). 
Mặt khác: f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3). 
⇒ 3 x2 f(x2) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) ⇔ 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x) 
3
2 3 1( ) ( ),
2
xf x f x x+⇒ = ∀ ∈ℝ 
Thay x bởi x3 ta ñược : 
9
6 3
9
2 2
3 9
2
3 1( ) ( ),
2
3 13 ( ) 3 ( ),
2
3 1 3 13 ( ) 3 ( ),
2 2
( ) 0, 0
xf x f x x
x
x f x xf x x
x x
x f x xf x x
f x x
+
= ∀ ∈
+
⇒ = ∀ ∈
+ +
⇒ = ∀ ∈
⇒ = ∀ ≠
ℝ
ℝ
ℝ
Vậy f(x) = 0 với mọi x ∈(0; 1). 
BÀI TẬP 
1) Tìm :f N R→ thỏa mãn: ( ) ( ) 50 0; 1
2
f f≠ = ; 
( ) ( ) ( ) ( ) , ,f x f y f x y f x y x y N x y= + + − ∀ ∈ ≥ . 
2) Tìm :f N R→ thỏa mãn: ( ) ( ) ( )3 , ,f m n f n m f n m n N n m+ + − = ∀ ∈ ≥ . 
 20 
3) Tìm :f R R→ thỏa mãn: ( )( ) ( ) ,f x f y y f x x y R= ∈ . 
4) Tìm :f R R→ thỏa mãn: ( ) ( )( ) ( )( )1 1 ,f x f y y f x x y R+ = + ∈ . 
5) Tìm ( ) ( ): 0; 0;f + ∞ → + ∞ thỏa mãn: 
( ) ( ) ( ) ( )2 20;ax 0;yf x M x y y x f y x∈ +∞  = + − ∀ ∈ + ∞  . 
6) Tìm :f R R→ thỏa mãn: ( ) ( ) ( )1 2 1 ,f xy f x y f x y xy x x y R− − + + + = + + ∀ ∈ . 
7) Tìm [ ) [ ): 1; 1;f + ∞ → + ∞ thỏa mãn: ( ) ( ) ( )( )( ) [ ), 1;
f xy f x f y
x yf f x x
= ∀ ∈ + ∞
=
. 
8) Tìm :f R R→ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ,f xy f x f y f x y x y R=