Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

; ≠ 
Bài mẫu: Giải phương trình: 
1
5 .8 500
x
x x
−
= (*) 
Ta có (*)
3( 1) 3 3
3 2 3 3
2 25 .2 5 .2 5 .2 1 log 5 .2 log 1
x x x
x x xx x x
− − −
− −
 
⇔ = ⇔ = ⇔ = 
 
 2 2 5
3 1( 3) log 5 0 ( 3) log 5 0 3 log 2xx x x x
x x
−  
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = − 
 
Bài tập: 
1) 
2 4 33 25.125x x− = 2) 23( 2)8 36.3
x
xx ++
= 3) 
2 22 .3 1,5x x x− = 
4) 24 .6 2.9x x x= 5) 13 .8 36
x
x x+
= 6) 
3
2 15 .2 4
x
x x− +
= 
7) 
4 tan 24 1600
x
x = 8) 
4 tan 100xx = 9) 
2
25 5log 5 1 log 77 x x− = 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 7 
2.5. Phương pháp dùng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ: 
 Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ...u x u x u x u xna a a b+ + + = với 0 , 1ka b< ≠ ; { }1 2 nMax a ,a ,...,a b< 
 Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ...u x u x u x u xna a a b+ + + = với 0 , 1ka b 
Bài mẫu: 
Bài 1: Giải phương trình: 23 1 2
x
x+ = (*) 
Ta có (*) 23 1 2
x
x x⇔ + = 3 1( ) 1
2 2
x x
f x    ⇔ = + =       
Do 3 2
x
y  =  
 
 và ( )12 xy = giảm nên ( )3 1( ) 2 2x xf x  = +   giảm. 
Vậy: + Nếu x=2, ta có : ( )2 2 3 13 1(2) 12 2 4 4f VP = + = + = =   ⇒ x=2 là một nghiệm của PT . 
 + Nếu x >2, ta có: ( ) (2) 1 2f x f x ⇒ PT vô nghiệm. 
 + Nếu x = ∀ < ⇒ PT vô nghiệm. 
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 2 
Bài 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )4 15 4 15 2 2x x x+ + − = (*) 
Ta có: PT(*) 4 15 4 15( ) 1
2 2 2 2
x x
f x    + −⇔ = + =      
   
Ta có : 4 15 1
2 2
+
> ; 4 150 1
2 2
−
< < nên 4 15
2 2
x
y
 +
=   
 
 tăng, 4 15
2 2
x
y
 
−
=   
 
 giảm. 
Xét 2 khả năng: 
 + Nếu 0x ≥ thì: 
0
4 15 4 15 4 15( ) 0 1
2 2 2 2 2 2
x x
f x      + − += + > + =          
     
 + Nếu 0x ≤ thì: 
0
4 15 4 15 4 15( ) 0 1
2 2 2 2 2 2
x x
f x      + − −= + > + =          
     
Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. 
Bài 3: Giải phương trình: 2 2sin os2009 2009 cos2x c x x− = (*) 
Ta có: PT(*) 2 2 2 2sin os 2 2 sin 2 os 22009 2009 cos - sin 2009 sin 2009 cosx c x x c xx x x x⇔ − = ⇔ + = + 
ðặt ( ) 2009uf u u= + ⇒ f(u) tăng, nên :(*) 2 2(sin ) (cos )f x f x⇔ = 
 2 2 2 2sin cos cos sin 0 2 0 ,
4 2
x x x x cox x x k k Zpi pi⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ 
Bài tập: 
1) 24 9 7
x
x
= + 2) 23 4 5
x
x
− = 3) 3 4 5 14 8x x x x+ + + = 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 8 
4) 2 28 3 2 39
x x
x
− − = 5) 12 3 6 (0,7)x x x x++ + = 6) 15.2 4.7 2,35.10 6.5 4.3x x x x x+ = − − 
7) 22 5 29
x
x x+ = 8) ( ) ( )2 3 2 3 4x x x− + + = 9) ( ) ( ) ( )6 4 2 17 12 3 34 24 3 1x x x− + − + − = 
10) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 5x x x− + + = 11) 2 2log 3 log 5x x x+ = 12) 2 2log 3 log 7 2x x x+ = − 
13) 2 (3 2 ) 2(1 2 ) 0x xx x− − + − = 14) .2 (3 ) 2(2 1)x xx x x= − + − 15) 38 .2 2 0x xx −− + = 
16) 2 2( 2)4 4( 1)2 16 0x xx x− −+ + + − = 17) 2 23.25 (3 10)5 3 0x xx x− ++ − + − = 18) 2 3 5 10x x x x+ + = 
2.6. Phương pháp ñánh giá: 
 Sử dụng BðT Côsi, Bunhiacopxki và Bernoulli ñể ñánh giá. 
• BðT Côsi: Cho 1 2 3, , , ..., 0na a a a ≥ . Khi ñó: 
1 2 3
1 2 3
...
. . ...
n n
n
a a a a
a a a a
n
+ + + +
≥ 
 dấu “ =” xảy ra khi 1 2 3 ... 0na a a a= = = = ≥ . 
• BðT Bunhiacopxki: 
 ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2. . ... . ... ...n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + 
 dấu “ =” xảy ra khi 1 1a b= ; 2 2a b= ; ...; n na b= 
• BðT Bernoulli: Cho 0t > . Khi ñó: 
(1 ) 1 0 1
(1 ) 1 0 1
t t
t t
α
α
α α α
α α
 + − ≥ ∀ ≤ ∨ ≥

+ − ≤ ∀ ≤ ≤
 dấu “ =” xảy ra khi α = 0 hoặc α = 1 
Bài tập: 
 1) 3 2 3 2x x x+ = + 2) 3 5 6 2x x x+ = + 3) 4 5 6 12 3x x x x+ + = + 
 4) 4 2 4 2x x x+ = + 5) 227 (6 4 1).9x xx x= − + 
 6) 2 2 2 2 18 7 8 9 8 7 8 9 2
x x
xx x x x x x x x +
   
− + + − − + − + − − − =   
   
V. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
1. Bất phương trình mũ cơ bản 
( ) ( )f x g xa a> 
0 1
( ) ( )
1
( ) ( )
a
f x g x
a
f x g x
 < <



>
[ ]
0
( 1) ( ) ( ) 0
a
a f x g x
>
⇔ 
− − >
2. Phương pháp giải: 
a) Phương pháp ñưa về cùng một cơ số: 
1) 
1
1 114 .32
4
x x
x x
−
+ −≤ 2) 2 3 4 1 22 2 2 5 5x x x x x+ + + + +− − > − 3) 1 12 2 3 3x x x x+ −+ ≤ + 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 9 
4) ( ) ( ) 11 15 2 5 2 xx x−− ++ ≤ − 5) ( ) ( )1 12 1 2 1 xx x+ −+ ≤ − 6) ( ) ( )3 11 310 3 10 3x xx x+ +− ++ ≤ − 
7) 2 2 22 13 3 2.5x x x+ ++ ≤ 8) 72 1 13 1
3 3
x x
   
>   
   
 9) 2 1 2 3 2 5 7 5 32 2 2 2 2 2x x x x x x− − − − − −+ − > + − 
10) 18 6.9 xx −≥ 11) 
6 32 1 11 1
2 2
x x x− + −
   
<   
   
 12) 23 3log log2 .5 400x x < 
13) 2lg 2 lg 53 3 2x x+ + 15) ( ) 2 5 63 1x xx − ++ > 
16) ( ) 62 8 16 1xx x −− + − + 
19) ( ) 2 232 21 1 x xx x +− ≤ − 20) 
1
lg
.lg 1xx x < 21) 2lg 10xx ≥ 22) 2log 2xx ≥ 
b) Phương pháp ñặt ẩn số phụ ñưa về phương trình bậc 2, bậc 3: 
1) 2 2 22.49 9.14 7.4 0x x x− + ≥ 2) 2 2 22 1 2 1 225 9 34.15x x x x x x− + − + −+ ≥ 3) 2 10 3 2 5 1 3 25 4.5 5x x x x− − − − + −− < 
4) 2 2 21 2 6 24 2 52 4x x x− − −+ > + 5) 1 2 1 23 2 12 0
x
x x+ +
− − < 6) 4 418.3 9 9x x x x+ ++ ≥ 
7) 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x+ + +− − > 8) 
12 2 1 0
2 1
x x
x
−
− + ≤
−
 9) 1 1 1
1 2 5
2 1 2 1 3(2 2 )x x x x− − − −+ <+ − + 
10) 9 3 2 3 9x x x− + > − 11) 13 5 2(13 12) 13 5x x x− ≤ + − + 12) 2(5 4) 5 3 5 3x x x+ − − ≤ + 
13) ( ) ( ) ( )26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1x x x+ + + − − < 
c) Phương pháp ñặt thừa số chung ñưa về phương trình tích: 
 1) ( )2 2 2114 2 2 1xx x x ++ −+ ≥ + 2) 2 1 24 .3 3 2 .3 2 6x x xx x x x++ + < + + 
 3) 2 2 1 24 8 2 4 ( )2 .2 2x xx x x x x x++ − > + − + − 4) 2 2 22 5 3 2 2 .3 2 5 3 4 .3x xx x x x x x x− − + > − − + 
 5) 2 2 2 2 2.2 9( 2).2 8 ( 2)2 9 .2 8 16x x x xx x x x x x+ + + ≤ + + + + 
d) Phương pháp dùng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ: 
 1) 1 12 3 6 1x x x+ ++ < − 2) 
1
5 2 29
2 5 10
x
x   
+ >   
   
 3) 
16 3 10
2 1
x
x x
+
−
>
−
 4) 
12 2 1 0
2 1
x
x
x
−
− + ≤
−
 5) 
23 3 2 0
4 2
x
x
x
− + − ≥
−
 6) 
1
1
2 5.3 1
2 3
x x
x x
+
+
−
<
−
 7) 
23 28. 1
33 2
xx
x x
+
 
> +  
−  
 8) 2 2 2 21 24 .2 3.2 .2 8 12x x x xx x x++ + > + + 
e) Bất phương trình mũ chứa tham số: 
Bài 1: Tìm m ñể BPT sau có nghiệm: 
 a) 2 2 2sin s sin2 3 .3x co x xm+ ≥ b) 49 5.7 0x x m− + ≤ c) 4 .2 ( 3) 0x xm m− + + ≤ 
Bài 2: Tìm m ñể BPT sau: 
 a) Nghiệm ñúng 2: .4 ( 1).2 ( 1) 0x xx m m m+∀ ∈ + − + − >ℝ 
 b) Nghiệm ñúng 0 : (3 1).12 (2 ).6 3 0x x xx m m∀ > + + − + > 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 10 
 c) Nghiệm ñúng 10 : .2 (2 1).(3 5) (3 5) 0x x xx m m+∀ ≤ + + − + + < 
 d) Nghiệm ñúng 2 2 22 2 21 : .9 (2 1).6 .4 0
2
x x x x x x
x m m m
+ − −∀ ≥ − + + ≤ 
VI. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
1. Phương pháp ñưa về cùng một cơ số: 
 ðưa phương trình về dạng: 
0 1
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0a a
af x g x f x g x
< ≠
= ⇔ 
= >
Chú ý: Việc lựa chọn ñiều kiện ( ) 0f x > hoặc ( ) 0g x > tùy thuộc vào ñộ phức tạp của ( )f x và ( )g x . 
Bài tập: 
1) 32 2log (4 1) log (2 6)x xx ++ = + − 2) 2 2 4 2 4 22 2 2 2log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1)x x x x x x x x+ + + − + = + + + − + 
3) 23 1 9
3
log (2 54) log ( 3) 2 log ( 4)x x x− + + = − 4) 2 12
2
2log log log 9x x x+ + = 
5) 2 4 1
2
log log log 3x x+ = 6) 3 13
3
log log lg 6x x x+ + = 7) 2 1
2
log 1 log 2 0
2 2
x x 
− + − = 
 
8) 
3 273 .log 2 4 logx x x x+ = + 9) 22 4.log 1 2 2logx x x x+ = + 10) 
2lg 1
lg(5 4)
x
x
=
−
11) ( )15 5 5( 1)log 3 log 3 3 log (11.3 - 9)x xx +− + + = 12) ( ) ( )3 9log 1 log 4 3 4 1x x x x+ − = − + − 
13) 2 3 212lg 36 lg( 3 3 1) lg( 6) 2 lg 3 lg 2
3
x x x x x− + + + + − + + + 14) (lg 5 1) lg(2 1) lg 6xx − = + − 
15) 1 (lg lg 2) lg(1 2 ) lg 6
2
x x+ + + = 16) 2 2log (4.3 6) log (9 6) 1x x− − − = 
17) 5 1
3 1
log 5 log 5x
x
+ −
+
= 18) 3 22 24 6log ( 4) log ( 4)x x xx x+ −− = − 19) 3 22 24 6log ( 3) log ( 3)x x xx x+ −− = − 
2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ: 
 Nội dung của phương pháp: ðặt ẩn số phụ bằng hàm số lôgarit có trong phương trình, ñưa 
phương trình về phương trình ñại số theo ẩn số phụ. 
Bài tập: 
1) 4 lg 3 lgx x− = 2) 2 2 12
2
log 3log log 2x x x+ + = 3) 25 5
5log log 1xx
x
+ = 
4) 2 4log (5 -1).log (2.5 - 2) 1x x = 5) ( ) ( )2 4 1log 2 .log 2 log 2xx x = 6) 2
1 lg( 1) 2 2
1 lg( 1)1 lg ( 1)
x
xx
+ −
+ =
+ −+ −
7) 2 22log (2 ).log 2 1xx = 8) 2 2log log 33 6x x+ = 9) [ ]2log 4( 1) 3( 1) 4( 1)xx x−− = − 
10) [ ]3log 9( 2) 3( 2) 9( 2)xx x−− = − 11) 2 3 3log (3 3) 4log 2 0xx ++ − = 12) 
2 2 9lg -3lg - 2lg2 10
x x
xx −= 
13) 2 2 2lg - lg .log (4 ) 2 log 0x x x x+ = 14) ( ) ( ) ( )2 2 22 3 6log 1 .log 1 log 1x x x x x x− − − − = − − 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 11 
15) 1 2 1
4 lg 2 lgx x
+ =
− +
 16) 2 2log 10log 6 0x x+ + = 17) 0,04 0,2log 1 log 3 1x x+ + + = 
18) 16 23log 16 4log 2logx x x− = 19) 2 2log 16 log 64 3xx + = 20) 
3lg(lg ) lg(lg 2) 0x x+ − = 
3. Phương pháp mũ hóa: 
0 1
log ( ) ( )a m
af x m f x a
< ≠
= ⇔ 
=
Bài tập: 
1) 22log ( 4 +7) 2x x− = 2) 2log (2 3 4) 2x x x− − = 3) 2log (2 4 3) 2x x x− + = 
4) ( )23log 3 2 +1 2x x x+ − − = 5) ( )( )2 2 26 8 2 2 3log log 2 0x x x x x x+ + + + − = 
6) 2 4 23 4
2
1log (9 16 ) 2
log (3 4 )x x x− − = + − 
4. Phương pháp sử dụng công thức ñổi cơ số: 
 Công thức ñổi cơ số: loglog
log
c
a
c
bb
a
= ; log .log loga b ab c c= ; 
log logc cb aa b= 
Bài mẫu: GPT: ( ) ( ) ( )2 2 22 3 6log 1 .log 1 log 1x x x x x x− − + − = − − (*) 
Giải: ðiều kiện 
2
2
1 0 1
1 0
x x
x
x

− − >
⇔ ≥
− ≥
Với 1x ≥ thì (*) ( ) ( ) ( )1 12 2 22 3 6log 1 .log 1 log 1x x x x x x− −⇔ + − + − = + − 
 ( )