Các kiến thức cơ bản của hàm số mũ và hàm số logarit

hi và chỉ khi 
	+ Nếu thì 
	+ Nếu thì 
	Chú ý rằng, ta có thể biến đổi về dạng cùng cơ số, chẳng hạn như: 
	1. Phương pháp mũ hóa và logarit hoá:
	Kiến thức cơ bản:
	a. 
	b. 
	c. . Xảy ra hai trường hợp sau:
	+ Trường hợp 1: khi đó tùy ý.
	+ Trường hợp 2: khi đó 
	d. 
	e. 
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (1)
Giải
	Điều kiện: 
	Theo đề bài ta có:
	 (2)
	Với ta có nên . Khi đó, (2) trở thành:
	 thỏa mãn với mọi 
	Với ta có nên . Khi đó, (2) trở thành:
	bất phương trình này vô nghiệm với mọi .
	Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là .
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 
Giải
	Điều kiện: .
	Biến đổi bất phương trình về dạng:
	Do nên bất phương trình tương đương với:
	Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 
Giải
	Ta có:
	Giải (a):
	Giải (b):
	Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 
Giải
	Ta có:
	Giải (a):
	Giải (b):
	Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: hoặc 
Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 
Giải
	Ta xét hai trường hợp sau:
	* Nếu , khi đó:
	Suy ra trong trường hợp này bất phương trình có nghiệm là hoặc 
	* Nếu , khi đó:
	Do không thỏa mãn điều kiện nên trong trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
	Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: hoặc .
Ví dụ 6: Giải bất phương trình: 
Giải
	Ta xét hai trường hợp sau:
	* Nếu , khi đó:
	Với không thỏa mãn điều kiện nên trong trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
	* Nếu , khi đó:
	Với điều kiện ta suy ra được .
	Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là .
Ví dụ 7: Giải bất phương trình: 
Giải
	Trước tiên ta có:
	Lúc này bất phương trình tương đương với:
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Ví dụ 8: Giải bất phương trình: 
Giải
	Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng:
	Giải (a):
	Giải (b):
	 vô nghiệm
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là .
	2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
	Cũng như đối với phương trình chúng ta phải chú ý giới hạn tập giá trị của ẩn phụ. Đặc biệt với bất phương trình, nếu ẩn phụ không được giới hạn, nghiệm tìm được sẽ sai lệch đi nhiều.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 
Giải
	Điều kiện: 
	Đặt 
	Khi đó phương trình tương đương với:
	Suy ra:
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 
Giải
	Chia hai vế cho , ta có:
	Đặt , ta có bất phương trình sau:
	Từ đó suy ra: 
	Kết luận: nghiệm của bất phương trình đã cho là: 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 
Giải
	Điều kiện: 
	Chia hai vế cho , ta nhận được bất phương trình:
	Đặt , ta nhận được bất phương trình:
	Từ đó suy ra: 
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 
Giải
	Điều kiện:
	Lúc này ta đặt ta nhận được bất phương trình:
	Từ đó suy ra:
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 
Giải
	Điều kiện: 
	Đưa về cùng cơ số 2 ta có bất phương trình:
	Đặt ta nhận được bất phương trình sau:
	Với 
	Với 
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Ví dụ 6: Giải bất phương trình: 
Giải
	Điều kiện: 
	Biến đổi bất phương trình về dạng:
	Đặt ta nhận được bất phương trình sau:
Từ đó suy ra: 
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là hoặc hoặc 
	3. Sử dụng tích chất của bất đẳng thức hoặc đưa về bất phương trình tích:
	Ngoài các phương pháp trên chúng ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi đưa về bất phương trình tích, hoặc sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của các hàm số và các tính chất của bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 
Giải
	Đặt thừa số chung ta nhận được bất phương trình:
	Giải (a): 
	Giải (b):
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 
Giải
	Theo đề bài ta có:
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 
Giải
	Nhận xét rằng: . Do đó, ta xét các trường hợp sau:
	* Nếu 
	Thử lại ta thấy rằng hoặc là nghiệm của bất phương trình đã cho.
	* Nếu , khi đó bất phương trình tương đương với:
	* Nếu , khi đó bất phương trình luôn đúng.
	Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 
Giải
	Theo đề bài ta có:
	Giải (a):
	Giải (b):
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là hoặc 
Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 
Giải
	Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
	Mặt khác ta lại có: 
	Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
	Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là .
Ví dụ 6: Giải bất phương trình: 
Giải
	Điều kiện: 
	Khi đó ta có:
	Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với:
	Xét hai trường hợp sau:
	* 
	* 
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là ;
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Giải bất phương trình: 
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 2: Giải bất phương trình: 
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 3: Giải bất phương trình: 
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 4: Giải bất phương trình: 
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 5: Giải bất phương trình: 
	a. 	b. 
	c. 
	d. 
Bài 6: Giải bất phương trình: 
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 7: Giải bất phương trình: 
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 8: Giải bất phương trình: 
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 9: Giải bất phương trình: 
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
Bài 10: Giải bất phương trình: 
	a. 	b. 
	c. 	d. 	
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG MŨ VÀ LOGARIT KHÔNG MẪU MỰC.
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.
Một số phương trình hoặc bất phương trình không thể dung các phép tính về hàm số mũ, logarit, hoặc dung tính đơn điệu để giải trực tiếp ta thường chú ý vài cách như sau:
	+ Dùng bất đẳng thức để giải: chẳng hạn như giải phương trình dạng . Nếu và thì phương trình đã cho tương đương với hệ 
	+ Phát hiện nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất hoặc chỉ có những nghiệm đó.
	+ Có thể sử dụng đồ thị để giải.
II. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 
Giải
	Theo đề bài ta có:
	Đặt là hàm liên tục trên R. 
	Ta có: 
	Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng và một nghiệm nằm trong khoảng .
	Vẽ đồ thị của các hàm số :
	Đồ thị cho thấy các đường cắt nhau tại hai giao điểm nên phương trình đã cho có hai nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Giải
	Theo đề bài ta có: 
	Thấy rằng thỏa mãn phương trình nên nó là một nghiệm.
	Khi thì vô lý hay phương trình vô nghiệm.
	Khi thì vô lý hay phương trình vô nghiệm.
	Kết luận: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là .
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Giải
	Ta có: 
	Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta được:
	Suy ra 
	Vậy phương trình đã cho có nghiệm là .
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
Giải
	Điều kiện: 
	Biến đổi phương trình về dạng:
	Xét hàm số: là hàm số đồng biến khi 
	 là hàm số nghịch biến khi .
	Thấy rằng: nên là nghiệm của phương trình đã cho.
	Thật vậy:
	* Với thì nên không thỏa mãn.
	* Với thì nên không thỏa mãn.
	Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 5: Giải phương trình: 
Giải
	Điều kiện: 
	Lúc này phương trình tương đương với hệ:
	Vậy nghiệm của phương trình đã cho là .
III.BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
	a
	b. 
Bài 4: Trong các nghiệm của bất phương trình , hãy chỉ ra nghiệm có lón nhất.
Bài 5: Giải hệ phương trình: 
PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CHỨA THAM SỐ
Những bài toán có chứa tham số là những bài toán hay nhưng khó để trình bày một cách trọn vẹn. Một trong những công cụ hiệu quả để làm dạng toán này là công cụ đạo hàm. Qua những bài toán tuyển sinh, bằng cách này hay cách khác, ta thường đưa được bài toán về áp dụng đạo hàm và sử dụng bảng biến thiên.
Trên tinh thần đó, chúng tôi cố gắng liệt kê hầu hết các kiểu câu hỏi liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số. Có thể chia làm hai dạng chính: 
1/ Giải và biện luận phương trình theo tham số m. 
2/ Tìm điều kiện của m để phương trình hay bất phương trình thoả mãn 1 tính chất nào đó.
Chúng tôi sẽ trình bày thật kĩ phần giải và biện luận phương trình, bất phương trình. Các bài tập thuộc dạng 2 trong chừng mực nào đó là một phần của bài toán giải và biện luận. Qua đó, người học sẽ có một cái nhìn xuyên suốt về phương pháp giải các bài toán chứa tham số mà không cảm thấy rối.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Giải và biện luận:
Giải và biện luận phương trình, bất phương trình là dạng toán khó, nếu không cẩn thận sẽ rất dễ làm thiếu nghiệm bài toán. Như đã nói trên, bằng công cụ đạo hàm, chúng ta sẽ dễ dàng đánh giá và quét hết các giá trị tham số một cách trực quan thông qua bảng biến thiên. 
Một số lưu ý khi giải và biện luận phương trình, bất phương trình:
+ Phải quét đủ tất cả các giá trị của tham số m trên 
+ Các nghiệm giải được có thể chứa tham số nhưng ta phải đối chiếu với điều kiện của bài toán 
+ Điều kiện bài toán đôi khi chứa cả tham số vì thế ta không nên cố tìm cách giải tìm điều kiện cụ thể. Khi đã có nghiệm cụ thể, ta thay vào điều kiện để đối chiếu sẽ dễ dàng hơn.
+ Một điều nữa là nếu đặt ẩn phụ, ta nên nhận xét mối quan hệ giữa ẩn phụ và ẩn của đề.
Ví dụ : Nếu đặt t =
Xem t là hàm theo x. 
Bảng biến thiên: 
x
 - 0 + 
Từ bảng biến thiên, ta có thể đưa ra nhận xét:
t , .
t = , tương ứng với một nghiệm x duy nhất.
mỗi , cho ta 2 nghiệm x phân biệt. 
Điều này có ý nghĩa rất quan trọng nếu yêu cầu bài toán là biện luận theo m số nghiệm của phương trình.
Ví dụ 1: Giải và biện luận theo a phương trình:
	 (*)
	Giải
Đặt t = , t > 0
Mỗi giá trị của t ứng với 1 giá trị x duy nhất
(*) trở thành: (1)
Số nghiệm của (*) là số nghiệm t > 0 của (1)
Xét hàm số trên 
Bảng biến thiên:
t
0
-
0
+
0
 Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị và đồ thị 
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
	+ Nếu , (1) vô nghiệm nên (*) vô nghiệm
	+ Nếu , (1) có 1 nghiệm t > 0
	+ Nếu : (1) có 2 nghiệm t > 0
	(1)
	* 
	* 
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo m phương trình
	 (*)
Giải:
Đặt: , t>0
Mỗi giá trị t ứng với 1 giá trị x duy nhất
(*) trở thành: (1)
 ( t = 1 không là nghiệm của (1) )
Số nghiệm của (*) là số nghiệm t > 0 của (1)
	Xét h/số: trên 
Bảng biến thiên: