Các hệ phương trình Đại số thường gặp và phương pháp giải

Chuyeân ñeà 2 : HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ 
 TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA 
I. Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån 
1. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån 
a. Daïng : ⎨ (1) 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =⎧
+ =⎩
 Caùch giaûi ñaõ bieát: Pheùp theá, pheùp coäng ... 
b. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän 
 Böôùc 1: Tính caùc ñònh thöùc : 
• 1221
22
11 baba
ba
ba
D −== (goïi laø ñònh thöùc cuûa heä) 
• 1221
22
11 bcbc
bc
bc
Dx −== (goïi laø ñònh thöùc cuûa x) 
• 1221
22
11 caca
ca
ca
Dy −== (goïi laø ñònh thöùc cuûa y) 
Böôùc 2: Bieän luaän 
• Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát 0≠D
⎪⎪⎩
⎪⎨ 
⎪⎧
=
=
D
D
y
D
Dx
y
x
• Neáu D = 0 vaø 0≠xD hoaëc 0≠yD thì heä voâ nghieäm 
• Neáu D = Dx = Dy = 0 thì heä coù voâ soá nghieäm hoaëc voâ nghieäm 
YÙ nghóa hình hoïc: Giaû söû (d1) laø ñöôøng thaúng a1x + b1y = c1
 (d2) laø ñöôøng thaúng a2x + b2y = c2
 Khi ñoù: 
1. Heä (I) coù nghieäm duy nhaát (d1) vaø (d2) caét nhau ⇔
2. Heä (I) voâ nghieäm ⇔ (d1) vaø (d2) song song vôùi nhau 
3. Heä (I) coù voâ soá nghieäm ⇔ (d1) vaø (d2) truøng nhau 
AÙp duïng: 
Ví duï1: Giaûi heä phöông trình: ⎩⎨
⎧
=+
−=−
234
925
yx
yx
Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình : ⎩⎨
⎧
=+
+=+
2
1
myx
mymx
Ví duï 3: Cho heä phöông trình : ⎩⎨
⎧
=+
=+
1
32
myx
ymx
 9
 Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát (x;y) thoûa x >1 vaø y > 0 
 ( 2 m 0)− < < 
Ví duï 4: Vôùi giaù trò nguyeân naøo cuûa tham soá m heä phöông trình 
4 2mx y m
x my m
+ = +⎧⎨ + =⎩ coù nghieäm duy nhaát 
 (x;y) vôùi x, y laø caùc soá nguyeân. 
 (m 1 m 3= − ∨ = − ) 
II. Heä phöông trình baäc hai hai aån: 
 1. Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån: 
 Ví duï : Giaûi heä: 
⎩⎨
⎧
=−+
=+
522
52
22 xyyx
yx
 Caùch giaûi: Giaûi baèng pheùp theá 
2. Heä phöông trình ñoái xöùng : 
1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I: 
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau 
 thì heä phöông trình khoâng thay ñoåi. 
b.Caùch giaûi: 
Böôùc 1
 10
: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P. 2 4S ≥ P
Böôùc 2: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn . 2 4S P≥
Böôùc 3: Vôùi S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình : 
 ( ñònh lyù Vieùt ñaûo ). 2 0X SX P− + =
Chuù yù: Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x0;y0) laø nghieäm cuûa heä thì (y0;x0) cuõng laø nghieäm cuûa heä 
AÙp duïng: 
Ví du 1ï: Giaûi caùc heä phöông trình sau : 
 1) 2) 
⎩⎨
⎧
=++
=++
2
422
yxxy
yxyx
2 2
7
3 3 16
x y xy
x y x y
+ + = −⎧⎨ + − − =⎩
 3) 4)⎨ ⎩⎨
⎧
=+
=++
30
11
22 xyyx
yxxy
⎩
⎧
=+++
=+
092)(3
1322
xyyx
yx
 5) 6) ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
20
6
22 xyyx
xyyx
 7) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
=+
4
4
xyyx
yx
 8) 
⎩⎨
⎧
=+
=+
2
3444
yx
yx
1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10)− − + − − + 3) ( 1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
4) 10 10 10 10(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )
2 2 2
− − − + − − − − − +
2
 5) ( 6) (1 2;3);(3;2) ;4),(4;1)
7) (4;4) 8) (1 2;1 2),(1 2;1 2)− + + − 
Ví duï2 : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+
=+
myyxx
yx
31
1
2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II: 
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau 
 thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä. 
b. Caùch giaûi: 
• Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá. 
• Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä . 
 11
AÙp duïng: 
Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 
 1) 2) 3) 
2 2
2 2
2 3
2 3
x y y
y x x
⎧ + = −⎪⎨ + = −⎪⎩
2
2
x
⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=+
yxyy
xxyx
32
32
2
2 2 3 2
2 3 2
3 2
3 2
y x x
x y y
⎧
y
= − +⎪⎨ = − +⎪⎩
 4) 
2
2
13
13
x y
x
y x
y
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩
 5) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
2
2
2
2
23
23
y
xx
x
yy
III. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai: 
 a. Daïng : ⎪⎨
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
⎧ + + =
+ + =⎪⎩
 b. Caùch giaûi: 
 hoaëc y t
x
= . Giaû söû ta choïn caùch ñaët x t
y
= . x t
y
=Ñaët aån phuï 
 Khi ñoù ta coù theå tieán haønh caùch giaûi nhö sau: 
Böôùc 1: Kieåm tra xem (x,0) coù phaûi laø nghieäm cuûa heä hay khoâng ? 
Böôùc 2: Vôùi y 0 ta ñaët x = ty. Thay vaøo heä ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t,y .Töø 2 phöông trình ta ≠
 khöû y ñeå ñöôïc 1 phöông trình chöùa t . 
Böôùc 3: Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x,y. 
AÙp duïng: 
Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 
 1) 2) 3) 
2 2
2 2
3 2 1
2 5 2
x xy y
x xy y
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
1
5
5
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−−
=−−
495
5626
22
22
yxyx
yxyx 3 2
3 2
2 3
6 7
x x y
y xy
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
IV. Caùc heä phöông trình khaùc: 
 Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau: 
a. Ñaët aån phuï: 
Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình : 
 1) 2) ⎨ 3) ⎩⎨
⎧
=++−+
−=+−
6
3
22 xyyxyx
yxxy
⎩
⎧
=−−
=−−+
36)1()1(
1222
yyxx
yxyx 2 2
3 2 2 3
5
6
x y x y
x x y xy y
⎧ − + − =⎪⎨ − − + =⎪⎩
b. Söû duïng pheùp coäng vaø pheùp theá: 
2 2
2 2
x y 10x 0
x
 12
Ví duï: Giaûi heä phöông trình : 
y 4x 2y 20 0
⎧ + − =⎪⎨ + + − − =⎪⎩
c. Bieán ñoåi veà tích soá: 
 Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình sau: 
 1) 2) 3) ⎪⎩
⎪⎨⎧ +=+
+=+
)(322
22
yxyx
yyxx
⎪⎩
⎪⎨⎧ ++=+
+=+
2
77
22
33
yxyx
yyxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−=−
12
11
3xy
y
y
x
x
--------------------------Heát------------------------