Các dạng toán về giới hạn

Phần I giới hạn của dãy số.
 A - Các kiến thức cần nhớ.
 B - Giới hạn dãy số 
 Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản
 Dạng 2 Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số 
Phần ii : Giới hạn hàm số 
 A - Các kiến thức cần nhớ.
 B- Các dạng toán .
 I / dạng cơ bản
 II/ Giới hạn dạng : 
 III/ Giới hạn dạng: 
 iV/ Giới hạn dạng Mũ và lôgarit
 V/ SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN
Phần iII : ứng dụng của giới hạn
 A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận của hàm số:	
 B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục
Phần iV Giới thiệu một số đề thi 
Phần I giới hạn của dãy số.
 A - Các kiến thức cần nhớ.
 1) Định nghĩa .
 Dãy số có giới hạn là a nếu với mọi số dương cho trước 
 ( nhỏ bao nhiêu tuỳ ý ) tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N 
 thì . Ta viết hoặc viết 
 2. Các định lý.
 +) Định lý 1. 
 Nếu (un) là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
 Nếu (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. 
 +) Định lý 2. Các phép toán trên các giới hạn của dãy số 
 +) Định lý 3. [Nguyên lý kẹp giữa] . Giả sử ba dãy số thoả mãn:
 với và thì 
 3. Các giới hạn cơ bản.
 +) và với .
 +) Nếu thì 	
 +) Nếu thì 
 4. Cấp số cộng và cấp số nhân.
 +) Cho là cấp số cộng với công sai d. Khi đó:
 và 
 +) Cho là cấp số nhân với công bội q với q. 
 Khi đó: và 
 B - Giới hạn dãy số 
 Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản 
 Phương pháp chung : +) sử dụng biểu thức liên hợp
 +) Sử dụng các định lý về giới hạn 
 +) Sử dụng các tổng cơ bản 
 Lưu ý : Ta có thể sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song trong các đề thi đại học 
 thì việc sử dụng định nghĩa không có , nên trong chuyên đề này tôi chỉ đề 
 cập các vấn đề liên quan thi đại học là chính . các bài toán bám sát đề thi 
 đại học và thường sử dụng các định lý quan trọng của giới hạn .
Ví dụ1 : Tìm các giới hạn sau :
Giải : Nhân với biểu thức liên hợp 
 =1
Ta có 
Cộng lại :
 Ta có : 
 Vậy 
Ví dụ 2 : Tìm các giới hạn sau :
2/ Cho dãy sao cho 
 Tính 
Giải : 
Giải : 2/ Cho dãy sao cho 
 Tính 
Ta đi chứng minh (*)
Thật vậy xét và 
Dễ dàng chứng minh các hàm số đồng biến với x > 0 suy ra điều phải chứng minh (*) .
 Ta có : 
áp dụng (*) 
Vậy 
 Ta có Và 
Vậy 
Dạng 2 Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số 
 Phương pháp chung : 
 +) Ta xác định số hạng tổng quát của d ãy số 
 Để xác định số hạng tổng quát ta thường sử dụng cấp số cộng ; cấp số nhân ; phương pháp quy nạp toán học ; hay có thể là phương trình tuyến tính sai phân hay chỉ là phép rút gọn đơn giản . . . . . . 
Ví dụ 1
 Cho dãy số (un) xác định bởi: với 
	 Tìm .
 Giải. 
 Theo giả thiết ta có:
 ; ;;..; .
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có:
 =
 = . Ta có: 
Ví dụ 2
	 Cho dãy số xác định bởi : 
 Tìm 
Giải. Ta có dãy số chính là dãy 
 Ta chứng minh được dãy số có giới hạn . Đặt 
 Chuyển qua giới hạn ta có vì nên 
Ví dụ 3
 Cho 
 Xét dãy Tìm 
 Giải : 
 Suy ra : 
 Suy ra : 
Ví dụ 4
 Cho dãy số (un) xác định bởi: với 
 a) CMR: (un) là dãy tăng.
 b) CMR: (un) là dãy không bị chặn trên.
 c) Tính giới hạn: .
 Giải.
 a) Ta có: với là dãy tăng.
 b) (Phương pháp phản chứng)
 Giả sử (un) là dãy bị chặn trên. Do nó là dãy tăng nên nó có giới hạn, 
 tức là:. 
 Mặt khác lấy giới hạn các vế của đẳng thức đã cho ta có:
 (vô lý). 
 Chứng tỏ (un) là dãy không bị chặn trên, tức là: 
 c)Từ giả thiết ta biến đổi: 
Suy ra: ; ;;
 Vậy = =2009
Ví dụ 5
 Cho dãy số (un) xác định bởi:
 Đặt . Tìm 
 Giải : Ta có và . ( nếu dãy bị chặn trên thì có giới hạn ) . Giả sử dãy . (Phương pháp phản chứng)
 Từ giả thiết chuyển qua giới hạn thì vô lý vậy 
 Mặt khác : 
 Do đó Vậy 
 Các bài tập tương tự .
Bài 1. Cho dãy số (un) xác định bởi: 
a) CMR: 
b) Xác định công thức tổng quát của (un) theo n.
c) Tìm 
Bài 2. Cho dãy số (xn) xác định bởi: 
a) CMR: (xn) là dãy số tăng.
b) Tìm 
Bài 3. Tính các giới hạn sau: 
 Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a) b) 
Phần II Giói Hạn Hàm Số