Các dạng toán thường gặp liên quan đến khảo sát các hàm số hữu tỷ - Trần Văn Trung

	 (1) (ba trên tương đương vì x = 1 không là nghiệm của hai pt sau)
	a) Hai nhánh của (C) nằm hai phía của tiệm cận đứng x = 1. Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 < 1 < x2 ( ).
	Đặt t = x – 1 Û x = t + 1 ; phương trình (1) trở thành :
 	m(t + 1)2 – m – 3 = 0 Û mt2 + 2mt – 3 = 0 (2) 
Phương trình (1) có hai nghiệm và số 1 nằm trong khoảng hai nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu, tức là –3m 0
	b) Ta thấy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(–1;2) với mọi m và điểm A nằm bên trái của tiệm cận đứng, nên (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh (nhánh trái) khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 < x2 < 1 () khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt, tức là :
Ví dụ 12 : Cho hàm số có đồ thị (H) và đường thẳng (d) : y = –x + m.
Chứng tỏ (d) luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt M, N. Giả sử (d) cắt 2 tiệm cận của (H) tại P, Q. Chứng minh MN và PQ có cùng trung điểm.
Tìm m để đoạn MN ngắn nhất.
Giải :
	a) 
Bước 1: Xét phương trình hđgđ của (d) và (H):
	 (1) 
 (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 1
 (d) luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt M, N với xM, xN là nghiệm của phương trình (2) 	 (theo định lý Viet)
Bước 2: Phương trình các đường tiệm cận (1 ):x = 1; (2 ): y = x – 2
Gọi xP = 1 
 xQ = (giải phương trình hđgđ của d và 2 )
 , mà M, N, P, Q thẳng hàng (cùng thuộc đường thẳng d)
 MN và PQ có cùng trung điểm.
	b) 
Bước 1: Ta có yM – yN = – (xM – xN) (M, N thuộc (d): y = – x + m )
Bước 2: MN2 = 2(xM – xN)2 = 2((xM + xN)2 – 4xMxN) = 8
	MN ngắn nhất m = 0 
Ví dụ 13 : 
Cho hàm số có đồ thị (C).
Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = mx – 2m + 2 luôn đi qua một điểm cố định thuộc đường cong (C).
Tìm m sao cho đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (C).
Giải : 
	a) Ta có y = mx – 2m + 2 Û y – 2 = m(x – 2) (*).
Phương trình (*) luôn có nghiệm (2;2) với mọi giá trị của m Þ đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(2;2) với mọi giá trị của m. Mặt khác tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình của đường cong (C). Vậy (d) luôn đi qua một điểm cố định thuộc (C).
	b) Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình :
 (x ≠ 1)
Û x2 – 2 = m(x – 2)(x – 1) + 2(x – 1)
Û x2 – 2x – m(x – 2)(x – 1) = 0 
Û (x – 2)(x – mx + m) = 0 (các pt này tương đương do 3 pt dưới không nhận 1 làm nghiệm)
Hai nhánh của (C) nằm hai bên tiệm cận đứng, mà điểm A thuộc nhánh phải của (C) (vì xA = 2 > 1). Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm x > 1 và x ≠ 2, tức là :
F Chú Ý : Do A là giao điểm của (d) và (C) nên xA = 2 là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, nên khi biến đổi ta khéo léo đặt (x – 2) làm thừa số chung, ta được một phương trình tích, do đó việc tìm nghiệm và biện luận trở lên đơn giản hơn.
Ví dụ 14 : 
Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm m để đường thẳng (d): y = m – x cắt (C) tại hai điểm A, B mà IA vuông góc với IB.
Giải :
Ta có x = 1 là tiệm cận đứng và y = x – 2 là tiệm cận xiên của (C) nên I(1;–1).
Hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm phương trình :
 (1) (hai pt trên tương đương vì x = 1 không là nghiệm pt (1) )
Ta có nên pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m, do đó (d) cắt (C) tại hai điểm A(x1;m – x1), B(x2;m – x2) (A, B thuộc (d) : y = m – x)
 ()
Điều kiện IA vuông góc IB tương đương m2 – 4 = 0 
 Dạng 5 : Tìm Tham Số Để Hàm Số Có Hai Cực Trị Có
 Gia Trị Trái Dấu 
Dạng toán này thường chỉ có trong 2 loại hàm số mà học sinh được học trong chương trình là hàm số bậc 3 và hàm phân thức trên. 
Cách 1 : Cách giải có thể dùng chung cho cả hai loại hàm số theo 2 bước sau:
Bước 1: Điều kiện để y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2.
Bước 2: Điều kiện để y1.y2 < 0.
Cách 2 : Tuy nhiên dựa vào đặc trưng của đồ thị hàm phân thức trên ta có thể đưa ra cách giải đơn giản hơn như sau:
Hàm số có hai cực trị có giá trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
Cơ sở của phương pháp này như sau: 
+ Khi đồ thị hàm số không có điểm cực trị thì đồ thị hàm số luôn cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (hai nhánh).
+ Ngược lại khi đồ thị có hai cực trị thì đồ thị có thể có giao điểm với Ox hoặc không. Trong trường hợp không có giao điểm thì hai điểm cực trị của đồ thị nằm ở 2 phía trục Ox giá trị cực trị trái dấu.
Ví dụ 15 : Cho hàm số (m là tham số). Tìm m để hàm số có 2 cực trị có giá trị trái dấu.
Giải : 	Hàm số có 2 cực trị có giá trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình: x2 + mx – 2m – 3 = 0 vô nghiệm –6 < m < –2
	Ta cũng tìm được kết quả trên khi giải bằng phương pháp gồm 2 bước nêu ở trên.
Dựa vào cách lập luận như cách 2 ta có thể làm bài toán sau : 
Ví dụ 16 : Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m để (C) có điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng một phía của trục Ox.
Giải : 	Ta có . Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m, khi và chỉ khi phương trình g(x) = x2 – 2mx – (m2 + 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m, tức là . Khi đó để đồ thị (C) có hai điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía của trục Ox thì (C) phải cắt Ox tại hai điểm phân biệt, tức là phương trình có hai nghiệm phân biệt khác m 
Dạng 6 : Chứng minh giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị các hàm số : (c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0) ; (a.a’ ≠ 0)
Bước 1: Từ phương trình các đường tiệm cận ta có giao điểm I(x0;y0) của các đường tiệm cận.
 	Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ :
 	 (*)
Bước 2: Gọi (H) là đồ thị của hàm số. Thay (*) vào phương trình của (H) ta được phương trình của (H) trong hệ tọa độ IXY là Y = F(X). Chứng minh Y = F(X) là hàm số lẻ. Kết luận (H) nhận I làm tâm đối xứng.
Ví dụ 17 : Cho hàm số có đồ thị (C). Chứng minh (C) nhận giao điểm hai đường tiệm cân làm tâm đối xứng .
Giải: Ta có . 
 ; nên đường thẳng là tiệm cận đứng của (C)
 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C)
Vậy điểm là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) .
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ là : ()
Phương trình của (C) đối với hệ toa độ IXY là : 
Do là hàm số lẻ nên (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.
Ví dụ 18 : Cho hàm số có đồ thị (C). Chứng minh (C) nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng .
Giải: Ta có . 
; nên đường thẳng là TC đứng của (C)
 nên đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của (C)
Vậy điểm là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) .
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ là : 
Phương trình của (C) đối với hệ toa độ IXY là : 
Do là hàm số lẻ nên (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.
F Chú ý : Nếu câu chứng minh tâm đối xứng đi sau câu khảo sát thì ta không cần tìm lại các đường tiệm cận, mà chỉ ra giao điểm hai đường tiệm cận.
Dạng 7 : Tìm tập điểm (quỹ tích) M thỏa một điều kiện cho trước.
Bước 1 : Từ giả thiết bài toán tìm tọa độ của điểm M theo một tham số
	Khử tham số m từ hệ trên ta được một hệ thức độc lập giữa x và y là F(x;y) = 0
Bước 2 : Giới hạn tập hợp (quỹ tích) (nếu có), tức là tìm điều kiện của tham số m để tồn tại điểm M, sau đó từ x= g(m) hoặc y = h(m) ta rút ra điều kiện của x hoặc y.
Bước 3 : Kết luận tập hợp điểm (quỹ tích) cần tìm là một phần đường có phương trình F(x;y) = 0 thỏa điều kiện giới hạn.
F Chú Ý : 
 Nếu tọa độ (a là hằng số) thì hệ thức độc lập giữa x và y là x = a
‚ Nếu tọa độ (b là hằng số) thì hệ thức độc lập giữa x và y là y = b
ƒ Trong một số trường hợp phức tạp ta không nhất thiết phải tính x, y theo m mà chỉ cần tìm các hệ thức ràng buộc giữa x, y, m và tìm cách khử m từ các hệ thức này.
Ví dụ 19 : Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (dm): y = –2x + m.
Với giá trị nào của m thì (dm) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ?
Gọi A, B là các giao điểm của (dm) và (C). Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB khi m biến thiên.
Giải :
Hoành độ giao điểm của (dm) va (C) là nghiệm của phương trình :
 	 (x≠ -1)
	 (1) 
(ba phương trình này tương đương vì x = –1 không là nghiệm của 2 phương trình dưới )
Đường thẳng (dm) cắt đường cong (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, tức là 
 	 (*)
 	b) Hoành độ các giao điểm A và B là các nghiệm của phương trình (1). Do đó hoành độ trung điểm M của đoạn AB là : (2)
Vì điểm M thuộc (dm) nên yM = –2xM + m (3)
Từ (2) Þ m = 4xM + 4. Thay vào (3), ta được yM = 2xM + 4 . Vậy m nằm trên đường thẳng
 y = 2x + 4
Để có trung điểm M thì (dm) phải cắt (C) tại hai điểm phân biệt, khi đó m phải thỏa điều kiện (*)
Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn AB là một phần của đường thẳng y = 2x + 4 với 
Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 
và các bài toán liên quan đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của 
hàm số (aa’≠0)
	Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số ta làm như sau :
	Tín