Các dạng toán cơ bản Hình học không gian 11

h 
 của tam giác thì chắn trên hai cạnh kia những đoạn thẳng tương
 ứng tỉ lệ
 Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt có chứa hai đường 
 thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai
 đường thẳng ấy
 Þ d // a ,b
1.Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J,K,L lần lượt là trung điểm của AB,BC, CD, DA .Chứng minh rằng IJKL là hình bình hành
2.Cho tứ diện ABCD .Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD .Chứng minh rằng HK//AB
3.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi M, N, P, Q là các điểm trên các cạnh BC, SC, SD, DA sao cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD . Chứng minh rằng PQ//SA
4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD
a)Chứng minh rằng ME//AC , NF//BD
b)Chứng minh rằng ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O là giao điểm của AC và BD) đồng qui 
c)Chứng minh rằng 4 điểm M,N,E,F đồng phẳng
4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật .Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC ,SCD ,và SDA. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng
b)Tứ giác MNEF là hình thoi
c)Ba đường thẳng ME ,NF và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD)
5. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng .Trên các đoạn AC và BF lần lượt lấy các điểm M ,N sao cho:
 AM = kAC và BN = kBF (0 < k < 1)
a)Giả sử k = 1/3 ;chứng minh rằng MN // DE
b)Giả sử MN // DE hãy tính k
6.Cho tứ diện ABCD .Trên các cạnh AC, BC, AD lấy 3 điểm M,N,P.Dựng giao tuyến (MNP) (BCD) trong các trường hợp sau:
 a) PM cắt CD b) PM //CD
8.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm của SA và SC
 a)Dựng các giao tuyến (SAB) (SCD) , (DMN) (ABCD)
 b)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (DMN)
9.Cho tứ diện ABCD .Gọi I, J là trung điểm AB, AD .Điểm M thay đổi trên cạnh BC 
 a)Tìm giao điểm N của CD và (IJM)
 b)Gọi H là giao điểm của IM và JN ;K là giao điểm của IN 
 và JM. Tìm tập hợp các điểm H; K khi M thay đổi trên cạnh BC
10.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD . Điểm M thay đổi trên cạnh SA
 a)Dựng giao điểm N của SD và mặt phẳng(BCM)
 b)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(BCM)
 c)Gọi I =BM CN.Tìm tâp hợp điểm I khi M chạy trên SA
11.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi H,K là trung điểm SA,SB 
 a)Chứng minh rằng HK//CD
 b)Trên cạnh SC lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp
 với mặt phẳng(MKH)
12.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành ,điểm M thay đổi trên cạnh SD 
 a)Dựng giao tuyến (SAD) (SBC)
 b)Dựng giao điểm N của SC và mặt phẳng(ABM); ABMN là 
 hình gì ? Có thể là hình bình hành không ?
 c)Gọi I là giao điểm của AN và BM.Chứng minh rằng khi M 
 chạy trên cạnh SD thì I chạy trên 1 đường thẳng cố định
.Cho tứ diện ABCD .Gọi I,J K lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD ,CDA ,ABC. Dựng thiết diện của ABCD với mặt phẳng (IJK)
13.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
 a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD).Chứng minh IA =2IM
 b)Tìm giao điểm F của SD với (ABM).Chứng minh rằng F 
 là trung điểm của SD và ABMF là một hình thang
 c)Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB.Tìm giao điểm của 
 đường thẳng MN với mặt phẳng(SBD)
14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O .M là trung điểm của SC và N là trung điểm của OB
a)Tìm giao điểm I của SD với mặt phẳng (AMN)
b)Tính tỉ số 
15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD. E là trung điểm của BC
a)Chứng minh rằng MN // BD
b)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
c)Gọi H và K lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH // BD
Đường thẳng song song mặt phẳng
1.Cho tứ diện ABCD .Gọi I, J là trung điểm của BC và CD
 a)Chứng minh rằng BD//(AIJ)
 b)Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD 
 Chứng minh rằng HK//(ABD)
2.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G là trọng tâm của tam giác SAB và E là điểm trên cạnh AD sao cho DE = 2EA. Chứng minh rằng GE // (SCD)
3.Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng.
a)Gọi M , N là trung điểm của AD,BE.Chứng minh rằng MN//(CDE)
b)Trên các đoạn AC và BF lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho 
AM = kAC ; BN = kBF (0 < k < 1). Chứng minh rằng MN // (CDEF)
5.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi M,
 N là trung điểm của AB và AD.Mặt phẳng a chứa MN và //SA
 a)Dựng giao điểm của SC và a
 b)Dựng thiết diện của hình chóp với a
6.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M.Gọi a là 
 mặt phẳng qua M và // 2 cạnh AC,BD.Dựng thiết diện của tứ
 diện với a
7.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành ,M là 
 1điểm thay đổi trên cạnh AB.Mặt phẳng a qua M và //SA và AD 
 a)Dựng thiết diện của a với hình chóp .Chứng minh thiết 
 diện là hình thang
 b)Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của a với(SCD) thì//SD
 c)Tìm quĩ tích giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện khi M
 thay đổi trên cạnh SD
8.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớnAB. 
 Điểm M thay đổi trên cạnh BC,mặt phẳng a qua M và //AB và SC 
 a)Dựng giao tuyến (SAD) (SBC)
 b)Dựng thiết diện của hình chóp với a
 c)Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của a với (SAD) thì //SD
9.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi M,N là trung 
 điểm SA,SB.Điểm P thay đổi trên cạnh BC
 a)Chứng minh rằng CD//(MNP)
 b)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) . 
 Chứng minh rằng thiết diện là 1 hình thang.
 c)Gọi I là giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện ,tìm quĩ tích điểm I
10.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. 
 Điểm M thay đổi trên cạnh SA
 a)Tìm các giao tuyến (SAD)(SBC) ; (SAB)(SCD)
 b)Dựng giao điểm N = SB (CDM)
 c)Gọi I = CM DN ; J = DM CN. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh SA thì I,J chạy trên 2 đường thẳng cố định
11.Cho tứ diện ABCD có AB = AC = CD = a và AB vuông góc CD .Lấy 1 điểm M trên cạnh AC,đặt AM = x (0< x < a). Mặt phẳng a đi qua M và song song với AB và CD cắt BC,BD,AD lần lượt tại N,P,Q
 a)Chứng minh rằng MNPQ là 1 hình chữ nhật
 b)Tính diện tích MNPQ theo a và x
 c)Xác định x để diện tích MNPQ là lớn nhất
12.Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc CD,tam giác BCD vuông tại C
 và góc BDC = 300 ; M là 1 điểm thay đổi trên cạnh BD ; 
AB = BD = a; đặt BM = x . Mặt phẳng a qua M và song song với AB,CD
 a)Dựng thiết diện của tứ diện với a
 b)Tính diện tích S của thiết diện 
 c)Xác định vị trí của M trên BD để S lớn nhất
13.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a ,SB = b và tam giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy một điểm M ,đặt AM = x (0 < x < a)
Mặt phẳng a qua M ,song song AC và SB lần lượt cắt BC ,SC ,SA tại N,P,Q
a)MNPQ là hình gì ?
b)Tính diện tích MNPQ. Xác định x để diện tích ấy lớn nhất 
14.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, SAB là tam giác vuông tại A với SA = a.Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh AD,đặt
 AM = x (0 < x < a ). Gọi a là mặt phẳng qua M và song song CD và SA
a)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng a,thiết diện là hình gì
b)Tính diện tích thiết diện theo a và x
15.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều ABCD đáy lớn AB = 2a,hai cạnh bên AD và BC cắt nhau tại I. Tam giác SAB cân tại S và SI = 2a. Trên đoạn AI ta lấy một điểm M ,đặt AM = x (0< x < 2a ). Mặt phẳng a qua M song song SI và AB lần lượt cắt BI ,SB ,SA tại N ,P ,Q
a)Tính góc giữa SI và AB
b) MNPQ là hình gì ?
c)Tính diện tích MNPQ theo a và x.Tìm x để diện tích ấy lớn nhất. Khi đó MNPQ là hình gì
d)Gọi K = MPNQ.Tìm quĩ tích điểm K khi M chạy trên đoạn AI
16*.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M và N là trung điểm của AB và SC
a)Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (SAB) ∩ (SCD)
b)Chứng minh rằng MN //(SAD)
c)Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua trọng tâm của tam giác SBD
d)Gọi P là trung điểm của SA.Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
17*.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M và N là trung điểm của SA và SC
a)Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (BMN) ∩ (ABCD) ; (BMN) ∩ (SBD)
b)Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = SD
c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
d)Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng MI //(SBC) và (IJN)//(SAD)
Mặt phẳng song song mặt phẳng
1.Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong 2 mặt phẳng khác nhau. 
a)Chứng minh rằng (ADF)//(BCE)
b)Gọi I,J,K là trung điểm của các cạnh AB,CD,EF.
 Chứng minh rằng (DIK)//(JBE)
2.Cho tứ diện ABCD.Gọi H,K,L là trọng tâm của các tamgiác ABC, ABD, ACD. Chứng minh rằng (HKL)//(BCD)
3.Cho 2 tam giác ABC và DEF nằm trên 2 mặt phẳng a, b song song với nhau 
 a)Dựng các giao tuyến a (AEF); b (BCD)
 b)Dựng giao tuyến (AEF) (BCD)
4.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD. M là 1 điểm nằm trên cạnh AB,mặt phẳng a qua M và a//(SBC). Dựng thiết diện của hình chóp với a.Thiết diện là hình gì ?
5.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Điểm M thay đổi trên cạnh BC,mặt phẳng a qua M và // mặt phẳng (SAB) 
 a)Dựng thiết diện của hình chóp với a,chứng minh thiết diện là hình thang
b)Chứng minh rằng CD // a
c)Tìm quỹ tích giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện 
6.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a,tam giác SAB vuông cân tạiA.Trên cạnh AD lấy điểm M.Đặt AM =x. Mặt phẳng a qua M và //(SAB) 
 a)Dựng thiết diện của hình chóp với a
 b)Tính diện tích và chu vi thiết diện theo a và x
7.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
 a)Chứng minh rằng (BA’C’) // (ACD’)
 b)Tìm các giao điểm I = B’D (BA’C’); J = B’D(ACD’)
 Chứng minh rằng 2 điểm I,J chia đoạn B’D thành 3 phần 
 bằngnhau
 c)GọiM,N là trung điểm của C’B’ và D’D.Dựng thiết diện 
 của hình hộp với mặt phẳng (BMN)
8.Trong mặt phẳng a cho hình bình hành ABCD.Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về cùng 1 phía với a . Một mặt phẳng b cắt 4 nửa đường thẳng ấy lần lượt tại A’,B’,C’,D’
 a)Chứng minh rằng mp(AA’,BB’) //