Các dạng bài tập về Số phức cơ bản thường gặp

BÀI TẬP SỐ PHỨC.
Tìm các số thực m để số phức: z = ( m3 +2m2 – m – 2) +mi là số thuần ảo.
Cho số phức z = m3 – 8m + ( m2 – 4)i. Định m để z là một số thực khác 0.
a. CMR: Nếu là một số thực thì z là một số thực.
 b. CMR: Nếu các số phức z1 và z2 cùng có môđun bằng 1 thì là một số thuần ảo.
Cho hai số phức z1 và z2 có môđun bằng 1 thoả điều kiện . 
CMR: là một số thực.
Tìm môđun của các số phức Z trong các trường hợp sau:
a) z = 3 +4i	b) z = 3 – 4i	c) z = 4 + 3i	d) z = 4 – 3i
Tìm môđun của z với:
a) z = 12 +9i	b) z = 5 -12i	c) z = -5	d) z = 4i
Hai số phức bằng nhau thì có môđun bằng nhau. Điều ngược lại đúng hay sai: hai số phức có môđun bằng nhau thì bằng nhau?
Em hãy cho vài ví dụ để chứng tỏ điều khẳng định trên là đúng hay sai?
Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?
a) 	b) 	c) i4n = 1	d) i2009 = -1
Tìm các số thực x và y để cho hai số phức sau bằng nhau: z1 = (x + 2y) + 4i; 
z2 = 5 + (2x +y)i.
 Tìm các số thực x và y để cho hai số phức sau bằng nhau:
z1 = (x – 10) + 2(y + 10)i; z2 = y + ( x + 17)i.
Tìm các số thực x và y để cho hai số phức sau bằng:
z1 = (2x +3y) + (3x +2y)i; z2 = (5x +6) + ( 4y +1) i.
Xác định các sô phức z sao cho các số sau có cùng môđun: z; 1/z; 1 – z.
Cho các số phức x, y, z cùng có môđun bằng 1. So sánh môđun của các số:
p = x + y + z và q = xy + yz + zx.
Cho 3 số phức x, y, z cùng có môđun bằng 1 thoả điều kiện: 
a) CMR: 	b) Tìm x, y, z.
Viết các số sau dưới dạng đại số:
a) 	b) c) d) 
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) z = 1 + i	b) z = 	c) 	d) z= .
Cho a và b là hai số phức liên hợp. Đặt a = c( cos + isin).
Tính biểu thức sau theo c, và n ( n là một số tự nhiên)
A = (a + b)(a2 + b2)(an + bn). Chứng tỏ A là một số thực.
 Tính:
a) in , n ; b) ( 1+ i)2; c) ( 1 + i)3; d) ( 1 + i)4; e) ( 1+ i)5 f) (1 + i)6; f) 
Cho hai số phức: .
Tính: z1 + z2; z1.z2; .
Cho hai số phức: Tính: z16.z212; 
Cho hai số thực a và . Tìm môđun và acgumen của số phức: 
Tìm phần thực, phần ảo, môđun và acgumen của số phức: .
a) Viết dưới dạng a +bi với a, b số phức: 
 b) Tính z2, z3, z6 và z2008 .
Tìm mô đun của số phức :
Chứng minh rằng số phức có acgumen bằng .
Viết dưới dạng lượng giác của các số phức sau:
a) z = 1 + i; b) z = 2 – 2i; c) z = -1 + 3i; d) z = - 3 – 3i;e) z = 2; f) z = -3, z = -2i; h) z = 3i.
 Viết dưới dạng đại số của số phức;
a) z có môđun bằng 2, acgumen bằng .
b) z có môđun bằng 3, acgumen bằng .
c) z có môđun bằng 1, acgumen bằng .
d) z có môđun bằng 2, acgumen bằng .
Cho số phức z có môđun bằng 1 và acgumen .
 Tìm môđun và acgumen của số: 1 + z +z2 .
 Tìm số phức z sao cho cả ba số: z, 1/z, và 1- z có cùng môđun ( bằng phương pháp lượng giác).
 Xác định số phức z thoả: .
Cho số phức .
a) Tìm môđun và acgumen của z.
b) Tìm các căn bậc 2 của z bằng 2 cách khác nhau.
 Tìm môđun và acgumen của số phức: 
Tìm căn bậc hai của z.
a) Giải pt sau trong C: z4 –z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0.
b) Cho số phức .
Tính môđun và acgumen của z rồi viết z dưới dạng lượng giác.
Cho 3 số phức a, b, c sao cho a và b khác 0. với điều kiện nào của a và b thì pt: xác định z một cách duy nhất.
 Cho ba đa thức: f(z) = az2 +bz + c; g(z) = az2 + bz + c – d và với z = x + iy với x, y, a, b, c, d là số thực sao cho . Chứng minh rằng: .
Cho số phức z = 3 + 4i. Có hay không một số phức Z = x + yi sao cho Z2 = z.
Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a) – 1;	b) 2i	c) 1 + i	d) 4 – 3i.
Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a) 8 + 6i 	b) 	c) 16 – 30i	d) 5 + 12i
Giải các pt sau trên C:
a) x2 – x + 2 = 0	b) x2 – ( 5 -14i)x – 2(5i +12) = 0
Giải các pt sau trên C:
 a) ( 1- i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0	b) ( 1+i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0 
Giải pt: ( 1 + i)z2 – 2(a + 1)iz + (a2 + 1)( i – 1) = 0. với a là một tham số phức.
a) Giải trên tập C phương trình: z2 + 18z + 1681 = 0
b) Tìm các căn bậc hai của các nghiệm của pt.
a) Giải trên tập C: 
b) Gọi z1 là nghiệm có môđun lớn, z2 là nghiệm thứ hai. Tìm môđun và acgumen của z1 và z2.
c) Tính tỉ số .
1. Chứng tỏ rằng tam thức: P(z) = z2 + 2(2 + i)z +3 + 4i là bình phương của đúng một nhị thức bậc nhất, z là số phức.
2. Trên tập C, xem phương trình: x2 – 2(z + 4)x + 2z2 +2(6 + i) + 19 + 4i = 0 với z là một tham số phức.
a) Định z để pt đã cho có một nghiệm kép.
b) Tìm hai nghiệm x1, x2
c) Tìm tập hợp các số phức z sao cho z là một trong các nghiệm của pt trên.
Giải trên C các pt:
a) z4 + 6z2 + 25 = 0	b) z4 + 4z – 77 = 0
Cho đa thức: P(x) = x4 + 4x3 + 8x2 + 4x + 7
Biết rằng i và –i là hai nghiệm của pt P(x) = 0,hãy phân tích P(x) thành hai tam thức bậc hai có hệ số thực và tìm các nghiệm còn lại của pt:P(x) = 0.
Cho phương trình: z3 – (3 + 4i)z2 – 4( 1 – 3i)z + 12 = 0
a) Chứng minh rằng pt đã cho có một nghiệm thực a. Tính a.
b) Giải pt đã cho trên C.
Giải trên tập C phương trình: 2z3 – (5 +6i)z2 + 9iz + 1 – 3i = 0 biết rằng pt có một nghiệm thực.
Giải pt sau trên C: (z2 + 3z +6)2 +2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = 0.
 Giải pt sau trên tập C: z6 – (1 – i)z3 – i = 0.
 Giải trên C phương trình: 
Tìm các nghiệm phức của pt: z2 – 2z + 17 = 0
 Tính các tổng sau:
 Tính 
Biểu diễn trên mp phức các số phức sau:
Trong mp phức, cho M và M’ theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z’: z = x + yi, .
Tìm tập hợp (E) các điểm M sao cho:
a) Điểm M’ nằm trên trục và M’ khác 0
b) Điểm M’ nằm trên trục hoành và M’ khác 0.
Cho số phức z = x + yi.
1. a. Biểu diễn z2 và 1 – z theo x và y.
b. Tìm hệ thức giữa x và y để cho môđun của z2 bằng môđun của z.
c. Tìm điều kiện để ba số z2, 1 – z và z có cùng môđun.
2. Biểu diễn trong mp phức các số z, z2, 1 – z trong điều kiện c). Tìm acgumen của z.
Tìm tập hợp (T) các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả hệ thức: .
 Cho 
1.a. Tìm điều kiện giữa x và y để cho Z là một số thực.
1.b. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z.
2.a. Tìm điều kiện giữa x và y để cho Z là số thuần ảo.
2.b. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z.
1. Tìm trong mặt phẳng phức tập hợp (E) các điểm M biểu diễn số phức z sao cho là một số thực.
2. Giải các phương trình sau trên tập C:
(1) ;(2) . Chứng tỏ điểm biểu diễn các nghiệm của các phương trình (1) và (2) đều thuộc (E).
 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho:
1. 	2. .
 Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn các số phức: z = x + iy và .
1. Tính Z theo x và y
2. Tìm tập hợp các điểm m sao cho:
a. Z là một số thực.
b. Z là một số thuần ảo.
 Trong mặt phẳng phức, cho A và B là điểm biểu diễn các số thực a và b, a > b > 0.
1. Vẽ điểm M1 biễu diễn số phức z1 sao cho: 
2. Vẽ điểm M2 biểu diễn số phức z2 sao cho:
 Xác định số phức z sao cho ảnh của các số i, z, iz là 3 đỉnh của một tam giác đều.
 1. Tìm nghiệm của phương trình trên tập C: z4 + 16 = 0.
 2. Xác định vị trí các điểm bểu diễn các nghiệm đó.
 Cho số phức u = 1 + 2i; M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’. Xác định điểm M’ sao cho z’ = u + z.
 Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số pức thoả điều kiện:
1. 	2. 	3. 	4. và phần thực của z bằng 1.