Các dạng bài tập tổng hợp về Hình học lớp 12

ung ®iÓm cña BC, CA, AB
Trung trùc cña c¹nh BC lµ ®­êng th¼ng ®i qua M(-2;1)
vµ vu«ng gãc víi BC nªn nhËn= (2;6) lµm VTPT
=>PTTQ : 2(x + 2) + 6(y – 1) = 0 x + 3y – 1 = 0
T­¬ng tù:
Trung trùc cña c¹nh CA : 7x + y – 17 = 0
Trung trùc cña c¹nh AB : x - y – 3 = 0
Bµi tËp t­¬ng tù:
Bµi 2: Cho 3 ®iÓm M(2;1), N(5;3), P(3;-4).
a,ViÕt ph­¬ng tr×nh 3 c¹nh cña tam gi¸c MNP
b,ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c ®­êng cao cña tam gi¸c MNP (®­êng cao trong tam gi¸c lµ ®­êng ®i qua ®Ønh vµ vu«ng gãc víi c¹nh ®¸y cña tam gi¸c)
c, ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c ®­êng trung tuyÕn cña tam gi¸c MNP(®­êng trung tuyÕn trong tam gi¸c lµ ®­êng ®i qua ®Ønh vµ trung ®iÓm c¹nh ®èi)
D¹ng To¸n 3 : C¸c bµi to¸n tÝnh kho¶ng c¸ch, gãc
1,Gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng: 
Gi¶ sö 2®t' D1 vµ D2 cãpt: A1x + B1y + C1 = 0; A2x + B2y + C2 = 0 cã 2 VTPT 
1= (A;B1) , 2 = (A2;B2). Gäi j lµ gãc gi÷a hai ®t' ®ã 
=> cosj = 
2,Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M0(x0;y0) ®Õn ®t'D : Ax + By + C = 0
 ®­îc cho bëi c«ng thøc: d(M0; D) = 
3,§­êng ph©n gi¸c cña 1 gãc:
Gi¶ sö 2®t' D1 vµ D2 cãpt: A1x + B1y + C1 = 0; A2x + B2y + C2 = 0. §iÓm M(x;y) n»m trªn ®­êng ph©n gi¸c
Ûk/c tõ ®' M ®Õn 2®t' D1 vµ D2 b»ng nhau hay :
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1:TÝnh k/c tõ ®' M(4;-5) ®Õn ®t' cã pt: 
a, 3x - 4y + 8 = 0
b, 
Gi¶i:
a,d(M,) = 
b,§­a ptts vÒ d¹ng pttq
PTTQ: 3x - 2y + 4 = 0 , d(M,)=
Bµi 2:T×m quü tÝch c¸c ®iÓm c¸ch ®Ò hai ®­êng th¼ng:
Gi¶i: 
Gäi M(x;y) lµ quü tÝch ®iÓm cÇn t×m :d(M,1) = ; d(M,2) = 
d(M,1) = d(M,2) 5x + 3y + 2 = 0
VËy : Quü tÝch cÇn t×m lµ ®t' : 5x + 3y + 2 = 0
Bµi 3: Cho M(2;5) vµ ®­êng th¼ng x + 2y – 2 = 0.T×m to¹ ®é ®' M'®èi xøng víi M qua 
Gi¶i:
V× M' ®èi xøng víi M qua t¹i H, H lµ trung ®iÓm MM'
(T×m to¹ ®é ®' M'
 - ViÕt pt®t d ®i qua ®iÓm M vµ vu«ng gãc víi 
 - T×m giao ®iÓm H cña d vµ 
 - T×m to¹ ®é ®iÓm M' tõ to¹ ®é ®iÓm M vµ H)
- §t' cã VTCP (2;-1)
- ®t d nhËn (2;-1) lµm VTPT =>PTTQ cña ®t' d : 2x - y + 1 = 0.
To¹ ®é giao ®iÓm H cña d vµ lµ nghiÖm cña: => H(0;1)
Gäi M'(x';y') => 0' = 
 1 = 
VËy : (-2;-3). 
3,Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua 1 ®iÓm vµ tiÕp xóc mét ®­êng trßn (hoÆc mét conÝc)
§Þnh lý:
Cho ®t' : Ax + By + C = 0 (1)
a,§­êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña elÝp a2A2+b2B2 = C2 (C0)
b,§­êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña hypebol a2A2-b2B2 = C2 (C0)
c,§­êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña parabol y2 = 2px pB2 = 2AC.
Bµi 3: 
a,ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua M(5;2) tiÕp xóc víi elÝp : b,
b, ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua M (3;4) tiÕp xóc víi parabol y2 = 4x
Gi¶i:
a,ThÕ to¹ ®é ®iÓm M(5;2) vµo pt elÝp ta ®­îc ®' M kh«ng thuéc elÝp
Gäi ®t' lµ ®­êng th¼ng ®i qua M vµ cã vtpt (A;B) th× pttq cña ®t' cã d¹ng: A(x-5) +B(y-2) = 0
Ax + By -5A -2B = 0 (*)
§Ó tiÕp xóc víi elÝp lµ: 
25A2 +9B2 = (5A+2B)2 20AB - 5B2 =0
5B(4A-B)= 0 
*B = 0 ta chän A=1 thay vµo (*) ta cã pt lµ: x-5 = 0
*B= 4A chän B = 4, A = 1 thay vµo (*) ta cã pt tt lµ x + 4y -13 = 0
b,ThÕ to¹ ®é ®' M (3;4)vµo pt parabol ta cã: 164.3, vËy M(P)
Gäi lµ ®t' ®i qua ®' M vµ cã vtpt (A;B)
Pttq cña lµ: A(x-3) + B(y-4) = 0
=>Ax+By - 3A - 4B = 0 (1)
§Ó tiÕp xóc víi parabol y2 = 4x 
B2 2 = 2A(-3A-4B) (2)
V× p = 2 tõ (2) => 2B2 = -6A2 -8AB
3A2 +4AB +B2 = 0 gi¶i pt bËc hai cã nghiÖm A = B vµ A = -B.
*Víi A = -B => B = -1, A = 1 thÕ vµo (1) ta ®­îc pt tt lµ: x-y+1=0
*Víi A = -B.=> B = -3, A = 1 thÕ vµo (1) ta ®­îc pt tt lµ: x-3y+9=0.
Bµi 2 :ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng víi (d) : 2x – y + 5 = 0 vµ tiÕp xóc víi parabol y2 = -2x
Gi¶i:
Gäi ®t' lµ ®t' vu«ng gãc víi ®t' (d) : 2x-y+5=0=> ®t' cã vtpt (1;2) => pttq cña ®t lµ: x + 2y + C = 0
§Ó ®t' tiÕp xóc víi y2 = -2x ( p = -1) ta ph¶i cã : 22 (-1) = 2.1.C => C = -2.
VËy ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng cÇn t×m lµ : x + 2y - 2 = 0.
D¹ng To¸n 4 : 
 Bµi to¸n ®­êng trßn
D¹ng 1: ViÕt Ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn 
(pt ®t cã d¹ng : (x – a)2 + (y – b) = R2 hoÆc x2 + y2 +2Ax + 2By + C = 0)
1,ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®i qua 2 ®iÓm:
Bµi 1: 
a,ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn qua gèc to¹ ®é vµ cã t©m I(3;-5)
b,ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn qua c¸c ®iÓm A(-1;3), B(1;-5) vµ cã t©m n»m trªn trôc tung.
Gi¶i:
a,B¸n kÝnh R =>PT§T lµ: (x – 3)2 + (y +5)2 = 34
b,Gäi I(0;y) lµ t©m ®­êng trßn qua A, b nªn ta cã: 
R = IA = IB =y = -1
=>I(0;-1); R = .VËy PT§T cÇn t×m lµ: x2 + (y +1)2 = 17
Bµi 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB víi A1;1), B(7;5)
Gi¶i:
T©m I cña ®­êng trßn lµ trung ®iÓm cña AB: =>I(4;3)
B¸n kÝnh R = IA = 
VËy PT§T cÇn t×m lµ: (x – 4)2 + (y -3)2 = 17
2,ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®i qua 3 ®iÓm:
Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®i qua 3 ®iÓm: A(1;2), B(5;2), C(1;-3).
Gi¶i:
C¸ch 1:
 T©m I cña ®­êng trßn lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng trung trùc AB, AC ta cã:
- §­êng trung trùc AB :
 NhËn (4;0) lµm vtpt vµ ®i qua trung ®' I cña AB: To¹ ®é ®' I(3;2).
PTTQ cña AB lµ: x - 3 = 0
- §­êng trung trùc AC cã pt: 2y + 1 = 0
- To¹ ®é t©m I lµ nghiÖm cña hpt: =>I(3; -)
- B¸n kÝnh: R = IA => R2 = IA2 = (1-3)2 + (2+)2 = 
VËy: PT§T cÇn t×m lµ: (x- 3)2 + (y +)2 = 
C¸ch 2:
 Gäi I(x;y) lµ t©m ®­êng trßn ®i qua 3 ®iÓm: A(1;2), B(5;2), C(1;-3), ta cã:
- B¸n kÝnh: R = IA => R2 = IA2 = (1-3)2 + (2+)2 = 
VËy: PT§T cÇn t×m lµ: (x- 3)2 + (y +)2 = 
C¸ch 3:
 Gi¶ sö PT§T cã d¹ng x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
v× ®­êng trßn ®i qua 3 ®iÓm: A(1;2), B(5;2), C(1;3), ta cã:
LÊy (2) –(1) : 8A + 24 = 0=>A = -3
 (2)-(3) : 8A + 10B + 19 = 0 =>8.(-3) + 10B + 19 = 0=>B = - , thay A= -3, 
B = - vµo (1) : 2.(-3)+4.( -) + c + 5 = 0 => C = -1
VËy PT§T cÇn t×m lµ: x2 + y2 - 6x + y - 1 = 0
D¹ng 2: Ph­¬ng tÝch – trôc ®¼ng ph­¬ng
Cho ®­êng trßn (C) : x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0
- Ph­¬ng tÝch cña ®iÓm M0(x0;y0) ®èi víi (C):
PM/(C) = +- 2ax0 – 2by0 + c 
+NÕu PM/(C) > 0M ë bªn ngoµi ®­êng trßn (C)
+NÕu PM/(C) M ë bªn trong ®­êng trßn (C)
+NÕu PM/(C) = 0M ë trªn ®­êng trßn (C)
- Trôc ®¼ng ph­¬ng cña hai ®­êng trßn (C) : x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 vµ (C’): 
(C) : x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (1)
(C’): x2 + y2 - 2a’x – 2b’y + c’ = 0 (2)
Ph­¬ng tr×nh trôc ®¼ng ph­¬ng cña (C) vµ (C’) cã ®­îc b»ng c¸ch trõ hai pt (1) vµ (2) theo vÕ.
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: Cho A(-2;3) vµ 2 ®­êng trßn (C) : x2 + y2 - 6x – 2y + 1 = 0 (1)
 (C’) : x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0 (2)
a,TÝnh ph­¬ng tÝch cña ®iÓm A ®èi víi (C) vµ (C’).X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm A ®èi víi 2 ®­êng trßn.
b,T×m ph­¬ng tr×nh trôc ®¼ng ph­¬ng cña (C) vµ (C’)
c,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng trßn (C) vµ (C’).
Gi¶i:
a, PA/(C) = (-2)2 + 32 – 6(-2) – 2.3 + 1 = 20 > 0 =>A ë ngoµi (C)
 PA /(C’) = (-2)2 + 32 + 2(-2) – 4.3 + 1 = -2 A ë trong (C’)
b, Ph­¬ng tr×nh trôc ®¼ng ph­¬ng cña (C) vµ (C’) cã d¹ng:
LÊy (1) – (2) : - 8x + 2y = 0 hay - 4x + y = 0 
c,To¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng trßn (C) vµ (C’) lµ nghiÖm cña hÖ:
lÊy (1) –(2) theo vÕ, ta ®­îc: 
Tõ (3)=>y = 4x, thay vµo (1) : 17x2 – 14x + 1 = 0 =>x = ;y = 
Bµi 2: Cho A(1;-2) vµ 2 ®­êng trßn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0
 (C’) : x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0
a,TÝnh ph­¬ng tÝch cña ®iÓm A ®èi víi (C) vµ (C’).X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm A ®èi víi 2 ®­êng trßn.
b,T×m ph­¬ng tr×nh trôc ®¼ng ph­¬ng cña (C) vµ (C’)
c,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng trßn (C) vµ (C’).
D¹ng 3 : ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn
- Nªn vÏ h×nh ®Ó ®o¸n nhËn tiÕp tuyÕn chung d¹ng x = a
- Sau ®ã xet ®­êng th¼ng y = kx + b. §­êng th¼ng nµy lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn c¸c kho¶ng c¸ch tõ t©m cña mçi ®­êng trßn ®Õn ®­êng th¼ng ®ã b»ng b¸n kÝnh cña mçi ®­êng trßn t­¬ng øng.
- Ta thiÕt lËp hÖ ph­¬ng tr×nh theo hai Èn k, b. Gi¶i hÖ nnµy ta cã ®­îc k, b.
Bµi tËp:
Bµi 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn
(C1) : x2 + y2 - 6x + 5 = 0 (1)
(C2) : x2 + y2 - 12x – 6y + 44 = 0 (2)
Gi¶i:
 Hai ®­êng trßn (C1) vµ (C2) cã t©m vµ 
b¸n kÝnh lµ: I1(3;0), R1 = 2; I2(6;3), R2 = 1
DÔ dµng nhËn ra 2 tiÕp tuyÕn chung trong 
cña (C1) vµ (C2) lµ : x = 5 va y = 2
XÐt ®­êng th¼ng (d): y = kx + b kx – y + b = 0
d tiÕp xóc víi (C1) vµ (C2) 
=>(3k + b)2 = 4(6k + b – 3)2 =>
-Víi b = -8k + 6, thay vµo (1) ta ®­îc: 5k2 – 18k + 8 = 0
-Víi b = -5k + 2, thay vµo (1), ta ®­îc: 8k = 0=> k = 0; b = 2
VËy: cã 4 ®­êng th¼n tiÕp xóc víi c¶ (C1) vµ (C2) lµ: 
x = 5; y = 2; y = x + ; y = x + 
Bµi 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn
(C1) : x2 + y2 - 10x + 24y - 56 = 0 
(C2) : x2 + y2 - 2x – 4y - 20= 0 
D¹ng to¸n 5: Bµi to¸n vÒ ®­êng c«nic
D¹ng 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp, hypebol, parabol khi biÕt c¸c ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh
- Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp : , víi b2 = a2 – c2;F1(-c;0), F2(c;0);
A1(-a;0), A2(a;0);B1(-b;0), B2(b;0) . T©m sai e = < 1; §­êng chuÈn x = ±
- Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol : , víi b2 = c2 – a2;F1(-c;0), F2(c;0);
A1(-a;0), A2(a;0);T©m sai e = < 1; §­êng chuÈn x = ±;
TiÖm cËn : y = ±x 
- Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol :y2 = 2px ; F(;0), P(-;0).
Bµi tËp :
Bµi 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp trong c¸c trong c¸c tr­êng hîp sau:
a,§é dµi trôc lín lµ 12 vµ tiªu cù lµ 6
b,Tiªu cù 6 vµ t©m sai e = 
c,§é dµi trôc nhá lµ 10 vµ t©m sai e = 
d,Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®­êng chuÈn lµ 16 vµ ®é dµi trôc lín lµ 8
e,Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®­êng chuÈn lµ 32, t©m sai e = 
Gi¶i:
Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp : , víi b2 = a2 – c2
a,§é dµi trôc lín lµ 12 = 2a=>a = 6, tiªu cù 2c = 6 =>c = 3; víi b2 = a2 – c2 =
 36 – 9 = 27. VËy : Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp : 
b, Tiªu cù 2c = 6 =>c = 3 vµ t©m sai e = = =>a =.c =.3 = 4=> b2 = a2 – c2 
= 16 – 9 = 7 VËy : Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp : 
c,§é dµi trôc nhá 2b = 10=>b = 5, t©m sai e == =>c=a, mµ :b2 = a2 – c2
= a2 – (a)2 (a)2 25 =.a2 a2 = 169=> a = 13 
VËy : Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp : 
d, §é dµi trôc lín 2a = 8=>a = 4, Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®­êng chuÈn lµ 16 =>2 = 2 = 16=> = 8=>c = = 2.Tõ ®ã: b2 = a2 – c2 = 16 – 4 = 12 
VËy : Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp : 
e, Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®­êng chuÈn lµ 32, t©m sai e = nªn ta cã :
=>=> ,Tõ dã : b2 = a2 – c2 = 64 – 16 = 48 
VËy : Ph­¬ng tr×nh