Các dạng bài tập Cấp số cộng - Cấp số nhân - Giới hạn

một cấp số cộng với công sai là 25.
Giải:
Đặt 3 cạnh cần tìm là: với 
Theo định lí Pitago ta có:
Với x=100 ta có cấp số cộng tương ứng 3 cạnh là: 75,100,125
Bài tập 7: Cho cấp số cộng u1, u2, u3, ...
Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16.
Giải:
Ta có: u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147
 	 (u1 + u16) + (u4 + u13) + (u7 + u10) = 147
 	 (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 147
 3(2u1 + 15d) = 147
 2u1 + 15d = 49
Mặt khác: u1 + u6 + u11 + u16
 = (u1 + u16) + (u6 + u11)
 = (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 2(2u1 + 15d) = 2.49 = 98.
Suy ra: u1 + u6 + u11 + u16 = 98.
Bài tập 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80. Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Giải:
Ta có: S15 = (u1 + u15).
Mặt khác ta có: u3 + u13 = (u1 + 2d) + (u1 + 12d) 
 = u1 + (u1 + 14d) = u1 + u15 = 80.
Do đó:S15 = (u1 + u15) = .80 = 600.
Bài tập 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Giải:
Ta có: S11 = 176 = (u1 + u11)
 (2u1 + 10d) = 176 (1)
 và u11 - u1 = 30
 (u1 + 10d) - u1 = 30
 10d = 30
 d = 3 (2)
 Thay (2) vào (1) ta được: u1 = 1
Do đó: Cấp số cộng cần tìm là:
 	1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
Bài tập10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3. Tính a10.
Giải:
Ta có: a10 = a1 + (10 - 1)(-3) = 4 + 9(-3) = -23
Bài tập 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau nay
 ĐS: 1/ u1 = và d = ; 2/ u1 = 3 và d = 4.
 3/ u1 = 0 và d = ; 4/ u1 = và d = . 
Bài tập 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Giải:
Theo giả thiết ta có: 
 Vậy: S20= 
Bài tập 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3. Tính u20 và S20.
 ĐS: u20 = 74, S20 = 910
Bài tập 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4. Tính u1 và S10.
 ĐS: u1 = 46, S10 = 280
Bài tập 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1. Tính d và S11.
 ĐS: d = và S11 = 187
Bài tập 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên.
 ĐS: S20 = 1350 
 ------------------------------------------ Hết -------------------------------------------------
CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
1) Định nghĩa:
 Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội.
 Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có
 un+1 =un.q (n = 1, 2, ...).
 Đặc biệt:
 Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, ..., 0, ...
 Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, ..., u1, ...
 Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ..., ...
 Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu
 u1, u2, ..., un, ....
2) Số hạng tổng quát
 Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
 un = u1 (q)
3) Tính chất các số hạng của cấp số nhân
 Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là: 
4) Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
 Cho một cấp số nhân với công bội q 1
 u1, u2, ...,un, ... 
 Định lí: Ta có: (q 1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 vàu6 = 1
2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6.
Giải:
1/ Ta có: 
 Vậy cấp số nhân là: 243, 81, 27, 9, 3, 1
2/ Ta có:
và 
Bài tập 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486.
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
Giải:
Ta có: 
Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được:
Thế q = -3 vào (1) ta được: u1 = 2
Vậy ta có: u1 = 2, q = -3
Bài tập 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:
Giải: 
Ta có: 
Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q = 2
Thay q = 2 vào (1) ta được: 
Vậy u1 = 12, q = 2.
Bài tập 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48.
Giải:
Ta có: 
q = 0, u = 0 không là nghiệm của hệ
Chia (2) cho (1) vế theo vế ta được:
 .
Thay vào (1) tacóù: 
* q = 2, ta có cấp số nhân 3, 6, 12, 24, ...
* q = -2, ta có cấp số nhân -3, -6, -12, -24, ...
Bài tập 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết:
Giải:
Ta có:
Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được:
Thay q = 3 vào (1) ta được u1 = 1
Vậy u1 = 1, q = 3.
Bài tập 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Giải:
Theo bài ra ta có:
Từ 
Thay q = 3 vào (1) ta được: 40u1 = 360 u1 = 9
 Ta có cấp số nhân: 9, 27, 81, 243
Thay q = -3 vào (1) ta được: u1 = -18
 Ta có cấp số nhân: -18, 54, -162, 486.
Bài tập 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
Giải:
Gọi u1, u2, u3 là ba số hạng của cấp số cộng công sai d
Theo bài ra u1, u2-1, u3 +1 lập thành cấp số nhân
Ta có: 
Với d = 4 thì u1 = 3 ta có cấp số cộng: 3, 7, 11
Với d = -5 thì u1 = 12 ta có cấp số cộng: 12, 7, 2 
---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------
 GIỚI HẠN
A: Giới hạn dãy số:
 Kiến thức cần nhớ:
 Định lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn)
 Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn.
 Định lý2: (Tính duy nhất của giới hạn)
 Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
 Định lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Định lý Vaiơstrat).
 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
 Định lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn) 
 Cho ba dãy số (un), (vn), (wn).
 Nếu ta có và lim vn = lim wn = A thì lim un = A.
 Định lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số).
 Nếu hai dãy số có giới thì ta có:
 Định lý6: Nếu 
 Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với là:
 S=u1+u2+...+un+...= .
 Số e: 
 Định lý7: Nếu thì
 Ngược lại, nếu thì
Giới hạn của hàm số:
Kiến thức cần nhớ:
 1/ Một số định lý về giới hạn của hàm số:
 Định lý1: (Tính duy nhất của giới hạn)
 Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất.
 Định lý2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số).
 Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi thì:
 Định lý3: (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một giới hạn)
 Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a). Nếu với mọi điểm x của khoảng đó và nếu
 thì
 Định lý4: Nếu khi , hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì (hoặc ).
 Định lý5: Nếu (vàvới mọi x đủ gần a) thì
 Ngược lại, nếu thì 
2/ Giới hạn một bên :
 Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho
 limxn = a thì limf(xn) = L.
 Ta viết: (hoặc ).
 Định lý: Điều kiện ắc có và đủ để là đều tồn tại và bằng L.
3/ Các dạng vô định:
 Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây. Ta cần tìm: 
 1/ mà . 
 2/ mà .
 3/ mà và .
4/ mà hoặc . 
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
A. GIỚI HẠN DÃY SỐ
 Bài tập 1: Tính các giới hạn:
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
 ) 
B. GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
Dạng 
Bài tập 2: Tính các giới hạn: 
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
Bài tập 4: Tính các giới hạn:
Bài tập 5: Tính các giới hạn:
Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:
 Dạng 
Bài tập 7: Tính các giới hạn: 
 ĐS: 
Bài tập 8: Tính các giới hạn:
 ĐS: 
Dạng 
Bài tập 9: Tính các giới hạn: 
 ĐS: 
 Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:
 Cho biết : 
 Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:
 ĐS: 
 ------------------------------------ Hết ----------------------------------------
 HÀM SỐ LIÊN TỤC
 Kiến thức cần nhớ:
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm (a; b) nếu: .
 Nếu tại điểm xo hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại xo và điểm xo được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).
 Theo định nghĩa trên hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm (a; b) nếu và chỉ nếu và tồn tại và
2. Hàm số liên tục trên một khoảng:
 a. Định nghĩa: 
 Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy. 
 Hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó là liên tục trên khoảng (a; b) và .
Lưu ý: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
 b. Một số định lý về tính liên tục:
 Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó.
 Định lý 2: Các ha