Các công thức lượng giác và phương trình lượng giác

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Các kiến thức lượng giác cơ bản : 
Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :
 ( với ,k Î Z )
 ( với ,k Î Z )
 ( với ,k Î Z )
 ( với ,k Î Z )
 ( với ,k Î Z )
Cung hơn kém k2π và kπ :
Cung đối :
Cung bù :
Cung phụ :
Cung hơn kém π/2 :
Cung hơn kém π :
Công thức cộng :
Công thức nhân đôi :
Công thức chia đôi :
Công thức nhân ba :
Công thức hạ bậc :
Công thức theo :
Công thức biến đổi tích thành tổng :
Công thức biến đổi tổng thành tích :
Các kết quả thường dùng :
Các hằng đẳng thức trong tam giác :
Điều kiện đối với một phương trình lượng giác :
Cũng giống như khi giải các phương trình khác, việc đặt điều kiện khi giải phương trình lượng giác rất quan trọng. Ngoài các điều kiện thông thường đối với mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chẵn có mặt trong phương trình, riêng đối với phương trình lượng giác cần lưu tâm đặc biệt đến các diều kiện sau :
Để tan x có nghĩa, điều kiện là 
Để cot x có nghĩa, điều kiện là 
Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương trình khác thường được tiến hành như sau :
Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng.
So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai.
Một số chú ý :
Đối với các họ nghiệm theo tan và cot, nếu một vế của phương trình không chứa ẩn thì ta không cần đặt điều kiện.
Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan và cot, dùng cung bù cho hàm cos.
Xác định số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác :
Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy sinh trong các trường hợp sau đây :
Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước nào đó của biến.
Giải một số phương trình lượng giác dạng đặc biệt.
Thông thường đối với các bài toán dạng xác định số k ta thường tiến hành như sau :
Giải phương trình lượng giác như bình thường.
Với nghiệm tìm được, để xác định số k tương ứng ta phải giải một bất phương trình đơn giản: Tìm nghiệm nguyên k thỏa mãn một bất phương trình.
Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm sẽ suy ra các nghiệm cần tìm.
Nhìn chung, việc xác định cụ thể các giá trị của tham số k nguyên trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác xuất hiện trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác. Nếu để ý thì dưới hình thức này hay hình thức khác thực chất đó là giải phương trình lượng giác có kèm theo một diều kiện phụ nào đó.
Việc xác định các giá trị của tham số k qui về việc tìm nghiệm nguyên của một bất phương trình cụ thể nào đó.
Các phương trình lượng giác thường gặp :
Các họ nghiệm cơ bản :
Các họ nghiệm đặc biệt : 
Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác của u :
Có dạng: Đối với các phương trình (1) và (2) cần có thêm điều kiện 
Chọn a sao cho Þ đưa về các họ nghiệm cơ bản để giải.
Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác của u :
Có dạng: . Đặt 
Þ Phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0
Giải phương trình tìm t (xét điều kiện nếu có) Þ các họ nghiệm cơ bản, giải tìm x
Các dạng khác :
Dạng của phương trình
Phương pháp giải
Dạng 1 : Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x),trong đó f(x) là một biểu thức lượng giác nào đó.
Đặt ẩn phụ t = f(x).
Dạng 2 : Phương trình bậc nhất đối với và . 
Cách 1 :
Chia hai vế phương trình cho 
Cách 2 :
Tìm nghiệm thỏa. 
Với thì đặt ta có:;.Đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc hai theo ẩn t.
Dạng 3 : Phương trình đối xứng với và :
Đặt thì 
Dạng 4 : Phương trình thuần bậc hai đối với và :
Với a2 + b2 + c2 ≠ 0
Cách 1 :
Tìm nghiệm thỏa .
Với thì chia hai vế của phương trình cho dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn . 
Cách 2 :
Tìm nghiệm thỏa 
Với thì chia hai vế của phương trình cho dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn .
Dạng 5 : Phương trình thuần bậc ba đối với và :
Cách giải tương tự như phương trình thuần nhất bậc hai nhưng chia hai vế cho hoặc và chú ý áp dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.
HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC
Bảng giá trị lượng giác đặt biệt:
0
1
0
1
0
-
-
-
-1
0
1
-
-1
-
0
1
0
-
-1
-
PHệ thức lượng cơ bản:
1) 	4) 
2) 	5) 	
3) 	6) 
PCác cung có liên quan đặt biệt:
1) Hai cung đối nhau: 	
2) Hai cung bù nhau:	2)Hai cung bù nhau:
3) Hai cung hơn kém nhau 
4) Hai cung phụ nhau:
PCông thức cộng:
PCông thức nhân đôi, nhân ba:
PCông thức hạ bậc:
PCông thức biến đổi tích thành tổng:
PCông thức biến đổi tổng thành tích:
PCách giải phương trình lượng giác:
PCác trường hợp đạc biệt:
PCông thức tính theo 
PPhương trình vế trái đối xứng với sinx và cosx:
*	Đặt t=sinx +cosx dk: 
* 	Đặt t=sinx - cosx dk: 
PPhương trình lượng giác giải theo hằng đẳng thức:
Các công thức lượng giác cơ bản.
Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân 
Công thức cộng .
 . (cos thì cos cos sin sin dấu trái).
 . (cos thì cos cos sin sin dấu trái).
 . (sin thì sin cos cos sin dấu cùng).
 . (sin thì sin cos cos sin dấu cùng).
Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân 
Công thức nhân đôi.
.
Công thức nhân ba.
. ( ba sin trừ bốn sỉn).
. (bốn cổ trừ ba cô).
Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân 
Công thức hạ bâc.
.
.
Chú ý: Các công thức này quan trọng khi áp dụng giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân 
Công thức tính sina, cosa theo t=tan.
Công thức biến đổi tích thành tổng.
 (cos nhân cos bằng cos cộng cộng cos trừ)
 (sin nhân sin bằng cos trừ trừ cos cộng)
 (sin nhân cos bằng sin cộng cộng sin trừ)
 Giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.
 Góc- cung
HSLG
00
0
300
450
600
900
sin
0
1
cos
1
0
tan
0
1
cot
1
0
HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC
Bảng giá trị lượng giác đặt biệt:
0
1
0
1
0
-
-
-
-1
0
1
-
-1
-
0
1
0
-
-1
-
PHệ thức lượng cơ bản:
1) 	4) 
2) 	5) 	
3) 	6) 
PCác cung có liên quan đặt biệt:
1) Hai cung đối nhau: 	
2) Hai cung bù nhau:	2)Hai cung bù nhau:
3) Hai cung hơn kém nhau 
4) Hai cung phụ nhau:
PCông thức cộng:
PCông thức nhân đôi, nhân ba:
PCông thức hạ bậc:
PCông thức biến đổi tích thành tổng:
PCông thức biến đổi tổng thành tích:
PCách giải phương trình lượng giác:
PCác trường hợp đạc biệt:
PCông thức tính theo 
PPhương trình vế trái đối xứng với sinx và cosx:
*	Đặt t=sinx +cosx dk: 
* 	Đặt t=sinx - cosx dk: 
PPhương trình lượng giác giải theo hằng đẳng thức:
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản.
 1. Công thức: 
 2. Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:
Dạng 2: Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác:
 . Chú ý: 
Ví dụ: Giải các pt sau:
Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sin cà cos có dạng: asinx+bcosx=c.
	Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Điều kiện có nghiệm: .
Chia hai vế phương trình cho .
Pt .
Do 
Nên đặt (hoặc ngược lại).
Pt trở thành: 
Giải pt tìm x.
Ví dụ: Giải các phương trình:
 Giải 
Chia hai vế pt cho .
 Giải 
Chia hai vế pt cho .
3/ .
 Giải 
Phần II: Giải các phương trình lượng giác bằng các phép biến đổi.
1/ 
 Giải 
2/ . Chú ý: 
 Giải 
3/ . Khối B năm 2004.
 Giải 
4/ KD- 2004
 Giải 
5/ . ĐH KD 2002
Hướng dẫn:.
Giải 
6/ . Khối D - 2003
- HD:. 
 Giải 
7/ .KD – 2006
Chú ý: Biến đổi hiệu thành tích.
8/ . Khối B năm 2005.