Các Chuyên đề luyện thi Đại học - Số phức và đại số tổ hợp - Vũ Ngọc Vinh

i2 = -1 được gọi 
là số phức. 
 a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. 
 Tập hợp số phức được kí hiệu là C. 
 Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R C . 
 Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 
2. Biểu diễn hình học 
 Số phức z = a + bi  ,a b R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi  ,u a b

 trong 
mp(Oxy) (mặt phẳng phức). 
3. Hai số phức bằng nhau 
 '' ' , , ', '
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b
     
4. Cộng và trừ hai số phức 
*      ' ' ' 'a bi a b i a a b b i       ; *      ' ' ' 'a bi a b i a a b b i       
* Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi 
5. Nhân hai số phức 
*        ' ' ' ' ' 'a bi a b i aa bb ab ba i       ; *    k a bi ka kbi k R    
6. Số phức liên hợp 
* Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi  
* z z ; * ' 'z z z z   ; * . ' . ' ;
' '
z zz z z z
z z
    
 ; * 2 2.z z a b  
* z là số thực z z  ; * z là số ảo z z   
7. Modul của số phức 
Cho số phức z = a + bi 
* 2 2 .z a b z z OM   

 ; * 0, ; 0 0z z C z z      
* . ' . 'z z z z ; *
' '
zz
z z
 
* ' ' 'z z z z z z     
8. Chia hai số phức 
*  1 2
1 0z z z
z
   ; * 
' ' '
' 1
2
. ..
.
z z z z zz z
z z zz
   
9. Căn bậc hai của số phức 
* z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi 
2 2
2 xw
2
y az
xy b
      
* w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0 
* w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau 
* Hai căn bậc hai của a > 0 là a 
* Hai căn bậc hai của a < 0 là a i  
 Vũ Ngọc Vinh 2 
10. Phương trình bậc hai 
 2 0 *Az Bz C   (A, B, C là các số phức cho trước, 0)A  
* Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực 
* Nếu 0z C là một nghiệm của (*) thì 0z cũng là nghiệm của (*) 
II. Dạng lượng giác của số phức 
 cos sinz r i   (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0) 
* 2 2r a b  là môđun của z.; *  là một acgumen của z thỏa 
cos
sin
a
r
b
r


 

 
1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu  cos sinz r i   ,  ' ' cos ' sin 'z r i   thì: 
*    . ' . ' cos ' sin 'z z r r i         *    cos ' sin '' '
z r i
z r
         
2. Công thức Moivre: *n N thì    cos sin cos sinn nr i r n i n        
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác 
Căn bậc hai của số phức  cos sinz r i   (r > 0) là cos sin
2 2
r i    
 và cos sin
2 2
r i     
B. BÀI TẬP 
1. (ĐH_Khối A 2009) 
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức 
2
2
2
1 zzA  . 
ĐS: A=20 
2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0z z   . Tính giá trị của biểu thức 
 
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z



. 
ĐS: A=11/4 
3. (CĐ_Khối A 2009) 
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. 
b. Giải phương trình sau trên tập số phức: iz
iz
iz 2734 

 . 
ĐS: a. a=2, b=3 
b. z=1+2i, z=3+i 
4. Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z i   . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 
ĐS:    2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i        . 
5. (ĐH_Khối B 2009) 
Tìm số phức z thỏa mãn   102  iz và 25. zz . 
ĐS: z=3+4i hoặc z=5 
6. Tìm số phức z thỏa mãn: 
 
 
1 1 1
3 1 2
z
z i
z i
z i
   
   
. 
HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. 
ĐS: z=1+i. 
 Vũ Ngọc Vinh 3 
7. Giải phương trình: 
4
1z i
z i
    
. 
ĐS: z{0;1;1} 
8. Giải phương trình: 2 0z z  . 
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. 
ĐS: z{0;i;i} 
9. Giải phương trình: 2 0z z  . 
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. 
ĐS: z=0, z=1, 1 3
2 2
z i  
10. Giải phương trình: 
2
4 3 1 0
2
zz z z     . 
HD: Chia hai vế phương trình cho z2. 
ĐS: z=1±i, 1 1
2 2
z i   . 
11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. 
HD: Đặt thừa số chung 
ĐS: 1 3 1 31, ,
2 2 2 2
z z i z i       . 
12. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương 
trình: 
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. 
13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: 
a.  = 25i b.  = 2i 3 c.  = 3 - 2i 
14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 
a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0. 
15. (ĐH_Khối D 2009) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện   243  iz . 
ĐS: (x3)2+(y+4)2=4 
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i    . 
ĐS: 
2
4
xy  . 
17. Trong các số phức thỏa mãn 32 3
2
z i   . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 
HD: *Gọi z=x+yi. 32 3
2
z i         2 2 92 3
4
x y    . 
* Vẽ hình |z|min z. 
ĐS: 26 3 13 78 9 13
13 26
z i   . 
18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: 
a. 
 
10
9
(1 i)
3 i


. b.  75cos sin 1 33 3i i i
     
. 
HD: Sử dụng công thức Moivre. 
ĐS: a. Phần thực 1
16
 , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 
 Vũ Ngọc Vinh 4 
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+  + (1+i)20. 
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. 
ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1. 
20. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: 
 522  zz . 
 ĐS: 1
4
9
y
4
25
x 22  
PHẦN II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP 
A. LÝ THUYẾT 
1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2).  .3.2.1, n≥0. 
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:  !
!
kn
nAkn 
 , n≥k>0. 
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:  !!
!
knk
nC kn 
 , n≥k≥0. 
4. Quy ước n!=0!=1. 
5. Nhị thức Newton   nnnnnnnnnnnnnnnn bCabCbaCbaCbaCaCba   11222222110  . 
Công thức số hạng tổng quát: kknknk baCT

 1 , 0≤k≤n. 
B. BÀI TẬP 
1. (CĐ_Khối D 2008) 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 
18
5
12 


 
x
x , (x>0). 
ĐS: 6528 
2. (ĐH_Khối D 2004) 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 
7
4
3 1



 
x
x với x>0. 
ĐS: 35 
3. (ĐH_Khối A 2003) 
Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của 
n
x
x




  53
1 , biết rằng  37314   nCC nnnn , 
(n nguyên dương, x>0, ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
ĐS: 495 
4. (ĐH_Khối D 2005) 
Tính giá trị biểu thức  !1
3 34 1

 
n
AAM nn , biết rằng 14922 2 4
2
3
2
2
2
1   nnnn CCCC (n là số nguyên 
dương, knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và 
k
nC là số tổ hợp chập k của n phần tử) 
ĐS: 
4
3M 
5. (ĐH_Khối A 2006) 
Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 
n
x
x




  74
1 , biết rằng 
122012
2
12
1
12  
n
nnn CCC  , (n nguyên dương và 
k
nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
ĐS: 210 
 Vũ Ngọc Vinh 5 
6. (ĐH_Khối D 2008) 
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048122
3
2
1
2 
n
nnn CCC  . (
k
nC là số tổ hợp chập k của n 
phần tử). 
ĐS: n=6 
7. (ĐH_Khối D 2007) 
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. 
ĐS: 3320 
8. (ĐH_Khối D 2003) 
Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. 
Tìm n để a3n3=26n. 
ĐS: n=5 
9. (ĐH_Khối D 2002) 
Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 22 4 2 243n nn n n nC C C C     . 
ĐS: n=5 
10. (ĐH_Khối B 2008) 
Chứng minh rằng k
n
k
n
k
n CCCn
n 111
2
1
1
11









 (n, k là các số nguyên dương, k≤n, knC là số tổ hợp chập k 
của n phần tử). 
11. (ĐH_Khối B 2007) 
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 
3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+  +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k của n 
phần tử). 
ĐS: 22 
12. (ĐH_Khối B 2006) 
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 
phần tử của A. Tìm k{1,2,,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. 
ĐS: k=9 
13. (ĐH_Khối B 2003) 
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng nn
n
nnn Cn
CCC
1
12
3
12
2
12 123120



 , ( knC là số tổ hợp chập 
k của n phần tử). 
ĐS: 
1
23 11

 
n
nn
14. (ĐH_Khối B 2002) 
Cho đa giác đều A1A2An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh 
là 3 trong 2n điểm A1A2An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2An, 
tìm n. 
ĐS: n=8 
15. (ĐH_Khối A 2008) 
Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+  +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,an thỏa mãn hệ thức 
4096
22
1
0  n
naaa  . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,an. 
ĐS: a8=126720 
16. (ĐH_Khối A 2007) 
Chứng minh rằng 
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n nC C C Cn n
     

 , ( knC là số tổ hợp chập k của n phần 
tử). 
 Vũ Ngọc Vinh 6 
17. (ĐH_Khối A 2005) 
Tìm số nguyên dương n sao cho   20052.122.42.32.2 12 1224 1233 1222 121 12   nnnnnnn CnCCCC  , 
( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
ĐS: n=1002 
18. (ĐH_Khối A 2004) 
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. 
ĐS: 238 
19. (ĐH_Khối A 2002) 
Cho khai triển nhị thức 
nx
n
n
nxx
n
n
xnx
n
nx
n
nxx
CCCC 































3
1
32
1
13
1
2
1
12
1
032
1
22222222  
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. 
ĐS: n=7, x=4 
20. Cho số phức z=1+i. 
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n. 
b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+ S2=Cn1Cn3+Cn5 
n
nnnn CnCCCS )1(32
210 
HD: 132210)1(  nnnnnn
n xCxCxC